|
|
|
|
ГЛАВА 5 |
Тогда |
случайное число |
£, удовлетворяющ ее £ |
и отвечающее |
закону |
F (t), может быть |
найдено |
из уравнения |
|
|
1 |
I |
|
|
|
+ |
+ |
(5.14) |
От
где у — равномерно распределенное случайное число (РРС Ч ) в ин
тервале |
[0 , 1 ]. |
П усть, |
для примера, |
|
|
/ 1 |
(t) |
= |
I |
(5.15) |
|
|
|
(t) |
= К e - K j |
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16) |
П одставляя |
(5.15), (5.16) |
в |
(5.14), |
найдем, |
что |
£ = - ^ 1п(1- у) - Д = - ^ 1п(1 -у) + т ( і - А ) . |
Б л о к |
II является |
основным |
блоком, |
в котором реализую тся |
все связи , оговоренные языком определений, поэтому он будет
подробно |
рассматриваться ниже. |
Б л о к |
I I I осущ ествляет контроль и оценку точности получен |
ных результатов. В результате оценки выдается команда на прекра щение или продолжение процесса моделирования. Этот блок может осущ ествлять либо простые операции типа подсчета числа проведен ных испытаний при заданном заранее их количестве, либо логические операции типа рассмотренных в монографии [1 0 ]. Ввиду того что вопрос оценки точности достаточно подробно рассмотрен в указан ной монографии, останавливаться на нем не будем.
Б л о к IV осущ ествляет определение требуемых характеристик надежности или готовности. Этот вопрос достаточно подробно рас смотрен в ряде книг, и потому остановимся только на определении крайнего значения выборочного ряда, что при моделировании на
ЦВМ представляет известную трудность.
Врезультате статистического моделирования получается гисто грамма случайных значений времени исправной работы при отсут
ствии или наличии |
восстановления. |
|
|
|
|
Д ля |
определения оптимального |
числа |
интервалов |
гистограммы |
может быть использовано правило Старджесса: |
|
|
|
п = |
1 + 3 , 3 |
lg N, |
|
|
(5.17) |
где п — |
число интервалов, |
N — количество |
независимых реали |
заций. |
|
|
|
|
|
|
п, даст |
значение At |
В есь |
временной |
интервал, |
деленный |
на |
каждого |
разряда. Однако при |
этом |
крайние |
значения случайного |
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ
времени исправной работы могут быть неизвестны. Теоретически для непрерывных случайных величин можно выйти из положения, используя порядковые статистики для независимых от распределе ния толерантных пределов. Соответствующие табличные значения приведены в [3 8 ]. На практике вместо хранения в памяти Ц ВМ таблиц можно осущ ествить оценку толерантных пределов по вспомо гательной выборке. Размер этой выборки должен быть таким, чтобы последовательные значения указанных оценок стали меньше произ вольно заданного положительного числа.
Н айдя значение п по формуле (5.17), построение гистограммы можно вести поэтапно до тех пор, пока максимальное отклонение значения эмпирической частоты на последнем этапе от значения соот ветствующей частоты на предшествующем этапе не станет меньше е.
Вы сказанны е выше соображения использую тся при выборе вели чины интервала 1 0 , Т 1 в процессе получения полной гистограммы. Однако в том случае, когда оговорен интервал, в течение которого определяется работоспособность системы, число п определяется непо средственно из (5.17). В приложении V приведена процедура полу
чения гистограммы и среднего времени безотказной |
работы си |
стемы # г. |
|
Возмож ны два вида представления моделирующего |
алгоритма: |
операторный и с помощью блок-схемы . Первый вид весьма подробно
изложен |
Н . П . Бусленко [9 |
], второй вид рассмотрен рядом авторов |
[10, 20, |
3 8 ]. П редставление |
алгоритма в виде блок-схемы, несмотря |
на некоторую громоздкость, более наглядно и информативно. Поэ тому будем в дальнейшем использовать именно его, причем будем рассматривать два типа моделирующих алгоритмов:
1 ) моделирующие алгоритмы простых (стандратных) структур •—
П-алгоритмы;
2)моделирующие алгоритмы сложных структур — С-алгоритмы.
