|
|
|
ГЛАВА 2 |
Выражение (2.56) примет вид |
|
|
|
X (о) — Сп~1Рп 1 Сп~2Рп |
~ ~Ь ’ ’ ' Ч~ сіРЧ~ со _ |
с (р) |
(2.58) |
р" -Т &П-\Р " + |
■• • -f- d-iP -\-da |
D (p) |
|
Знаменатель дроби в (2.58) представляет собой характеристиче ский многочлен дифференциального уравнения (2.54) при усло вии р — X:
Согласно сформулированной задаче требуется, чтобы решение дифференциального уравнения (2.54) совпало с заданной функ цией К' (t):
X (t) = К (О
и, значит,
X (Р) = К' (р).
Это требование будет удовлетворено, если выполнены условия
D (р) = D' (р);
С (р) = С' (р).
Следовательно, изображение решения искомого дифференциального уравнения должно иметь вид
Хір) = |
с (Р) |
c» -lP " 1 ~і~Сп-2РП 2 ~Ь • • • Ч~ С\Р І~ с0 |
(2.59) |
D' ( P) |
Рп +4П_]р п ' + •■•+d xp -(-dg |
|
|
|
Знаменатель дроби в (2.59) представляет собой характеристиче ский многочлен искомого уравнения, и, следовательно, это уравне ние имеет вид
'(О “Ь dn_1 xt-n ^(^) —(—- - •—J—â\X(t) -f- d ’tpc (t) — 0.
Начальные условия, при которых решение дифференциального уравнения х (t) совпадает с заданной функцией К' {t), определяются
согласно соотношениям (2.57) при условии с, = с'р.
X(0)— сп_ і,
х (0 ) = с,'і_ 2 — dn_iX(0);
X(0) = c'n—з — d’n-iX (0) — d’n_2x (0);
x («-2) |
= |
c ; _ |
ci’„ ^ n- 3) (0 )-------------- |
d2x (0); |
x{n~l) (0) = |
ci — |
( 0) -------------- |
d[x(0). |
Таким образом, методика воспроизведения возмущающей функ
ции |
К' |
(і) |
на A B М общего применения заклю чается |
в следующем: |
5 |
А. |
Г. |
Варжапетян |
65 |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
1) по заданной функции К' ( t) находят ее изображение К' (р)\ 2) по знаменателю изображения /(' (р) строят характеристиче
ское |
уравнение А (Я.) = |
0 |
и по |
нему — |
дифференциальное уравне |
ние (2.54); |
|
|
|
|
|
3) |
составляю т схему |
набора |
на А ВМ |
общего назначения |
урав |
нения (2.54) методом понижения порядка производной; |
|
4) |
по формулам (2.60) |
определяют |
начальные условия |
этого |
уравнения.
Проиллюстрируем данную методику на примере определения параметра потока отказов при ненагруженном резервировании эле ментов (т = 2).
