книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

390 ГЛ . 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ

§9.10. Электродвигатели с редукторами

Вследящих системах электродвигатели обычно имеют редук­ тор с зубчатой передачей. В системе электродвигатель — редук­ тор наблюдаются нелинейные явления. Из них наиболее харак­ терны: насыщение в магнитной системе двигателя, нелинейное трение и люфт в механической передаче.

Вдвигателях постоянного тока зависимость между током управления и магнитным потоком линейна только в небольшом диа­ пазоне, за пределами которого, вследствие явления насыщения стальной части магнитопровода, характеристика носит ярко выра­ женный нелинейный характер. С увеличением тока управления, или, что то же, управляющего напряжения и, в случае двигателя

суправлением через обмотку якоря магнитный поток, а следова­ тельно, и вращающий момент линейно возрастает. Затем насту­ пает насыщение магнитопровода и характеристика принимает вид ограничителя. Учитывая это, уравнение движения выходного вала двигателя постоянного тока с управлением через обмотку якоря

(3.13.7) необходимо записать в виде

где ф (и) — нелинейная функция управляющего напряжения (ограничитель). В установившемся режиме при больших значе­ ниях управляющего напряжения угловая скорость £2 постоянна и не зависит от управляющего напряжения. Таким образом, насы­ щение магнитопровода приводит к ограничению угловой скоро­ сти вращения выходного вала двигателя. Трение в механической передаче создает момент сопротивления Мс:

где М 1 = М 0sgn й — момент сухого трения, М 2 = к $ г — мо­ мент вязкого трения, который при малых скоростях имеет линей­ ный характер (г = 1), а при больших — квадратичный (г = 2).

Сухое трение не зависит от величины скорости и определяется лишь ее знаком. Важной особенностью сухого трения является то, что при равенстве нулю скорости момент трения может при­ нимать любое значение в пределах — М 0 ^ Мі М 0, причем в каждый данный момент времени момент трения равен сумме всех других моментов, включая момент сил инерции. Поэтому, если скорость стала равной нулю и сумма других моментов ока­ жется по абсолютной величине меньше М 0, то система остано­ вится. Застой будет продолжаться до тех пор, пока сумма момен­ тов не превысит величину М 0, после чего снова начнется движе­ ние системы. Если в процессе движения системы при й = 0 всегда оказывается, что сумма всех моментов больше момента трения, то застоев не будет.

Исследование работы электродвигателя с редуктором в общем случае с улетом силы сухого трения чрезвычайно затруднено. Значительного упрощения можно достигнуть, если считать двига­ тель безынерционным. Полагая в (9.10.1) Т = 0, учитывая только сухое трение Мс — М і = М 0sgn £2 и рассматривая линейную часть характеристики момента управления ср (и) = ки, получим

где М* = ксМ 0. Отсюда определяется угловая скорость £2 как нелинейная функция управляющего напряжения и:

Из этой формулы следует, что сухое трение приводит к возникно­ вению зоны нечувствительности. Совместное действие двух фак­ торов: насыщения в магнитной системе двигателя и сухого трения

в механической передаче (без учета инерционности двигателя) — приводит к нелинейной зависимости £2 = £2 (и), изображенной на рис. 9.10.1.

Рассмотрим теперь влияние люфта. При наличии люфта, т. е. зазора в механической передаче, перемещение ведущего звена не вызывает перемещения ведомого звена до тех пор, пока не будет выбран зазор. Связь между входной и выходной переменными со­ ответствует прямой AB на рис. 9.10.2, где через 2d обозначена величина зазора, отнесенная к ведущему звену, а через у = tg а — передаточное отношение. При перемене знака производной входной величины ведомое звено как бы отключается от ведущего, пока последнее не выберет зазор; при этом зависимость между входной и выходной переменными теперь описывается прямой CD на рис. 9.10.2.

392 ГЛ . 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ

Причиной люфта являются неточность изготовления и одно­ стороннее соприкосновение зубьев шестерен. Так, например, для двигателя ДИД-0,5 с редуктором, имеющим передаточное отно­ шение Y = гр/cp = 0,002, величина люфта на выходе редуктора составляет 0,032 рад.

Нелинейность типа люфта оказывает существенное влияние на характер работы динамической системы, вызывая статические ошибки и автоколебания. При изготовлении редуктора прини­ маются меры к тому, чтобы люфт был меньше, чем половина ошиб­ ки, допускаемой для автоматической системы. В прецизионных системах обычно применяются различные способы устранения люфта.