Основы ваясь на приведенных выше соображениях относительно формализации описания процесса функционирования системы с по
мощью язы ка определений, можно показать, что в больш инстве слу чаев слож ная система может быть представлена с помощью одного из трех рассмотренных способов описания, причем большинство частей получаемой структуры может быть описано моделирующими алгоритмами типа П . Поэтому целесообразно собрать П-алгоритмы в виде библиотеки стандартных подпрограмм (БС П ). Следует, однако, подчеркнуть, что ряд систем в силу сложности их связей со средой и наличия адаптации трудно описать набором стандартных П -алго- ритмов, но и в этом случае БСП достаточно полезна для оценки хар ак теристик надежности отдельных звеньев в заданные моменты времени.
Д л я пояснения идеи построения моделирующего П -алгоритма рассмотрим основное соединение. Х отя этот случай достаточно три виален, однако при наличии в системе разнородных элементов, потоки отказов которых отличны от простейшего, аналитическое решение
ГЛАВА 5
становится достаточно сложным и применение Ц ВМ вполне оп р ав дано.
Стохастический оператор определения случайного времени исправ
ной работы системы Тс запиш ется в виде |
|
Тс — min £ , . , £ = 1 , 2 , . . . , п, |
(5.18) |
где £, ■— случайное время исправной работы £-го прибора (элемента), причем Ц могут иметь различные законы распределения.
tn — /И,, г
Рис. 5.8 Блок-схема модели рующего алгоритма основного соединения.
1
РРСЧ [0, 1)
1
4-
2
ti — f (щ, а)
1
і
3
1< п
1 0
4
min
1
4-
5
Оценка піх
t 1
7
Тс, a(t), P(t)
1
4-
8
Печать
Н а рис. |
5 .8 |
приведена блок-схема моделирующего |
алгоритма. |
Оператор |
1 |
осущ ествляет |
формирование РРС Ч |
по |
одному из |
известных способов. |
|
|
|
Оператор |
2 преобразует Р РС Ч в случайные времена |
исправной |
работы по заданному закону распределения (см. приложение V)'. |
Оператор |
3 |
осущ ествляет |
логическую операцию |
по проверке |
неравенства |
|
|
1 < п , |
|
(5.19) |
|
|
|
|
где £ — число |
реализаций в |
£-м испытании; п — число |
устройств |
в моделируемой системе, |
|
|
|
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ
При соблюдении неравенства (5.19) управление передается опе ратору /, при нарушении — оператору 4.
Оператор 4 определяет min tt среди переданной совокупности п чисел.
Оператор 5 оценивает выполнение заданной точности и через ло гический оператор 6 выдает оператору 1 сигнал перехода к (і + 1)-му испытанию в случае невыполнения заданной точности е, оцени
|
|
|
ваемой по формуле тх — тх |
е, где тх — статистическое значе |
ние математического ожидания, |
полученное в процессе вычисления; |
тх — искомое |
значение математического ожидания времени исправ |
ной работы. В |
случае достижения заданной точности е оператор 6 |
передает управление оператору 7.
Оператор 7 производит текущ ую обработку данных и передает оператору 5 для сравнения.
Оператор 8 осущ ествляет выдачу полученных данных. Процедура для рассматриваемого случая основного соединения
оказы вается весьма простой. Задавая на входе параметры потоков отказов и количество устройств, на выходе получим Тс.
При наличии избыточности в системе, представляемой в виде
графа, необходимо отыскивать все пути в графе, |
проверять их св я з |
ность и сравнивать с заданным интервалом [О, |
Т ]. Д ля этой цели |
разработана процедура ^ — |
процедура отыскания всех путей в графе, |
приведенная в приложении |
V I. В приложениях |
V II и V III приве |
дены процедуры получения характеристик надежности восстанавли ваемых систем по реализациям альтернирующей последовательности
для |
нестационарного периода (аРн п) и для установивш ихся значе |
ний |
(jfy ). |
СПОСОБЫ УСКОРЕНИЯ ПРОЦЕССА ' |
§ 5.4 |
СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ |
|
П режде чем перейти к непосредственному рассмотрению моделирую щих алгоритмов восстанавливаемых систем, необходимо остано виться на одном из важнейш их вопросов моделирования систем — вопросе ускорения процесса моделирования. Этот вопрос стоит весьма остро из-за недостаточного быстродействия Ц ВМ и длитель ного времени одной реализации в случае слож ны х систем. Если пове дение высоконадежных систем рассматривается на ограниченном интервале времени, то появляется много «пустых реализаций», т. е. таких реализаций, в которых не зафиксирован отказ. Д ля получения необходимой точности при этом приходится увеличивать число реа
лизаций, |
что |
приводит |
к увеличению времени моделирования. |
В связи |
со |
сказанным |
ускорение процесса моделирования в сл у |
чае многозначных восстанавливаемых систем приобретает перво степенное значение.
