книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

Подставляя эти выражения в уравнения (10.1.1) и принимая во внимание, что невозмущенное движение удовлетворяет системе уравнений (10.1.1), вследствие чего

получим следующую систему линейных дифференциальных урав­ нений для т)і, . . ., рп:

где коэффициенты ahi определяются формулой

Величины т)і, . . ., т]п, определяющие отклонение возмущенно­ го движения от невозмущенного, обычно называются вариациями переменных уи . . ., уп, определяющих состояние системы. При­ ближенные линейные уравнения (10.2.3) называются уравнениями в вариациях или линейными уравнениями первого приближения.

При весьма общих условиях А. М. Ляпунов доказал следую­ щие теоремы, которые мы сформулируем без доказательства:

1.Невозмущенное движение нелинейной системы асимптоти­ чески устойчиво, если определяемая соответствующими уравне­ ниями в вариациях линейная система асимптотически устойчива.

2.Невозмущенное движение нелинейной системы неустойчиво, если определяемая соответствующими уравнениями в вариациях линейная система неустойчива.

Эти теоремы Ляпунова дают возможность исследовать устойчи­ вость различных режимов работы нелинейных систем методами теории устойчивости линейных систем.

Если все коэффициенты ah[ системы уравнений в вариациях постоянны, то невозмущенное движение называется установившим­ ся. Для исследования устойчивости установившихся движений

нелинейных систем можно применить изложенные в §§ 6.2 и 6.3 методы исследования устойчивости стационарных линейных систем.

В случае периодического невозмущенного движения (колеба­ ний) автономной нелинейной системы коэффициенты ahl уравнений в вариациях являются периодическими функциями времени. Методы исследования устойчивости систем в случае, когда уравне­ ния в вариациях являются уравнениями с периодическими коэффициентами, также разработаны Ляпуновым [42] (см. так­ же [74]).

В общем случае, когда коэффициенты уравнений в вариациях являются любыми функциями времени, для исследования устой­ чивости системы можно применить общий критерий § 6.1. Для

412 ГЛ . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

этого следует определить весовые функции линейной системы, определяемой уравнениями в вариациях, соответствующие всем входам системы и всем переменным уі, . . ., уп, и вычислить для них интегралы (6.1.1). Все эти вычисления можно выполнить с помощью моделирования соответствующей сопряженной системы. Выполнив эти вычисления для различных моментов времени £, можно судить об устойчивости системы. Если интегралы (6.1.1)

с увеличением £, начиная с некоторого момента, то исследуемая нелинейная система устойчива по отношению к переменным уи . . .

. . ., уп. Если же хотя бы один из этих интегралов неограниченно возрастает с увеличением t, то система неустойчива. Заметим, что этот способ исследования устойчивости является чисто практи­ ческим и не дает возможности делать строгие выводы об устой­ чивости и неустойчивости вследствие невозможности осуществить с помощью моделирующих устройств бесконечные процессы, свя­ занные с переходом к пределу в формуле (6.1.1). Однако для прак­ тики такой метод исследования устойчивости вполне достаточен и дает возможность безошибочно судить об устойчивости движе­ ния в течение любых интересующих нас конечных отрезков времени.

Для исследования устойчивости можно также применить непо­ средственное моделирование системы или линейной системы, опре­ деляемой уравнениями в вариациях, при различных начальных условиях.

Для приближенного исследования устойчивости нелинейных систем методом линеаризации в случае произвольных переменных коэффициентов akt уравнений в вариациях (10.2.3) можно также применить прием «замораживания» коэффициентов. Этот прием состоит в том, что переменные коэффициенты уравнений в вариаци­ ях заменяются их постоянными значениями, соответствующими какому-нибудь выбранному моменту времени tu и исследуется устойчивость стационарной линейной системы, определяемой полу­ ченными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это иссле­ дование производится для ряда характерных моментов времени ti, t2, ■■• работы системы. Если для всех выбранных моментов времени стационарные линейные системы, полученные «замора­ живанием» коэффициентов уравнений в вариациях, устойчивы, то исследуемую нестационарную систему можно практически счи­ тать устойчивой. При этом в случае определенного конечного вре­ мени работы системы, например в случае работы системы управ­ ления полетом снаряда, когда в момент попадания снаряда в цель или его разрыва работа системы управления, естественно, прекра­ щается, систему можно считать практически устойчивой и в том случае, если система, полученная «замораживанием» коэффициен-

лов уравнений в вариациях, становится неустойчивой, когда до момента конца работы системы остается время, значительно мень­ шее времени переходного процесса системы.