И звестно [3 3 ], |
что в этом случае средняя |
частота отказов может |
быть получена из |
следующего интегрального |
уравнения: |
|
|
jSfi |
|
|
хз |
* |
|
|
|
|
|
|
со (t) = — |
|
е - Ѵ |
+ |
- у - |
j со (т) (t — xfe-K «-*> |
dz. |
(2.61) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Определим |
изображения |
по Л апласу |
для функций, входящ их |
в данное |
интегральное |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü>(f)-*~»Q (р); |
|
|
|
|
|
|
|
W |
м |
|
. 3 |
1 |
|
|
|
(2.62) |
|
|
|
■ о |
е-*«1-Ч--+ ЯЬ |
(Р + Яо)3 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
со (t) |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
іЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ао |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(p) |
( Р + Я о)3 |
|
|
|
(2.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(р + Я0)2 |
|
|
|
Сравнивая |
данное |
выражение |
с |
(2.48), |
видим, что |
F (р) |
равно |
|
|
|
|
\ з |
|
|
|
з |
|
|
|
|
F{p) |
|
А<0 |
|
|
|
Xо |
|
|
(2.64) |
|
(Р + |
Я„)3 |
Р 3 4 - |
З Я д Р 2 |
+ |
3 Я д Р -f- Яд |
|
|
|
|
|
|
Г Т Г Г Й Равно
1 |
1 |
|
Р3 + ЗЯдР"-ТЗЯдР + Яд |
1 - А (Р) “ _ |
Ä| |
_ |
(2.65) |
Р3 + ЗЯ0р2 + ЗЯ\р |
1 ~ (Р + Яо)3
Ввиду того, что выражение (2.65) представляет собой дробно рациональную функцию, степень числителя которой совпадает со степенью знаменателя, и для таких соотношений рассмотрена методика моделирования передаточных функций, при реализации зависимости (2.63) примем схем у, показанную на рис. 2 .6 , б.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 |
Затем |
составим схему |
моделирования |
передаточной |
функции |
(2.65) по методике, изложенной выше. |
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й (р) |
_ |
Р3+ |
3\QP2+ |
3XQP + |
Я30 |
(2.66) |
|
|
|
F (Р) |
_ |
р 3+ з ѵ 2 + |
з^ |
’ |
|
|
|
|
(р |
-|- ЗЯоР |
|
-f- ЗЯ5Р) й (р) — (р |
ЗЯ0р -f- ЗЯ0р -f- ?-о) F(p)\ |
1 _|_ |
I |
зхі |
Q ( p ) = |
1 |
ЗЯр |
|
F(PY, |
|
|
|
|
|
|
|
й (р) = |
( з ѵ |
7 (р) - |
зяой |
(р) + |
|
|
|
|
З Я ^ ( р ) - З Я 95Й(р) + |
~ - F ( p ) + F (Р)> |
(2.67) |
Рис. 2.8. Структурная схема, реализующая зависимость (2.68).
или, иначе, |
|
|
|
|
|
|
Q(p) |
= F (р) |
+ Z 3 (р), |
(2.68) |
где |
|
|
|
|
|
Z3 (р) = |
- L |
[ЗЯ0Р (р) - |
ЗЯ0Й (р) + |
Za (р)]; |
z 2 (Р) = |
- і - |
[ |
(р) - |
ЗЯой (р) + |
Z ip ) ] ; |
Zi (р) = -^-ЯоР(р).
Схема реализации на А ВМ уравнения (2.68) приведена на рис. 2 .8 . Составим схем у моделирования и определим начальные условия для воспроизведения функции времени, изображением которой
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
является функция (2.64). Применительно к общей формуле (2.59) коэффициенты передаточной функции таковы:
С2= |
0, |
с?2 = |
ЗЯоі |
С\ = |
0, |
d\ = |
ЗХоі |
Cg= |
Яо, |
do = |
Я3. |
Характеристическое уравнение имеет вид
Я3 + ЗЯоЯ2 + ЗЯ£я + Я£ = 0,
а соответствующ ее ему дифференциальное уравнение
х'-і- ЗЯо* + ЗЯ^х + Я? = 0 .
Н ачальные условия определяем с помощью соотношений
|
х (0 ) = с2 = 0; |
|
X (0) |
= |
с[ — d2x (0) = |
0; |
X (0) |
= |
со — dix (0) = |
1. |
П окаж ем использование данной методики для получения функции готовности системы энергопитания, состоящей из трех параллельно работающих в смысле надежности генераторов. Вы раж ение этой
функции |
в изображениях |
по Л апласу |
было |
получено в § 2 .6 |
[фор |
мула (2 .4 4 )]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
случая, когда Я = |
0 ,5 ч -1 , |
р |
— 1 |
ч -1 , |
соотношение |
(2.44) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■р/_\__ |
|
Р3 4- 6р2 + |
10,25p -f- 4,0 |
|
|
|
|
W _ |
p(P3+ 6p2 +10,25p + |
4,75) |
• |
|
Запишем |
это выражение |
в |
виде двух сомножителей: |
|
|
|
|
р3 + 6р2+ |
10,25р + |
4,0 |
|
(2.69) |
|
|
|
рз_|_бр2+ 10,25р + |
4,75 • |
|
|
|
|
Первый сомножитель будем моделировать как функцию времени,
изображением которой является а второй сомножитель — по ме
тодике моделирования передаточных функций, изложенной в данном параграфе. Н а рис. 2 .9 показана схема моделирования на А ВМ соотношения (2.69) (за величину скачка принято напряжение 25 в).