ГЛАВА 5
Впервы е актуальность этого вопроса отмечена в статье [3 6 ], где предлагается комбинировать моделирование и аналитический расчет, причем моделирование рекомендуется использовать для учета членов, увеличивающих значение характеристик надежности вследствие наличия избыточности. В статье [31] предлагается объединять эле менты одного типа в группы, имеющие приблизительно одинаковые интенсивности отказов. Однако погрешности при выборе групп, а
такж е трудности выяснения |
последствий отказа элемента в группе |
суж аю т область применения |
этого метода. |
Рассмотрим способы ускорения процесса моделирования, сво
бодные от указанных недостатков [ 1 2 ]. |
|
П е р в ы й |
с п о с о б . |
Предположим, что исследуется |
надеж |
ность системы, |
состоящей |
из п блоков. Д ля каждого блока |
заданы |
законы распределения времени исправной работы и восстановления. Работа системы рассматривается на интервале [О, Т]. Н а основании имеющихся данных можно получить числа р ъ р 2, . . ., рп — ве роятности исправной работы блоков за время Т. Образуем новую случайную величину /п; (р,) — номер реализации, в которой отказы вает і- й элемент. Величина /иДрг) имеет геометрическое распределение
|
|
|
ЦіЩРі) = |
QiPi"'r~\ |
|
(5.20) |
где qt |
1 — Pi, a |
i = |
1 , |
2 , |
. . ., |
п. |
|
|
|
Д ля |
моделирования |
величины |
/и,- выберем согласно общей |
схеме |
РРС Ч £ в интервале |
[0, 1 ] и зафиксируем последовательность чисел |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
lP |
= |
qt ' Z p i " \ |
|
І = 1 , 2 , . . . , |
я ; |
(5.21) |
|
|
|
S |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<0) |
= |
0 . |
|
|
|
Определим т (- такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ У Ч - 1 |
< ! < / « % |
+ 1 . |
|
(5.22) |
Реш ая неравенство |
(5.22), |
получим |
|
|
|
|
|
In ( 1 - |
1 ) |
|
|
In |
1 — £ |
целое; |
|
|
|
|
In Pi |
если — |
------ — |
|
|
Щ — |
|
|
|
ln Pi |
|
(5.23) |
|
|
|
, , |
|
ln (1 — i) |
л |
|
ln ( 1 - 1 ) |
|
|
|
|
lnpi |
-)- |
1 , |
если — |
|
дробное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вместо моделирования случайных времен исправ ной работы блоков в каждой реализации подсчитываются по фор муле (5.23) случайные номера реализаций т ,( р (-), в которых эти блоки отказы ваю т в интервале [0, Г ] . Иными словами, в этих реа лизациях для отказавш их блоков надо использовать случайные вре мена исправной работы, распределенные по усеченному закону.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ
Например, для экспоненциального распределения при условии отказа в интервале [О, Т ] можно легко получить
|
|
|
|
|
|
т) = |
------^ 1 п [1 |
— 1 ( 1 — е~%т)], |
|
|
(5.24) |
где г| — |
случайное |
число, |
распределенное |
по экспоненциально |
усеченному закону с параметром %. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проиллюстрируем |
|
указанный |
|
способ |
простейшим |
примером. |
Д ля |
случая |
соединения |
устройства |
без |
резерва |
— ІО- '1 |
ч -1 , |
устройства с нагруженным резервом Х2 = |
А,3 |
= 5 - І О" 4 ч _ 1 п устрой |
ства |
с |
ненагруженным |
резервом |
\ |
— л5 = |
7 - ІО- 4 |
ч - 1 |
определена |
вероятность |
исправной |
работы |
за |
Т — 100 |
ч. Результаты сведены |
в табл. 5 .2 . Из таблицы видно, |
что даж е |
в этом |
простейшем случае |
время на моделирование сокращ ается более чем на порядок. |
|
Результаты определения вероятности Р (100) |
|
|
|
|
Т аб л ица 5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Способ определения |
|
(100) |
|
|
|
|
Результат |
|
Время |
моделирова |
|
|
Р |
|
|
|
|
ния на |
Ц В М М-220, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с е к |
|
Моделирование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,986 |
|
50± 1 |
|
|
