книги из ГПНТБ / Оптимизация процессов грузовой работы

ГЛАВА 4

На рис. 4 .5 изображены кривая, соответствую щ ая случаю на­ груженного резервирования ctl p, логарифмическая кривая с' и гра­ фик искомой функции с. Кривая с может быть получена путем пере­

Основание логарифма / может изменяться в пределах О < / <

<1 — kr0. Чем меньше /, тем ниже пойдет кривая и тем совершеннее

метод повышения готовности. При / = 1 — krQ функция (4.23) превращ ается в функцию, характеризую щ ую нагруженное резерви­ рование, а при / = 0 имеем идеальный случай увеличения надежности без затрат. Если известны исходная стоимость с 0 и коэффициент готовности, а такж е стоимость с и соответствующ ий ей коэффициент kr улучшенного образца, то согласно [22, стр. 4 3 ] параметр / можно определить по формуле

< 4 - 2 4 >

Как показано в [2 3 ], в результате анализа и обработки стати­ стических данных можно утверж дать, что параметр / изменяется

впределах

l ~ k rQ< f < ( l - k r0)\

105

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Зависимость, аналогичная (4.23), справедлива и для вероятности безотказной работы:

При экспоненциальном законе распределения времени безот­ казной работы от вероятности безотказной работы можно легко перейти к интенсивности отказов, получив еще один вид функции

Таким образом, рассматриваемый вид функции стоимости повы­ шения готовности (4.23) при надлежащем выборе параметра f доста­ точно хорошо характеризует реальные методы повышения готов­ ности и целесообразен для применения в расчетах по оптимизации готовности систем.

Из формулы (4.23) найдем зависимость коэффициента готовности от величины средств, затрачиваемых на его повышение. В этом сл у ­ чае выражение для коэффициента готовности улучшенного образца

шения готовности необходимо показать, как изменяются количествен­

Ф ункция (4.27) позволяет рассмотреть влияние на коэффициент готовности как характеристик безотказности, так и характеристик ремонтопригодности.

В случае избыточных систем следует иметь в виду, что разнообра­ зие методов резервирования и способов включения резерва не позво­ ляю т установить однозначную свя зь между готовностью резерви­ рованных систем и стоимостью обеспечения этой готовности. Поэтому можно рассмотреть подход, заключающ ийся в том, что сначала

106

ГЛАВА 4

определяется среднее время безотказной работы при различных спо­ собах включения резерва и различных стратегиях восстановления, а затем определяется изменение уровня готовности как функции от показателей резервирования.

блоков, при котором резервированная система сохраняет свою рабо­ тоспособность.

Проиллюстрируем сказанное на примере. П усть для навигацион­ ной вычислительной машины среднее время безотказной работы 50 я, а среднее время восстановления 7 я. Имеется возможность повысить готовность этой машины с помощью мажоритарного резер­ вирования, дублирования и дублирования с восстановлением в про­ цессе эксплуатации. Рассчитанные значения коэффициента готов­ ности и среднего времени безотказной работы для различных видов резервирования представлены в табл. 4 .4 .

Из табл. 4 .4 следует, что наилучшим из рассмотренных методов повышения готовности является резервирование с восстановлением в процессе эксплуатации резервированной системы. Однако реализа-

Таблица 4.4 Характеристики надежности и готовности резервированных систем

107

М Е Т О Д Ы П О В Ы Ш Е Н И Я Г О Т О В Н О С Т И

дня такого способа повышения готовности приводит к усложнению, а следовательно, и удорожанию системы. Кроме того, восстановле­ ние в процессе эксплуатации не всегда может быть реализовано по техническим причинам или в силу опасности выполнения восстано­ вительных работ при включенном состоянии резервных систем.

Анализ изменения коэффициента готовности нерезервированной и резервированной систем при улучшении ремонтопригодности показывает, что с повышением кратности резервирования возрастает эффективность улучшения ремонтопригодности как способа повыше­ ния готовности. Трудность получения стоимостной зависимости при этом не позволяет однозначно рекомендовать один из способов повышения готовности, а поэтому целесообразно определить методику получения их рационального сочетания для эффективного обеспече­ ния заданного уровня готовности.

Задачу исследования эффективности различных способов повышения готовности можно свести к задаче сравнения оптимальных структур синтезируемой системы, полученных при применении допустимых способов повышения готовности. В этом случае решение поставлен­

туры можно решать различными методами, каждый из которых имеет определенные преимущества и недостатки. Воспользуем ся методом динамического программирования, который является весьма эффективным способом максимизации при решении различных проб­ лем, связанны х с многоэтапным выбором. К числу этих проблем относится и проблема оптимального выбора структур.

Сформулируем поставленную задачу о получении минимального коэффициента простоя при заданной стоимости с помощью методов теории динамического программирования. Д ля вывода основного функционального уравнения запишем рассматриваемую задачу в виде

min kn{Xj, х2..........х„) =

П

0« 2 ctxі<с0

£=1

108

ГЛАВА 4

где kn — коэффициент простоя системы; /?П(- (xt) — коэффициент простоя і-й подсистемы, когда в ней имеется х с резервных элементов; Cj- — стоимость одного элемента і-го типа; с0— величина, ограничи­ ваю щ ая стоимость системы.