Если преобразования Л апласа К' (і) не сущ ествует или оно пред ставляет собой рациональную либо трансцендентную функцию от пе ременной р, то функцию К' (р) можно аппроксимировать решениями обыкновенных однородных дифференциальных уравнений с постоян-
ГЛАВА 2
ными коэффициентами. Аппроксимация применяется такж е и тогда, когда изображение F (р) в уравнении (2.47) не является дробно рациональной функцией комплексной переменной р.
256
Ввиду того что изображением экспонент с действительными и комплексными показателями являю тся дробно-рациональные функ ции оператора р, целесообразно выполнить аппроксимацию, супер позицией показательных функций.
АППРОКСИМАЦИЯ ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ |
§ 2.8 |
УРАВНЕНИЙ И ВОЗМУЩАЮЩИХ ФУНКЦИЙ |
|
Сущ ествующ ая [4] методика аппроксимации |
функции линейной |
комбинацией показательных функций с использованием критерия наименьших квадратов применима только для случая, когда показа
тели |
экспонент |
являю тся действительными числами. Если ж е Xk |
являю тся комплексными сопряженными |
числами, то |
предложенная |
в [4 ] |
методика |
не годится. Поэтому |
используем |
разработанный |
Г. Г . Гершелисом способ аппроксимации заданной функциональной зависимости решением линейных разностных уравнений с постоян ными коэффициентами.
П усть некоторая функция /* (t) задана в виде графика или из вестны ее значения в отдельные равноотстоящ ие моменты времени }Т, где / = 0, 1, 2, . . .; Г — интервал дискретизации. Поставим задачу аппроксимировать ее функцией f (t), которая является решением
линейного разностного |
уравнения |
с |
постоянными |
коэффициентами |
/ l(k + |
п) Т] |
+ ап_Л [(£ |
+ |
(« — 1)) Т ] + •■•+ |
|
|
+ |
a j |
[(k + 1) Т] |
+ |
a0f [kT] |
= ß |
|
(2.70) |
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
/ (0) = |
/о; f(T ) |
|
1 ( п - і) |
т ] |
= fn_v |
(2.71) |
Подвергнем уравнение (2.70) z-преобразованию . Согласно теореме сдвига . .
Z\f[{k + n ) T \ \ = znF{z) — S |
l ^ - o - D . |
(2.72) |
• I*—1 • |
‘ |
|
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
И спользуя теорему линейности, получим следующее уравнение:
Z\f[(k + n ) T ] + a n_J[(k + ( n - |
1 ) ) Г ] + . - - |
+ а 1/ [( А + 1 )7 ’] + |
+ «о/ (kT)\ = F (z) z" - |
/„г" - |
/iZ"-1 -------------- |
f„_22 2 - f„_lZ - f |
+ an_! [F(z) z " - 1 — |
fo Z ^ 1 — ^ z « - 2 -------------- |
fn-2z] + |
|
+ ■•• + <h IF (z) z — |
f 0z] + ao/7 (z) = 0. |
(2.73) |
Группируя члены уравнения (2.73) по степеням z и решая его отно сительно F (z), получим
2 І/о2" - 1 4 - |
( f i + a n-ifo) z” |
2 + |
• • • + |
|
p ^ __ + ( / л - і + ал -і/л -а 4 - a n-2fn-3 4 " |
' ' ' |
4~ a j o ) ] |
^2 7 4 ) |
г" + |
an-i2”- 1 4--------- |
h 0^ 4-00 |
|
К ак видно из (2.74), коэффициенты при степенях z представляю т собой линейные комбинации из начальных условий (2.71) разност ного уравнения (2.70). Обозначим эти коэффициенты следующим образом:
Ьп-і — /о!