без ускорения процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с ускорением процесса |
|
|
|
|
|
|
0,9854 |
|
|
1—2 |
|
Аналитический расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,985 |
|
|
|
|
Поясним кратко ход определения номеров реализаций, в которых |
проверяется |
влияние |
отказов |
на |
процесс функционирования. |
|
1. Вначале задаем количество отказов К, которое должно про |
изойти в системе для получения необходимой достоверности расчета. |
2. |
Затем в соответствии с формулой |
(5.23) находим номера реали |
заций, |
в |
которых |
отказываю т |
последовательно |
элементы системы |
в первый |
раз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІТІ(б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml1’, |
т Я , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П • |
|
|
|
|
|
Д алее |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min (m f5} |
= rn |
, |
j = |
1 , |
2 , . . . , |
п. |
|
|
|
Т е номера /, для которых /п} 11 |
= |
пг , |
определяют блоки, отказы ваю |
щие в |
реализации пг*. Если пг* |
> 0 , то в |
реализациях 1, |
2, 3, |
. . , |
пг* — |
1 |
система работала |
безотказно. |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
Д л я |
найденных |
блоков |
вновь |
определяем |
номера, |
которые |
склады ваем |
с |
пг*. |
В |
результате |
получается новая |
последователь |
ность |
пг?\ |
. . ., піп\ |
часть членов |
которой |
переносится |
из первой |
последовательности, |
а |
остальные |
представляю т |
собой сумму пг* -|- |
+ mf'1. Д л я |
этой последовательности |
определяем |
|
|
|
|
|
|
|
|
min [mf*] = /л**, |
і = |
1 , |
2 , . . . , |
п. |
|
|
|
ГЛАВА 5
4. Н а /-м ш аге получается последовательность
т Р , т-Р, ■. ■, rn.jp,
причем т (р ) ^ .
5. Последний номер реализации, в которой произошел К -й отказ, соответствует общему количеству независимых реализаций, про
веденных |
при |
моделировании. |
|
В т о р о й |
с п о с о б. Так ж е |
как и при рассмотрении первого |
способа, |
исследуется надежность |
системы, состоящ ей из п блоков, |
но работающей случайное время 0 , распределенное по случайному закону Fe (х). Законы отказов блоков— экспоненциальные с интен сивностями отказов Xj, j — 1 , 2 , . . ., п (индекс j далее опускается). Вероятность отказа некоторого блока точно в п-й реализации равна
|
|
|
П—1 |
|
rt— 1 |
|
П |
|
|
|
|
- % |
2 |
ѳ |
- X 2 |
0; |
S |
Ѳі |
|
|
|
Pn(t) = e |
І = 1 |
( і - е - хѳ*) = е |
1 = 1 |
- е |
1 = 1 |
, |
(5.25) |
где |
Ѳ £ — |
случайное |
время работы в і-й |
реализации. |
|
|
|
Л егко |
видеть, что формула (5.25) задает дискретную |
вероятност |
ную |
меру: |
|
|
|
|
|
|
|
[ |
- * | ѳ |
Л |
= lim \ 1 |
— е 1 1 |
j — 1 . |
П- > СО
Для определения номера п реализации, в которой отказывает блок, как и при использовании первого способа, нужно решить не равенство
|
|
-X |
П — 1 |
|
|
|
П |
|
|
|
|
2 |
ѳ,- |
|
-»■ 23 0,- |
|
|
1 — е |
, = 1 |
< |
# |
< 1 — е |
, = 1 |
, |
(5.26) |
где R есть РРС Ч |
в |
интервале |
[0, |
1]. |
|
|
|
Реш ая (5.26), |
получиѵ і |
|
|
|
|
|
|
|
" s |
0 , < - ^ - l n ( l - / ? X |
L |
Ѳ , |
( 5 . 2 7 ) |
|
£=і |
|
|
к |
|
|
i=i |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 4 < E < i l e Jf |
|
|
|
|
|
|
£ = 1 |
|
|
1=1 |
|
|
|
где £ — случайное, экспоненциальное распределенное число с пара метром X.
11 А . Г . В а р ж а п е т я н |
161 |
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ
И спользование формулы (5.27) состоит в том, что в памяти машины
П
накапливаю т достаточное число реализаций 2 Ѳ ,. Д алее для неко
торого /-го блока моделируют первое случайное число Ц 1' и опре деляю т номер первой реализации , в которой блок отказал, путем проверки неравенства
п(1) — 1 |
flО) |
іS= 1 |
e^r-sSe,.і = 1 |
Следующий номер п(2> определяют из неравенства
и т. д.