Заметим, что с практической точки зрения совершенно не обя­ зательно выбирать в качестве центра разложения входящих в уравнения функций исследуемое невозмущенное движение систе­ мы, т. е. интеграл уравнений (10.1.1), описывающих поведение системы. Можно в качестве центра разложения взять любые функ­ ции у'і0>, . . ., Уп\ не удовлетворяющие уравнениям (10.1.1), но близкие к интегралу уравнений (10.1.1), соответствующему невозмущенному движению системы. Так, например, если некото­ рые из переменных уі, . . ., уп. скажем уи . . ., ут, являются по физическому смыслу малыми величинами при устойчивой работе системы, то в качестве функций у\т, . . ., у^ можно взять нули, а остальные функции Ут+і , . . ., Уп‘ определить путем интегри­ рования соответствующей укороченной системы уравнений, полу­ ченной из (10.1.1) путем замены нулями всех малых величин.

В заключение заметим, что изложенный метод исследования устойчивости нелинейных систем, основанный на линеаризации уравнений, применим лишь к системам, содержащим только эле­ ментарные нелинейные звенья с непрерывными гладкими характе­ ристиками. К системам с существенно нелинейными звеньями этот метод неприменим. В таких случаях часто оказывается полезным второй метод Ляпунова, который мы изложим в следующем пара­ графе. Для более подробного изучения теории устойчивости реко­ мендуем читателю обратиться к специальной литературе (см.,

например, [42, 43], а также [39, 41, 74)].

§ 10.3. Прямой метод исследования устойчивости нелинейных систем (второй метод Ляпунова)

Второй метод Ляпунова основан на обобщении и развитии эле­ ментарных представлений, связанных с положениями равновесия материальной точки в консервативном силовом поле. Из теорети­ ческой механики известно, что точки минимума потенциальной энергии являются положениями устойчивого равновесия матери­ альной точки, а точки максимума потенциальной энергии — положениями неустойчивого равновесия (теорема Лежен-Дирихле). Основная идея второго метода Ляпунова состоит в нахождении такой функции координат точки фазового пространства данной системы V (т|,, . . ., і]„), которая была бы до некоторой степени аналогична потенциальной энергии покоящейся материальной точки в обычном пространстве.

Для изложения второго метода исследования устойчивости, разработанного А. М. Ляпуновым, введем следующие определения. Функция V (гр, . . ., г)„) называется знакопостоянной, если она

имеет один и тот же знак всюду в некоторой области, содержащей начало координат, за исключением некоторых точек, в которых она равна нулю. Знакопостоянная функция, равная нулю лишь в начале координат, называется знакоопределенной', определенноположительной или определенно-отрицательной, в зависимости

от знака.

Для любой определенно-положительной функции ѵ (%, . . ., т]„)

При этом вблизи начала координат поверхность, соответствующая любому достаточно малому значению с, находится целиком внутри области, ограниченной любой

внутрь любой поверхности ѵ (т)1, . . ., ц„) = с или по ней и не может выходить из ограниченной этой поверхностью области нару­ жу (рис. 10.3.1), то система устойчива. Если же изображающая точка может двигаться вблизи начала координат только внутрь любой поверхности ѵ (т]!, . . ., т]п) = с (рис. 10.3.2), то система асимптотически устойчива. Но если изображающая точка дви­ жется внутрь поверхности ѵ (т]і, . . ., цп) = с, то определенно­ положительная функция V (т)!, . . ., г)„) убывает при движении системы и, следовательно, ее полная производная по времени

V (t]j, . . ., т]п) знакопостоянна отрицательна, если изображающая точка может двигаться только внутрь любой поверхности ѵ = с или по ней, и определенно-отрицательна, если изображающая точка может двигаться только внутрь поверхности ѵ = с.

Для любой определенно-отрицательной функции ѵ (%, . . ., т]п) ее полная производная в рассмотренных случаях будет положи­ тельной.

Таким образом, мы приходим к следующим двум теоремам Ляпунова.

1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движе­ ния таковы, что можно найти знакоопределенную функцию ѵу полная производная которой по времени

k=l

в силу этих уравнений знакопостоянна и имеет знак, противопо­ ложный знаку функции ѵ, или тождественно равна нулю, то невоз­ мущенное движение устойчиво.