bn-2 = / і 4 - Ал- i/o ;
|
|
|
|
|
Ьп-3 = fi + |
|
ал-і/і4 - |
a n - J <h |
|
|
(2.75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ л - 2 |
+ |
an-lfn- 3 |
4 “ |
^n-zfn-i 4 -------- 4 - |
а J 0] |
|
b0= |
/л- 1 |
4“an-ifn- 2 |
+ |
Ял-г/я-з 4“ ••■4" aifo- |
Представим |
выражения |
(2.75) |
в |
общем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
(2.76) |
|
|
|
|
|
Ь п - (i+1) — |
/( |
+ S |
C t n - jfi—j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
где 6 tl_(£+ i) |
= |
0 |
при |
t |
> л — |
1, |
а„ _ ; = 0 |
при |
л |
/, /і_ , — зн а |
чения функции в дискретные моменты времени t = |
(і — /') Т. |
П ридавая |
і |
последовательно |
значения л, |
л 4 - 1 , |
п 4“ 2, л 4- 3, |
. . ., получим |
следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0— /л + ал - і/л - і 4-•■•+ aifi 4-ßo/o! |
|
|
|
|
о |
= fn+i 4 ” йл- і /л 4 -------- 4 - |
aif24~ |
ßo/i; |
|
|
о |
= |
/гл -1 |
4 “ |
а л - і/г л - 2 |
4~ |
• ■■ 4 " a ifn |
4 - |
|
|
(2.77) |
|
ß o /л- il |
|
|
0 |
= |
/гл |
4 “ |
а л - і/ г л - і |
4 -------- 4 - |
ß i /л+ і |
4 " |
ßo/л! |
|
|
0 |
== /гл + і + |
ß n - i/гл |
4 --------4 - ß i /л+г |
+ |
а о/л+іі |
|
ГЛАВА 2
Соотношения (2.75) связы ваю т коэффициенты числителя и зн а менателя в формуле (2.74) с первыми п значениями функции / ЦТ), j = О, 1, 2, . . . С помощью этих соотношений легко вычислить коэффициенты числителя, если известны коэффициенты знаменателя.
Равенства (2.77) перепишем в виде
|
|
— / л |
= |
« л - і / л - і + |
■• ■ + |
|
aifi + aofo', |
|
|
|
|
~ f n +1 — a n - lfn + • • • 4~ ^ 1 / 2 + a o fi, |
|
|
|
|
'f i n - l = |
Q -n-lfzn-i “b |
' ' |
’ “b |
a i l n |
a o f Л-1 І |
|
|
|
|
/гл = |
an_if2n_i Ң - |
••• + |
|
&ifл+1 “I- @ofn) |
|
|
|
|
/гл+і = |
a n - if in |
~f" ' ' ' |
~f“ a i f л+2 "f" a o fл+ъ |
|
|
Д ля |
общего |
случая, |
когда число строк равно т, эти равенства |
можно |
записать |
в матричной |
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
" |
fn - |
|
- fn-1 |
fn-i ’ ■ / l |
/о “ |
|
|
|
f Л+1 |
|
/л |
/л-1 |
■ |
• / 2 |
/ і |
ап-і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/гл |
— |
fin-1 |
/гл- 2 |
' |
‘ |
/л+1 |
/л |
^л-2 |
(2.78) |
|
/гл+і |
|
fin |
fin-1 |
• |
' |
/л+2 |
/Л+1 |
«О J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn+m-i |
|
fn+m-2 /n+m-3 ' |
■ и |
/Ш—1 |
|
|
Матрица коэффициентов состоит из т строк и п столбцов. Если ограничиться первыми п строками, получим матрицу размером пХт, что приведет к системе из п уравнений с п неизвестными величинами
ап_1Уап_2, |
. . ., |
а0. Реш ив |
эту систему, найдем коэффициенты an_lt |
ап_2, . . ., |
а 0> |
а затем с |
помощью |
соотношений (2.75) |
вычислим |
коэффициенты |
числителя |
bn_ly bn_2, |
. . ., Ь0/ |
Это позволит |
по |
строить изображение F (г) |
аппроксимирующей |
функции |
f ( t), |
кото |
рая будет совпадать с заданной функцией /* (t) в п точках t = О,
Т, . . ., пТ.