Эффективность данного способа ниже, чем первого, так как опредение п по формуле (5.27) требует нескольких попыток. Однако эти попытки занимают значительно меньше времени, чем моделирование случайного числа в каждой реализации.
АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА |
§ 5.5 |
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СУДОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ В ПРОЦЕССЕ ПЛАВАНИЯ
Специфика судовых систем управления была достаточно подробно рассмотрена в § 1 . 1 , поэтому остановимся только на трех характер
ных режимах работы таких |
систем. К |
ним относятся: |
1) режим эксплуатации |
в процессе плавания, характеризую |
щийся ограниченным восстановлением |
из-за недостатка ЗИ П а; необ |
ходимостью восстановления в течение времени допустимого пере рыва, чтобы не произошло срыва функционирования, и, наконец, отсутствием возможности восстановления отказавш их блоков;
2 ) режим профилактики и восстановления в порту, при котором снимаются указанные выше ограничения, но возникает необходи мость решения оптимальных задач, связанны х с загрузкой ремонт ных бригад и продолжительностью восстановления;
3) режим хранения систем на борту судна или на складе, при котором вы сокая готовность обеспечивается наличием ЗИ П а и пра вильным выбором режима профилактики.
Учитывая слож ность и многообразие режимов использования судо вы х систем управления, невозможно дать описание всех вариантов моделирующих алгоритмов. В настоящем и последующем параграфах
будет рассмотрено несколько |
примеров, достаточно общих для того, |
чтобы на |
их основе строить |
алгоритмы для |
специфических задач, |
в решении |
которых заинтересован читатель |
книги. |
Tj_i
ГЛАВА 5
Дадим некоторые обозначения, характерные для восстанавливае мых систем при исследовании их в процессе плавания. Если в сл у чае невосстанавливаемых систем можно оперировать лишь моментами времени, в которые происходит отказ, то в рассматриваемом случае необходимо использовать следующие интервалы времени:
— интервал времени от начала функционирования до /-го отказа;
т— длительность безотказной работы элемента между двумя последовательными отказами;
ta— случайное значение времени восстановления;
Гдоп — допустимое время простоя |
системы, причем если Т доп < Д В, |
то восстановление теряет смысл и суммарный интервал вре |
мени до начала восстановления принимается за случайное |
время исправной работы системы Тс. |
|
На основе принятых обозначений |
|
T j = T l_1 + |
tB+ t . |
(5.28) |
Кроме того, положим, что mf — |
число запасны х блоков і'-го типа. |
Рассмотрим блок-схему моделирования для |
восстанавливаемой |
системы с основным соединением (рис. 5.9). |
|
Операторы /, 2, 3 имеют то ж е |
назначение, |
что и операторы /, |
2, 4 в случае основного соединения для невосстанавливаемых систем (см. рис. 5.8).
Оператор 4 формирует общий временной интервал.
Оператор 5 производит операцию выбора времени восстановле ния, причем, если элемент восстановился на /-м шаге, для него выби
рается время tL ;-+1. Д л я |
удобства берем |
абсолютное значение t^, |
так как на последующих |
ш агах время |
восстановления tB отыски |
вается аналогично ttj, но с обратным знаком.
Так как система не работала в течение времени восстановления, то случайные числа, выбранные ранее для других элементов, можно оставить, уменьшив их на величину
h . /чі = sign h i |
i I h i I — mlin I tu |}. |
(5.29) |
Оператор 6 осущ ествляет логическую операцию выбора |
|
h |
i ^ 0- |
(5-30) |
Оператор 7 формирует время восстановления. Оператор 8 формирует времена исправной работы.
Оператор 9 производит проверку предыдущего числа tiS, форми руя с помощью операторов 10 и // альтернирующую последователь ность интервалов работы и восстановления.
Оператор 12 производит операцию сравнения проведенного числа восстановлений с возможным числом восстановлений, определяемым количеством блоков в ЗИ П е.
Операторы 13, 14, 15 решают задачи определения точности и обработки данных. При этом если восстановление системы произошло
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ
'tI-
рис. 5.9, Елок-схема моделирующего алгоритма восстанавливаемой системы g основным соединением.
