книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

выражающему следующее положение: поток соленоидалъного век­ тора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет по­ стоянную величину, ее называют интенсивностью векторной трубки.

ГГ р и м е р . Требуется вычислить дивергенцию и поток вектора на­ пряженности электростатического поля, создаваемого точечным источ­ ником.

Пусть источник находится в начале координат. Тогда

Таким образом, дивергенция электростатического поля точеч­ ного источника равна нулю всюду вне источника:

Рассмотрим величину потока век­ тора напряженности через замкну­ тую поверхность S всторону ее внешней нормали. Возможны два случая. Если поверхность S не со­ держит внутри себя источника, то по формуле Остроградского, прини­ мая во внимание условие (27), полу­ чим

Этим доказано, что поток вектора напряженности через по­ верхность сферы с центром в источнике в направлении внешней нормали не зависит от радиуса сферы и равен 4яд.

Докажем, что этот результат верен для любой гладкой замкну­ той поверхности S, содержащей заряд внутри себя. Для этого рассмотрим сферу 6Д с центром в начале координат, имеющую столь малый радиус, что она целиком содержится внутри S. Но формуле Остроградского для области В, ограниченной поверх­ ностями S и S lt имеем

Здесь правая часть равна нулю согласно формуле (27). Изменим направление нормали к сфере и в соответствии с формулой (29) получим

JJ Endo — J J Endo —4яд.

SS 1

199.Формула Стокса. * Формула Стокса связывает поверх­ ностный и криволинейный интегралы. Пусть поверхность S обла­ дает следующими свойствами: 1) это гладкая (или кусочно-глад­ кая) поверхность, ограниченная гладким (или кусочно-гладким) контуром I, 2) прямые, параллельные координатным осям, пере­ секают S не более чем в одной точке, 3) поверхность двухсторон­ няя; выберем ту сторону S, на которой выполняется условие

ласти А. Направляющие косинусы нормали п найдем так же, как в п. 195:

* Джон Габриель Стокс (1819—1903) — английский фішж и математик.

содержание которой таково: циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура равна потоку вихря этого вектора через поверхность, ограниченную упомянутым контуром; при этом направление обхода контура должно быть согласовано с выбором стороны поверхности.

Принимая во внимание формулу (И) п. 188, равенство (35) можно записать в виде

туру I в точке М\ rot„ а — проекция rot а на нормаль п к поверх­

выясним с помощью его инвариантного определения. Для этого будем пока трактовать а как вектор скорости течения однородной несжимаемой жидкости. Поместим в точке М потока жйдкости бесконечно малое колесико с лопастями, расположенными по окружности перпендикулярно плоскости колесика (рис. 146). Под воздействием потока жидкости такое колесико будет, вообще говоря, вращаться со скоростью, зависящей от направления оси колесика п. Каждая точка окружности I вращается со скоростью ѵ, направленной по касательной к I. Величина этой скорости во

всех точках окружности одинакова и равна среднему значению касательной составляющей вектора а к линии I, т. е. среднему значению величины ах (М ) на окружности I, а именно

гает наибольшего значения, когда векторы п и rot а коллинеарны, при этом

З а к л ю ч е н и е . Вихрь вектора а (М) характеризует вра­ щательную компоненту поля скоростей потока жидкости, его длина равна удвоенной наибольшей угловой скорости вращения бесконечно малой частицы жидкости, его направление совпадает с направлением оси, вокруг которой частица вращается с наи­ большей скоростью.

П р и м е р 1. Если жидкость течет с постоянной по величине и напра­ влению скоростью а, то будут постоянными и проекции этого вектора. По­ этому rot а = 0 и течение жидкости безвихревое.

П р il м с р 2- Если скорость а течения жидкости имеет проекции

как целое вращается вокруг оси O z с постоянной угловой скоростью со. Дей­ ствительно, частицы жидкости, находящиеся на окружности с данным радиу­ сом г (в плоскости, перпендикулярной оси O z ) , движутся с постоянной скоро-

„ и

СТЬЮ V = ШГ II постоянной угловой скоростью (Û = — .

Каждая частица жидкости при движении вокруг оси O z участвует в двух движениях: в переносном движении со скоростью а (—соу, сох, 0) и во враща­

тельном движении, в котором мгновенная угловая скорость вращения каждой

1 частицы равна со, что следует из формул (40) и (42), так как ювр= — | 2сок|=

= ш. Следовательно, угловая скорость вращения каждой частицы совпадает с угловой скоростью макроскопического движения жидкости вокруг оси O z H равна со.

поле безвихревое.

В и. 192 установлено, что для потенциальности векторного поля а (М ) необходимо и достаточно, чтобы оно было полем гра­ диентов некоторой скалярной функции а (М) = grad и (М).

Следовательно, если выполнено это условие, то поле потен­ циально и по доказанному оно безвихревое, т. е. выполнено усло­ вие (43). Поэтому имеем

если функция и дважды непрерывно дифференцируема.

Таким образом, доказано, что поле градиентов всегда безвих­ ревое.

Докажем, что поле вихрей соленоидально, т. е. имеет место

* О значении многоточий см. в и. 184. 22 Заказ Ц4

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим векторное поле а и поле его вихрен rot а. Составим выражение дивергенции поля вихрен. С помощью (35) получим

если P, Q и R дважды непрерывно дифференцируемы. Следова­ тельно, поле вихрей не имеет источников и стоков.

Поле а (М) называется гармоническим, пли лапласовым, если

потенциал этого поля и (М ) удовлетворяет уравнению Лапласа div grad и ~ 0 или Аи = 0. Например, гармоническим полем является электростатическое поле, создаваемое точечным источ­ ником.

§ 34. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ИИХ ВЫРАЖЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

202.Дифференциальные операции второго порядка. Пусть даны дважды непрерывно дифференцируемые в области В функ­ ции ср ( М) и а (TIP). Выберем систему координат и вычислим вели­ чины

Действия, в результате выполнения которых получены вели­ чины (1), можно назвать дифференциальными операциями первого порядка. Они произведены над функциями ф (TIP) и а (TIP) соот­ ветственно.

Если принять величины (1) за исходные (это функции точки TIP), то путем выполнения над ними дифференциальных операций первого порядка (тем самым будут выполнены дифференциальные операции второго порядка над функциями ф (TIP) и а (TIP)) можно составить только следующие величины:

1. graddiva, 2. divgradф, 3. divrota, 4. гоідгагіф, 5. rotrot а

В п. 201 рассмотрены две из этих величин rot grad ф и div rot а, они тождественно равны нулю. Найдем для остальных величин их выражения через исходные данные.

1. По формулам (7) п. 184 и (21) п. 197 получаем