2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию ѵ, полная производная которой по времени в силу этих уравнений знако­ определенна и имеет знак, противоположный знаку функции ѵг то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Изложенный метод оценки устойчивости дает достаточные усло­ вия устойчивости. Это означает, что невыполнение этих условий еще не означает, что движение системы неустойчиво. Движениесистемы может быть устойчивым и при невыполнении условий сформулированных теорем Ляпунова.

Метод исследования устойчивости с помощью функции Ляпу­ нова V (щ, . . ., т]п) весьма эффективен и применим к любым нелинейным системам, так как он не накладывает никаких огра­ ничений на правые части уравнений движения (10.1.1).

К сожалению, практическое применение этого метода часто осложняется трудностью нахождения функции Ляпунова ѵ (т]і, . • т)п)- Общих рекомендаций по нахождению этой функ­ ции для произвольных систем не существует. Однако Ляпунов дал один способ построения функции ѵ (цг, . . ., т)п) для широкого круга нелинейных задач, связанных с исследованием устойчивости установившихся движений. Этот способ заключается в том, что уравнения, описывающие поведение системы, сначала линеари­ зуются. После этого функция ѵ ищется в виде квадратичной формы с неопределенными коэффициентами:

где А — любая постоянная.

Подставляя в формулу (10.3.3) выражения производных — ,

Полученные дифференцированием формулы (10.3.2), и выражения

производных г);- из линеаризованных уравнений движения и срав­ нивая коэффициенты при одинаковых членах ц^г)г в левой и пра­ вой частях равенства, получаем алгебраические уравнения для определения коэффициентов ahi. После нахождения коэффициен­ тов а кі формула (10.3.2) определит функцию Ляпунова ѵ для линеа­ ризованных уравнений. Эта функция может быть использована для оценки устойчивости исходной нелинейной системы.

Другой метод нахождения функции Ляпунова для широкого класса систем, содержащих одно произвольное элементарное нелинейное звено, указал А. И. Лурье [41].

§ 10.4. Фазовые траектории и особые точки нелинейных систем

Для получения достаточно полного представления о характере возможных движений системы без непосредственного интегрирова­ ния ее дифференциальных уравнений весьма плодотворным являет­ ся изучение многообразия фазовых траекторий и особых точек равновесия в фазовом пространстве системы [5, 51, 68]. Особенно наглядны фазовые траектории и особые точки для автономных систем второго порядка, т. е. на фазовой плоскости *). На приме­ рах исследования фазовых траекторий автономных систем второго порядка выявляются основные особенности нелинейных систем

вообще.

Уравнение автономной системы второго порядка может быть представлено в виде

где ф — известная функция выходной переменной и ее производ­

ной, в общем случае нелинейная. Полагая у = z, приведем урав­ нение (10.4.1) к системе двух уравнений первого порядка:

Фазовыми координатами системы являются ее выходная пере­

менная у и скорость ее изменения z = у. Разделив уравнения {10.4.2) одно на другое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Уравнение (10.4.3) однозначно определяет касательную к фазовой траектории во всех точках, кроме тех, в которых одновременно

*) Системой второго порядка мы называем для краткости систему, поведение которой описывается одним дифференциальным уравнением вто­ рого порядка или системой двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Корни этого уравнения полностью определяют интеграл урав­ нений (10.4.7), т. е. поведение системы около положения равнове­ сия, а следовательно, и характер особой точки (у0, 0). Поэтому рассмотрим возможные типы корней характеристического урав­

нения (10.4.8).

1. Случай комплексных сопряженных корней X = h ± гм.

Решение уравнений (10.4.7) имеет вид колебаний:

г)= meht sin (a>t -\- тр),

(10.4.9)

£= hmeht sin (соt + г|з) + мтпе/і< cos (соt -f• гр),

где /тг, гр — постоянные интегрирования, определяемые начальны­ ми условиями. При увеличении t на период 2л/со обе координаты

пропорционально убывают при h < 0 и возрастают при h > 0. Изображающая точка стремится к началу координат при t ->оо, если h <С. 0. Изображающая точка удаляется от начала координат при h > 0 . Так как

i- = h + U)Ctg (м г + ір)

и так как при увеличении t на период 2л/со котангенс, убывая, дважды пробегает все значения от —оо до оо, то радиус-вектор изображающей точки поворачивается за время 2л/ц> по часовой стрелке на угол 2л. Следовательно, в случае отрицательной дей­ ствительной части h корней характеристического уравнения изо­ бражающая точка В приближается к особой точке (у0, 0) по спи­ рали (рис. 10.4.1). В случае положительной действительной части h