Структурная схема системы электродвигатель — редуктор с учетом инерционности двигателя, насыщения магнитной системы

двигателя, нелинейного трения и люфта приведена на рис. 9.10.3. Эта схема является типичной для различных исполнительных устройств и широко используется при расчетах автоматических систем.

§ 9.11. Гидравлические двигатели

Гидравлические исполнительные устройства имеют ряд важ­ ных преимуществ перед электрическими, а именно они обладают большей мощностью и большим быстродействием, чем электро­ двигатели, при тех же габаритах и весах. Это объясняется высо­ ким коэффициентом использования веса конструкции (напряжен­ ность силы в гидравлических двигателях достигает 200

— 300 кгс/см2, а в электрических двигателях магнитное поле соз­ дает напряженность силы порядка 4-=- 6 кгс/см2).

Существует много конструкций гидродвигателей [40]. Рас­ смотрим широко распространенную схему с золотниковым распре­ делителем (рис. 9.11.1). Гидравлический шестеренчатый насос 1 постоянной производительности обеспечивает подачу жидкости с постоянной скоростью в аккумулятор давления 3. Давление рабочей жидкости составляет 150-=- 280 ат. После того как дав­ ление в аккумуляторе достигает определенной величины, клапан 2 переключает насос на резервуар 4. Из аккумулятора 3 рабочая жидкость поступает в золотниковый распределитель 6. При отсут­ ствии входного сигнала ивх, подаваемого на обмотку электромаг­ нита 7, якорь 8 находится в нейтральном положении и золотник 9

закрывает доступ жидкости в рабочий цилиндр 10. При наличии входного сигнала электромагнит поворачивает якорь 8, переме­ щая золотник 9. Смещение золотника вправо открывает доступ для рабочей жидкости через канал 11 в рабочий цилиндр. Одно­ временно открывается доступ для рабочей жидкости, находя­ щейся справа от поршня, в канал 12 и далее на слив в ре­ зервуар 4. Под действием раз­ ности давлений рабочей жид­ кости поршень 5 перемеща­ ется вправо. Выходной вели­ чиной гидродвигателя явля­ ется перемещение у штока рабочего цилиндра.

Для исследования динами­ ческих свойств гидродвига­ теля составим уравнения движения поршня в рабочем цилиндре:

••

ту = (рі — р 2) S — R — G

(I У К Ушах). (9.11.1)

где т — приведенная масса поршня с учетом присоеди­ ненных к нему масс, у — пере­

мещение поршня, (рі— р 2) S — сила давления жидкости, R — сила сопротивления, G — сопротивление нагрузки, і/тах — максималь­ ное перемещение поршня от среднего (нулевого) положения. Сила сопротивления R создается за счет трения. В реальных системах сила трения может быть представлена в виде суммы жидкого и сухого трения:

трения. Сопротивление нагрузки зависит от перемещения поршня у. Эту зависимость часто можно считать линейной.

Определим разность давлений pt — р 2. Очевидно, что при сме­ щении золотника вправо от нейтрального положения х > О и давление Рі равно разности давления в аккумуляторе р 0 и пере­ падов давлений за счет потерь в трубопроводах и отверстиях зо­ лотника:

Давление р 2, при условии равенства нулю давления в резер­ вуаре 4, равно перепаду давления за счет потерь в трубопроводах

396 ГЛ . 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ

В свою очередь ток іу в обмотке электромагнита связан с прило­ женным к нему входным напряжением ивх дифференциальным уравнением

Система трех уравнений (9.11.13), (9.11.14) и (9.11.16) полно­ стью определяет динамические свойства гидродвигателя. Эти урав­ нения показывают, что гидродвига­ тель является сложной нелинейной системой. Предоставляем читателю самостоятельно представить эту си­ стему структурной схемой, состав­ ленной из элементарных линейных

N sgny + ^ p [т ^ Т Д + т ] y2sgnx = Sp0sgnz. (9.11.17)

Принимая во внимание, что знак у всегда совпадает со знаком х :

Определяемая этой формулой зависимость скорости движения пор­

шня у от перемещения золотника х (сплошная линия на рис. 9.11.3) близка к нелинейности типа ограничения с зоной нечув­ ствительности [(пунктирная линия на рис. 9.11.3). Зона нечув­ ствительности возникает вследствие того, что ширина буртика поршня золотника больше ширины отверстия золотника, что обычно всегда делается для обеспечения надежного перекрытия отверстия.

Что касается зависимости перемещения золотника х от вход­ ного напряжения нвх, то ее можно приближенно представить в форме последовательного соединения идеального запаздываю­ щего звена, безынерционного линейного усилителя и ограничителя.

