книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

с обычными векторами при условии сохранения порядка сомно­ жителей.

При этом условии имеют место формулы

По правилу векторного умножения векторов имеем

В результате выполнения дифференциальных операций вто­ рого порядка получим непосредственно из (9) следующие фор­ мулы :

203. Выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах. Рассмотрим две системы координат — деікартову прямоугольную систему (х , у, z) с ортами i, j, к и какую-либо криволинейную ортогональную систему (u, v, w) и пусть е„, еѵ,

ew — соответствующие орты этой системы (см. п. 178). Формулы связи между координатами предполагаются известными:

Следовательно, имеет место соотношение

в чем легко убедиться, продифференцировав по и тождество

и(х(и, v, w), у (и, v, w), z(u, v, w)) — и.

Требуется составить выражение градиента данной скалярной функции точки / (М) в системе координат (и, v, w).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

f x ~ і ѵ М х “Г I r P x ~f“ f w W X l

f y - ~ f u U y~ \ - f v v y ~ c‘ i w W y ,

f z ~ f u U z -t~ f x P z "T~ î w W z -

Умножим эти равенства соответственно на i, j, к и, сложив,

и (X, у, z) есть вектор, направленный перпендикулярно поверх­

где h — скалярный множитель, подлежащий определению. Производная векторной функции г = xi -j- yj + zk по ска­

лярному аргументу, например и, согласно п. 185 есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора г (и), т. е. по касательной к координатной линии и. Поэтому

204. Выражение дивергенции в ортогональных криволинейных координатах. Это выражение установлено ниже с помощью инва­ риантного определения дивергенции (см. и. 197). Для получения дивергенции вектора а (М) в точке М 0 (и0, v0) w0) рассмотрим криволинейный параллелепипед, ограниченный координатными поверхностями (рис. 147) и = и0, и = и0 -р du, v = ѵ0, v = v0 +

+ dv, w — w0, w WQ -f dw. Элементы длин дуг координатных линий и элемент объема найдены в п. 178. Поток вектора через каждую грань параллелепипеда представим в виде произведения площади соответствующей грани на среднее значение величины ап. Поэтому поток вектора а через противоположные грани M 0M 3N sN n и М ХМ 2N 2N х (площади которых равны dsudsw) приблизительно равен

Здесь последнее равенство написано в соответствии с формулой конечных приращений Лагранжа, причем зна­ чение частной производной берется в некоторой средней точке указанного параллелепипеда.

Аналогичные формулы имеют ме­ сто для потоков вектора через остав­ шиеся пары граней. Поток вектора через всю поверхность параллеле­ пипеда получится равным

выражение дивергенции в ортогональных криволинейных коорди­ натах

^iv а = H UHVHW\_~~ди (a“HvHw) + ЛдГ (avHuHw) + -^Г (awHuHv) j . (17)

205.Выражение оператора Лапласа в ортогональных криволи­

Поэтому, применяя формулу (17) к вектору а = grad / в форме (16), т. е. полагая в (17)

получим выражение оператора Лапласа в любых ортогональных кр иволинейных коордилатах

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах выведем из (18), положив согласно п. 178 Нр — 1, 7/ф = р, Нг — 1. Таким образом, получим

Выражение оператора Лапласа в сферических координатах получается из (18) при Hr ~ 1, 7/ф = г sin 0, Н% = г (см. п. 178). В результате получим

и в (20) вместо sin Ѳвсюду войдет cos Ѳ'.

Многие задачи естествознания приводят к уравнению А/ = 0,

что прямо следует из (20). Функция / = — называется фунда­

ментальным решением уравнения Лапласа.

206. Уравнение диффузии. Пусть в данной неподвижной среде неравномерно распределено некоторое вещество а. Рассмотрим процесс изменения концентрации этого вещества и (717, і) вслед­ ствие диффузии.

Выделим и закрепим в рассматриваемой среде область В, ограниченную поверхностью S. Подсчитаем двумя способами

Согласно экспериментальному закону Фике, через элемент

где D — положительная величина, называемая коэффициентом диффузии. Среда предполагается изотропной в том смысле, что D не зависит от направления п.