В интервалах между точками разбиения отклонения аппрокси мирующей функции от заданной могут быть недопустимо большими. Чтобы получить хорошую точность аппроксимации во всех точках, нужно прибегнуть к методам наилучшего приближения. Д ля этой
цели возьмем пг строк (пг > л ) . |
Тогда |
получим системууравнений, |
которую запиш ем в матричной форме: |
|
/ = |
Fß, |
.(2 .79) |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
где f — вектор-столбец: |
|
|
fn |
' |
|
fn+l |
|
|
/ = |
|
|
fri+m-i.. |
F — прямоугольная |
tnXn матрица, |
элементами которой являю тся |
значения функции f |
(t) от f 0 до |
а — столбец искомых коэф |
фициентов: |
|
|
|
а п - 1 |
|
|
ао |
J |
Число т выбираем достаточно большим, удовлетворяющим соотно шению
4 = |
іп + /л — 1) Т, |
где 4 — время наблюдения |
процесса. |
Система уравнений (2.79) является несовместной. В теории матриц доказано, что эта система имеет одно и только одно наилуч шее приближение (при использовании метода наименьших квадра
тов), и это приближение определяется |
по формуле |
|
|
|
|
|
а = F*f, |
|
|
(2.80) |
где |
F* — псевдообратная |
матрица для |
прямоугольной матрицы F. |
По |
найденным |
значениям |
ап_ъ ап_2, . . ., а0 с помощью соотноше |
ний (2.75) вычисляем коэффициенты Ьп_ъ Ьп_2, . . ., |
Ь0. Зная |
коэф |
фициенты at и |
(2.74), можно найти функцию F (г). |
|
|
Оригинал f |
[kT] для |
изображения |
F (z) будет |
решением |
урав |
нения (2.70) с начальными условиями (2.71). При этом f (kT) опре деляется для всех неотрицательных значений k по формуле обрат ного z-преобразования
f m = ^ r \ F ( z ) z - 4 z . |
(2.81) |
Контур интегрирования Г в плоскости z, охватывающ ий особые точки F (z), изображен на рис. 2 .10 .
Полученная аппроксимирующая функция будет наилучшим при ближением к функции /* (/).
Уравнение (2.81) представляет собой выражение для обратного z-преобразования аппроксимируемой функции, так как /* (і) опре деляется значениями интеграла (2.81) для всех неотрицательных к.
ГЛАВА 2
Действительная выходная величина представляется следующим образом:
|
|
СО |
|
П О |
= £ f {пТ) б (* — п Г ). |
(2.82) |
Контурный интеграл в |
уравнении (2.81) может быть вычислен с по |
|
п=0 |
|
мощью формулы Коши |
|
|
|
f [kT] = -Щ - J |
F (а) 2 ' - 1 dz = 2 Res К (г) г " - 1. |
(2.83) |
Д ля применения формулы обращения целесообразно дробно рациональную функцию F (z) разбить на элементарные дроби. При этом могут иметь место следующие случаи:
1. Элементарная дробь имеет вид
-------— . Оригинал |
( t) для |
этой |
дроби |
2 — 2І( |
|
|
|
равен |
|
|
|
h = 2 л I |
гп ld z= |
Atzl = |
A ß i' |
при t = пТ.