с ограничением величины у и не учитывать нагрузку (G — 0), то гидравлический двигатель можно приближенно представить в ви­ де последовательного соединения идеального запаздывающего звена, нелинейного звена с характеристикой типа ограничения с зоной нечувствительности, интегрирующего звена и нелиней­ ного звена типа ограничения. Такая приближенная структурная схема гидравлического двигателя изображена на рис. 9.11.4.

-У

Рис. 9.11.4,

Если учесть в уравнении (9.11.17) еще сопротивление нагрузки

G, зависящее от перемещения поршня у, то величина у будет функ­ цией не только X , но и у. Иными словами, характеристика первого

нелинейного звена на структурной схеме на рис. 9.11.4 у = <р (х) будет зависеть еще от у, как от параметра. В соответствии с этим на структурной схеме гидродвигателя (рис. 9.11.4) добавится обратная связь выхода с первым нелинейным звеном. Эта обрат­ ная связь имеет сложный нелинейный характер, так как сигнал обратной связи у не суммируется со входным сигналом х, а изме­ няет саму форму характеристики звена. Нелинейное звено в этом случае имеет два входа, на один из которых подается входной сигнал X, а на другой — сигнал обратной связи у.

Заметим, что сопротивление нагрузки (т. е. силы сопротивле­ ния, действующие на приводимое исполнительным устройством в движение звено объекта управления) всегда можно рассматри­ вать как сигнал обратной связи.

§9.12. Пневматические двигатели

Вавтоматических системах в качестве исполнительных устройств часто используются пневматические двигатели. Принципиальные схемы пневматических двигателей мало от­ личаются от схем гидравлических двигателей. В качестве распре­ делительных устройств применяются золотниковые и струйные схемы. На рис. 9.12.1 приведена схема пневматического двига­ теля, имеющего распределительное устройство в виде струйной трубки. Это устройство, отличающееся простотой, малыми габа­ ритами, экономичностью изготовления и высокой надежностью, имеет хорошие динамические свойства. Струйная трубка 1 может перемещаться относительно нейтрального положения, например,

с магистралью высокого давления. Воздух или какой-нибудь дру­ гой газ, используемый в качестве рабочего тела, проходя через внутреннюю полость трубки и сопло, ударяется о пластинку 3, имеющую два приемных отверстия, которые соединены с поло­ стями силового цилиндра 4. Если сопло расположено симметрично относительно приемных отверстий, то давление в обеих полостях цилиндра одинаково и пор­ шень находится в покое.

При смещении трубки от­ носительно отверстий дав­ ление в одной полости ста­ новится больше, чем в дру­ гой, и поршень приходит в движение.

Динамические свойства пневматического двигате­ ля определяются уравне­ нием движения струйной трубки, уравнением дви­

жения поршня и уравнением, определяющим зависимость пере­ пада давлений в полостях цилиндра от угла поворота трубки. Входной переменной пневматического двигателя является напря­ жение ивх на катушке магнитоэлектрического устройства. За выходную переменную пневматического двигателя примем вели­ чину у — перемещение поршня в цилиндре.

Движение струйной трубки описывается уравнением колеба­

где а — угол поворота трубки, Ті — постоянная времени, £ — коэффициент затухания, кj — коэффициент усиления.

Движение поршня в цилиндре описывается уравнением

ту = (рі — р 2) S — R — G (I у I < Ушах), (9.12.2)

аналогичным уравнению движения поршня в гидродвигателе. Ос­ новными особенностями работы пневматических двигателей по сравнению с гидравлическими являются сжимаемость рабочего тела и нелинейная зависимость силы трения от скорости движения. Перепад давлений р = pt — р 2 в цилиндре пневматического дви­ гателя вследствие сжимаемости рабочего тела определяется не

только потерями давления вследствие внутреннего трения, мест­ ных сопротивлений и утечек, но и сжимаемостью рабочего тела. Что касается силы трения R, то для пневматических двигателей ее можно представить в виде суммы силы вязкого трения, при­ ближенно характеризуемой кубичной зависимостью от скорости движения поршня, и силы сухого трения:

где через N обозначена величина силы сухого трения. Сопротив­ ление нагрузки Gзависит от перемещения поршня у и может также

зависеть от его скорости у.

Определим зависимость перепада давлений р от угла поворота а струйной трубки. При отклонении струйной трубки в отводящих

мосферное давление равно нулю (ра = 0). Это допущение равно­ ценно тому, что за начало отсчета давлений принимается атмо­