Из (21) следует, что

И ’Д ИD — do.

ОП

ди

Согласно формуле (8) п. 184 - grad u n; поэтому в соот­

ди

ветствии с формулой Остроградского имеем

Это перемещение вещества повлечет за собой изменение кон­ центрации внутри В и может быть подсчитано иначе. Увеличение

концентрации и на du = dt за промежуток времени dt потре­

бует сообщения элементу dr количества вещества, равного

равенство нулю подынтегральной функции (см. ниже лемму). Мы получим, таким образом, соотношение

называемое уравнением диффузии в неоднородной среде (или урав­ нением теплопроводности, так как этому уравнению удовлетво­ ряет температура среды, • изменяющаяся вследствие теплопро­ водности).

Если среда однородна (с и D постоянны), то при отсутствіи! источников (/ = 0) концентрация и удовлетворяет уравнению теплопроводности

Глава X II

РЯДЫ

§ 35. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

207. Основные понятия. Теория рядов представляет один из основных разделов математического анализа. Ряды встре­ чаются в трудах создателей математического анализа Ньютона

Пусть дана бесконечная числовая последовательность {ап}. Вспомним, что бесконечной числовой последовательностью назы­ вается счетное числовое множество, все элементы которого пере­ нумерованы и расположены в порядке возрастания этих номеров

Составленное из элементов данной последовательности выра­ жение

принято называть числовым рядом, или просто рядом. Отдельные элементы ап, из которых образовано выражение (1), называют

членами данного ряда.

Между членами ряда в выражении (1) стоит знак плюс; это указывает как будто на то, что все члены ряда надо сложить. Однако их бесконечно много, а действие сложения чисел опре­ делено лишь для конечного числа слагаемых. Возникают во­ просы — что же такое сумма ряда, всякий ли ряд имеет сумму? Ответы на эти вопросы даны ниже.

Сумма п первых членов ряда называется п-й частичной суммой ряда', обозначим ее sn. Имеем

s n — а і + а 2 + • • • а п - (2)

Составим последовательность частичных сумм ряда (1)

О п р е д е л е н и е . Если последовательность частичных сумм ряда (1) имеет конечный предел

ность его частичных сумм не стремится к конечному пределу (например, sn -> при п со).

Перефразируя определение, можно сказать, что бесконечный ряд называется сходящимся, если сумма его первых п членов при неограниченном возрастании числа п стремится к конечному пределу: и этот предел называется суммой ряда.*

О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда,

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q,

не имеет: sn —» оо при п -*■ оо. Поэтому в случае | g | >> 1 ряд (6) расходится. 3) Если g = 1, то ряд (6) имеет вид а + а + ... + а + ••• В этом случае

sn = ап -> оо при п-у оо, т. е. ряд расходится.

* При рассмотрении пределов последовательностей переменная п всегда стремится к бесконечности. Поэтому символ п -*■ оо мы иногда будем опускать в записи предела последовательности. Например, равенство (4) можно запи­ сать так: lim s„ = s.

Точно так же ряд с общим членом ап можно представить символом ^ ап, если известно с какого номера начинается суммирование.

суммирования ряда в отдельных случаях.

208. Основные свойства рядов. 1°. Если все члены сходящегося ряда (1), сумма которого равна s, умножитъ на одно и то же число Ь, то получим сходящийся ряд, и его сумма равна bs:

имеет конечный предел, равный bs:

2°. Сходящиеся ряды можно почленноскладывать и вычитать

с о СО ОО

Для доказательства обозначим через Ап и В„ частичные суммы

соответственно рядов ап и У, Ъп, и через А и В — их суммы. Частичная сумма ряда из правой части равенства (11) ап = Ап + + В„ имеет предел, равный

Для .выяснения других свойств рядов введем понятие под­ последовательности. Пусть {хп} — некоторая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность на­ туральных чисел ftlt к 2, . . ., кп, . . . Выберем из последователь­