j_
От показательной функции zT мож
но перейти к экспоненциальной, пред ставляя корень 2 ,- в виде zt — emc, где mf = ln zt. Тогда
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. |
Особые точки кон |
h (z) = 2 - 1 { - ^ r } = |
Afi— |
|
тура интегрирования. |
|
*. (2.84) |
|
|
|
2. |
Полюсы элементарной |
дроби кратные, т. е. дробь имеет |
вид |
Ага |
■. Тогда |
|
|
|
|
|
( 2 - у ) “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft (t) = lim Aza+n~l = А у у - Х= АуаУ |
г . |
|
|
|
Z->V |
|
|
|
|
|
П олагая у = |
eL, где / = |
In у, получим |
|
|
|
|
|
|
f2(t) = Aya- V |
|
|
|
3. |
Полюсы элементарной дроби |
комплексные сопряженные, |
т. е. |
дробь |
имеет |
вид |
. В этом |
случае при получении ори |
гинала /з (t) |
представим |
рассматриваемую дробь в следующем виде: |
|
|
zjBjZ + Q) ^ |
BiZ( z + - r ) |
г ( с‘ - Ві-т) |
|
|
z l + P iZ + q t |
2 2 + P iz + q i |
' 2 - + P iz + Qi |
|
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Сравнивая с табличными преобразованиями (индексы далее опу скаются)
|
|
Z {e~a<sin со0/ } = |
|
гг |
аТ sin со0Т |
|
|
|
|
|
|
|
аТ cos со0Т |
е 2аТ |
’ |
|
|
|
|
г2 — 2ге |
(2.85) |
|
|
|
|
|
г ( г - |
■е |
аТ cos со0Т) |
|
|
|
Z {ß - a/cos(B0^ = |
|
|
|
|
|
|
2ze |
аТ cos щ Т + |
г— Іа Т |
> |
|
|
|
|
г" + |
|
видим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = — |
2е-аТcos со07’;'І |
|
|
( 2. 86) |
|
|
|
q = e~ -аГ. |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
д - ( - f - ) 2 = |
Y е~2аТ— е~2аГcos2 а 0Т |
|
|
|
|
|
= е~аТ у 1 — cos2 со0Т — е ~аТsin <в0Т. |
|
|
В |
результате |
проведенных |
преобразований |
можно найти |
ориги- |
нал |
л |
2 (B [ Z + Сі) |
|
имеет |
следующий вид: |
|
дроби |
га_|_р.^ц_ д . который |
|
|
|
/2 (t) = |
е~аТВ cos <в0Т + |
е~аТ |
С - В ^ г |
|
|
|
|
|
. sänö)07\ |
(2.87) |
В выражении (2.87) известны все величины за исключением а и ю0.
Определим значения а и и 0. |
Корни знаменателя дроби |
|
|
|
|
г (BjZ -j- Ci) |
( 2. 88) |
|
|
|
г2 + Piz + qi |
|
|
|
|
вычисляю тся следующим |
образом: |
|
Zi.8 = |
— - f - ± |
У |
( - у - ) 2 — Qi = e - aT cos (i)0T ± |
|
± |
Y e~ 2aTcos2 (o0T — e~-aT = e~aTcos ю0T ± |
|
± je~aTsin co0T = e~aT(cos aQT ± j sin a>0T) = е - аГ±/ш»r . (2.89)
С другой стороны, известны численные значения комплексно
сопряженных корней знаменателя дроби (2.88): |
|
г1л = а ± /ß. |
(2.90) |
Следовательно, |
|
â ± /ß = er aT±i<*<>T. |
(2.91) |