Заметим, что

ПП

Выражение (4.32) и есть функциональное уравнение, дающее рекуррентное решение поставленной задачи. Идея решения функцио­

оптимальный п-мерный вектор состава для /г-го элемента и соответ­ ствую щ его оптимального вектора (xlt х 2, . . ., хп) при значении пока­

109

мажорирующей последовательности, и, следовательно, становится вторым членом результирующей мажорирующей последовательности. Аналогично этому первый член второй исходной последовательности

/ 0,026 \

I 153} становится третьим членом результирующей мажорирующей

последовательности. Следующий в порядке убывания стоимости член

исходных последовательностей } имеет коэффициент простоя больший, чем коэффициент простоя последнего (третьего) члена ре­ зультирующей мажорирующей последовательности и поэтому он отбрасывается. Далее среди оставшихся членов исходных оптималь­ ных последовательностей находим два члена с одинаковой (минималь-

члена мажорирующей последовательности выбирается первый как имеющий меньший коэффициент простоя, а второй из дальнейшего

минимальную стоимость среди оставшихся для анализа и меньший по сравнению с последним (четвертым) членом результирующей последовательности коэффициент простоя и потому становится пятым членом мажорирующей последовательности. Следующий в по­ рядке убывания стоимости третий член второй исходной последова­ тельности отбрасывается, так как имеет коэффициент простоя, превосходящий коэффициент простоя последнего члена мажори­ рующей последовательности. Четвертый член второй исходной по­ следовательности хотя и имеет коэффициент простоя, равный коэф­ фициенту простоя последнего члена результирующей последователь­ ности, но стоимость его значительно выше, и он также отбрасывается. Последний член второй исходной последовательности становится шестым членом результирующей мажорирующей последовательности. Все члены двух исходных оптимальных последовательностей про­ анализированы, и из них образована результирующая мажорирован­ ная последовательность.

Ш

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Блок-схем а машинной реализации алгоритма «мажорирование» представлена на рис. 4 .6 . При этом использованы следующие обо­ значения:

Операторы 1 и 2 засы лаю т в память машины две очередные по­ следовательности, фиксируя их длину. Оператор 3 выбирает из этих последовательностей член с минимальной стоимостью . Операторы 4— 7 или 8— 11 составляю т из двух исходных последовательностей одну последовательность по признаку возрастания стоимости. Операторы 12 и 13 вводят в рассмотрение очередную последовательность и про­

последовательности по возрастанию показателя надежности, отбра­ сы вая члены, не удовлетворяющ ие этому условию . Оператор 20 выводит на печать результирующ ую мажорирующую последователь­ ность и останавливает процесс обработки.

Таким образом, поставленная задача оптимального сочетания способов повышения готовности может быть решена в соответствии с алгоритмом, представляющим собой комбинацию алгоритма Кет-

зуемой интенсивностью восстановления щ , по алгоритму Кеттела определяем оптимальную структуру системы при поэлементном резер­ вировании для некоторой интенсивности отказов базовых элемен­ т о в .^ . При этом находим оптимальную последовательность, которая

оптимальную структуру системы при поэлементном резервировании

вательность обозначается j 2;

3) для интенсивности отказов %г определяем оптимальную струк­ туру системы при поэлементном резервировании для базовых элемен­

112

ГЛАВА 4

Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма «мажорирование».

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ г о т о в н о с т и

Полученная при этом оптимальная последовательность обозна­

окончательную мажорирующую последовательность, последний член которой указы вает максимально возможный уровень готовности системы, достигнутый за счет оптимального сочетания способов го­ товности при заданном ограничении на стоимость. Соответствующ ая этому члену структура определяет оптимальное распределение избы­ точности в синтезируемой структуре, а такж е порядок использова­ ния блоков с различной интенсивностью отказов и характер исполь­ зуемого восстановления. М ажорирующ ая последовательность харак-

Рис. 4.7. Схема надежности системы.

теризует зависимость коэффициента простоя от стоимости при опти­ мальном распределении избыточности или при оптимальном сочета­ нии различных способов готовности.

В качестве иллюстрации применения метода динамического про­ граммирования к решению задачи исследования эффективности различных способов повышения готовности рассмотрим задачу получения максимально возможного коэффициента готовности (мини­ мального коэффициента простоя) системы, схема надежности которой приведена на рис. 4 .7 . Система состоит из трех блоков 1, 2, 3, соеди­

(с более низкой интенсивностью отказов); 3) повышение ремонтопригодности системы с помощью различных

мероприятий.

П ервоначальная стоимость системы с0 = 150 условных единиц. Д ве трети этой стоимости израсходовано на достижение интенсив­ ности отказов Я. 0 и одна треть — на достижение интенсивности вос­ становления [х0Дополнительно на повышение готовности отпущено 2 с 0 средств; таким образом, ограничение по стоимости системы равно Зс0.

Требуется определить оптимальное сочетание указанны х трех способов повышения готовности для получения максимального зн а­ чения коэффициента готовности системы при заданном ограничении на стоимость.

Д ля осущ ествления нагруженного резервирования замещением необходимо использовать переключающие устройства, обеспечива­

114