книги из ГПНТБ / Оптимизация процессов грузовой работы

ГЛАВА 4

модели процесса. Что касается выбора критерия оптимизации, то он зависит от назначения и структуры системы. В этой связи можно выделить две разновидности задач оптимизации резервирования. К первой разновидности относятся задачи, в которых известно не­ обходимое время работы системы і и требуется создать оптимальную структуру последовательно-параллельного включения компонентов, обеспечивающую получение заданного или максимального значения вероятности безотказной работы в течение этого времени при извест­ ных ограничениях на какой-либо лимитирующий фактор или на совокупность факторов. Подобного рода ситуации возникаю т обычно для систем одноразового действия. При этом в качестве критерия надежности выступает естественным образом вероятность безотказ­ ной работы Р ( t).

В формализованном виде задача может быть представлена сле­

ность безотказной работы k-й ступени резервирования; п — коли­ чество последовательно включенных ступеней, образующих основное

максимизируют функционал (4.1) при одновременном выполнении условия (4.2) либо условия (4.3). Такого рода вопросы подробно

задачу выбора оптимальной избыточной структуры восстанавливае­ мых систем в установивш емся режиме их работы. Д л я этих систем оправдано постоянство структуры в течение всего периода эксплуа­ тации. Критерием оптимизации для них может служ ить среднее время наработки на отказ Т либо, если изменение структуры системы влечет за собой изменение характеристик ее восстанавливаемости,

95

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

коэффициент готовности /гг или функция готовности в установившемся режиме Г (s). В первом случае максимизируется функционал

Следует отметить, что задачи оптимизации структуры по крите­

в случае критериев Т и kr. Кроме того, оптимальные структуры, полученные по данным критериям, различны. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 4.1. Пусть имеется нерезервированная система, состоящая из трех

женное резервирование таким образом, чтобы было достигнуто максимальное значе­ ние заданного критерия, а вес системы при этом не превышал 12единиц. Результаты решения представлены в табл. 4.1.

Второй разновидностью задач оптимизации резервирования яв­ ляю тся задачи, связанны е с поддержанием на требуемом или макси­ мальном уровне некоторого критерия надежности в течение длитель­ ного периода эксплуатации при нестационарных режимах работы,

96

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ГОТОВНОСТИ

где wkm{l) — вес k-k резервированной ступени на l-ы этапе оптими­ зации структуры системы в области, определяемой соотношениями

Г (t, s) не имеет принципиальных особенностей по сравнению с опти­ мизацией по критерию Г ( t).

Рассматриваемые вопросы оптимизации структуры могут быть решены с помощью различных математических методов исследования операций, в частности путем использования метода неопределенных множителей Л агран ж а, метода наискорейшего спуска, метода дина­ мического программирования. В силу ряда преимуществ наиболее удобным является метод динамического программирования, позво­ ляющий находить все целочисленные оптимальные решения. Метод особенно эффективен при небольшом количестве компонентов, т. е. в тех случаях, когда резервирование производится на уровне круп­ ных блоков при небольшой кратности, что на практике обычно и имеет место.

Рассмотрим более детально максимизацию функционала (4.6), так как к этой задаче могут быть сведены многие часто встречающиеся

на практике ситуации. Обозначим функционал Г (/) в (4.6) через /дЯ. Тогда функциональное уравнение для решения данной задачи мето­ дом динамического программирования при ограничениях (4.7) будет иметь вид

при нескольких ограничениях могут быть использованы различные алгоритмы [3, 3 2 ]. Приближенный алгоритм [3, стр. 62— 6 7 ] позво­ ляет перейти от задачи оптимизации при нескольких ограничениях к задаче оптимизации с одним искусственным ограничением. Объем

98

ГЛАВА 4

членов оптимальной последовательности на каждом ш аге оптимизации будем производить с помощью указанного приближенного алгоритма. Алгол-программа решения задачи оптимизации с использованием уравнения (4.10) приведена в приложении II. Программа составлена

законам . Врем я восстановления каждой подсистемы с учетом резервирования распределено по закону (3.9). Д ля более наглядной иллюстрации влияния формы участков приработки каждой из под­ систем на оптимальную структуру системы их веса взяты равными единице. Требуется выбрать такую кратность резервирования под­ систем, чтобы в течение всего времени эксплуатации, включающего периоды приработки и установивш ейся работы, система имела наи­ больший уровень готовности при суммарном весе, не превышающем 8 условных единиц. Очевидно, что не сущ ествует такой постоянной структуры, которая обеспечивала бы выполнение данного требо­ вания. Следовательно, задачу необходимо реш ать поэтапно, изме­ няя периодически значения компонент вектора М для достижения

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

ствует установивш емуся состоянию системы. Это означает, что в даль­ нейшем структура не меняется и значение М = (2, 2, 4) является оптимальным для данного периода.

Алгоритм дает возможность решать такж е задачу оптимизации структуры системы с использованием уравнения (4.8) при ограни­ чениях (4 .9). Д л я иллюстрации этой задачи в условиях рассмотрен­ ного примера выбираем такую стратегию резервирования в течение

решение представлено в табл. 4 .3 , из которой следует, что минималь­ ный вес системы соответствует установивш емуся периоду эксплуа-

100

П режде чем перейти к анализу этой модели, выведем по методике, предложенной А . И. Коёкиным, функцию стоимости при нагруж ен­ ном резервировании и покажем, что способ увеличения уровня го ­ товности за счет применения нагруженного резервирования яв­ ляется самым неэкономичным. Коэффициент готовности резервиро­ ванной системы с кратностью т при неограниченном восстановлении определяется по формуле

Стоимость резервированной системы в случае нагруженного ре­

Допустим теперь, что предложен метод, при котором увеличению коэффициента готовности до значения krl соответствует изменение

в результате применения метода, увеличивающ его коэффициент готовности до значения krl. Ясно, что разрабатывать такой метод нецелесообразно. Применение его обосновано при выполнении со ­ отношения

Ф ункция стоимости, определяемая выражением (4.18), и функция стоимости системы при нагруженном резервировании имеют общую исходную точку с координатами kr0 и с„. Чтобы найти другие общие

102

' ГЛАВА 4

Графическое решение этого уравнения представлено на рис. 4 .2, где построены вспомогательные функции

Уі = {1 — £ r)f l n ( l — k ry,

г/ 2 = ( 1 — Ar0) M n ( l — Ar0).

Ф ункция г/i при kr = k'r имеет минимум. Из рис. 4 .2 видно, что кривая у г и прямая у 2 имеют две точки пересечения. Значит, урав­ нение (4.19) имеет два решения krl и kr2.

Найдем минимум функции у х, приравняв нулю ее производную:

или после подстановки у х

Xln (1 — kT) = 0.

После упрощения получим

103

точек в зависимости от величины коэффициента готовности исход­

функция (4.18) неудовлетворительно аппроксимирует сущ ествующ ие методы повышения готовности, так как дает увеличение стоимости большее, чем при нагруженном резервировании всего устройства в целом. Применение этой функции в расчетах приводит к несколько

возможных функций стоимости, имеющих исходную точку с коорди­ натами Г о и со- Эта область ограничена линиями 2 и 3. Кривой /, соответствующ ей случаю нагруженного резервирования, она разде­ ляется на две области / и II. Допустимой является область I. Гра­ фиками допустимых функций стоимости являю тся кривые, имеющие

104