книги из ГПНТБ / Оптимизация процессов грузовой работы

ГЛАВА 2

И спользуя формулу (2.18), получаем искомое решение

х + т

45

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Следует заметить, что на практике с экспоненциальным законом распределения приходится встречаться чаще, чем с другими. Это объясняется тем, что закон распределения интервалов между соседними событиями в потоке редких случайных событии, состав­ ленном из многих независимых потоков с любыми характеристи­ ками, теоретически сходится к экспоненциальному, если слагаемы х потоков много и каждый из них в отдельности оказы вает слабое влияние на суммарный поток. Подобную модель представляет сл о ж ­ ная техническая система, состоящ ая из разнообразных элементов. Практически экспоненциальный закон можно считать справедливым на участке установивш егося режима работы аппаратуры.

Д л я рассматриваемых законов распределения времени безотказ- ■ ной работы и времени восстановления получим выражение функции готовности на промежутке Г (t, s).

Напомним, что промежуток времени s, в течение которого оцени­ вается готовность системы, является величиной постоянной.

В операторной форме записи функция готовности на промежутке может быть представлена на основании (1.41) и (2.7) в виде

Г (р, s) = P(p, s) i _ Al U ( p y

С учетом соотношений (2.12), (2.15) и (2.28) получаем

46

Предельное значение функции готовности на промежутке в этом случае равно произведению коэффициента готовности на вероят­ ность безотказной работы системы в течение времени s:

ние готовности (1.35) в случае распределения длительности безотказ­ ной работы по закону гамма-распределения при целом значении параметра k и экспоненциальном распределении времени восста­

Известно [3 3 ], что гамма-распределение описывает закон распре­ деления безотказной работы резервированной системы при ненагруженном резерве и при условии, что для основной и резервных систем справедлив экспоненциальный закон распределения времени без­ отказной работы. Следовательно, соотношение (2.33) может быть использовано для расчета функции готовности резервированных систем при указанном выше типе резервирования.

Пример 2.1. Требуется определить вероятность того, что через 50 ч работы пункт радиосвязи судна, состоящий из двух приемопередатчиков, один из которых находится в ненагруженном резерве, будет готов к действию, если интенсивность отказов основного и резервного приемопередатчиков равна X = 0,02 ч_1, а интенсив­ ность восстановления р = 0,2 ч-1.

47

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Для решения воспользуемся соотношением (2.33), приняв /е = 2. Используя обратное преобразование Лапласа, из выражения (2.33) получаем

Отсюда после подстановки значении интенсивностей находим искомое значение вероятности пребывания пункта радиосвязи в состоянии готовности Г (50)= 0,8841.

МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Д ля расчета функции готовности, заданной в интегральной форме (1.35), необходимо знать среднюю частоту отказов с учетом восста­ новления сор ( t), вероятность безотказной работы Р ( t) и плотность

грального уравнения (1.29) определить функцию а ( t), а по ней Р ( t), во втором случае по а (t) и г (£) определяю тся необходимые для рас­ чета функции готовности Шр (/) и Р (t). При этом нередко возникает необходимость решения интегральных уравнений вида (1.29).

Н аряду с у ж е рассмотренными выше методами решения инте­ гральных уравнений в отдельных случаях можно использовать метод последовательных приближений.

Решение интегрального уравнения вида (1.29) при использова­ нии метода последовательных приближений получается как резуль­ тат равномерной сходимости последовательности функций {сор„ (()[, образуемых по правилу:

®Ро( 0 = « ( 0 ;

о

< Ѵ ( 0 = а {I) + J Сйр„ _ 1 (г) к (і, Т) dx.

о

48

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Резольвентное ядро в соответствии с (2.35) равно

ний обеспечивают, как отмечалось ранее, вычисление функции готовности, заданной выражениями (1.35) и (1.41), или средней частоты отказов с учетом восстановления лишь для ограниченного класса законов распределения времени безотказной работы и вре­ мени восстановления систем. В больш инстве случаев в силу сл о ж ­ ности этих законов аналитическое решение выражений (1.29), (1.35), (1.41) в удобном для практики виде получить либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно и приходится использовать при­ ближенные, чаще всего численные методы. При этом функция готов­ ности вычисляется в конечном множестве точек временного интер­ вала, на котором исследуется надежность системы. Полученная

димо найти значения средней частоты отказов с учетом восстановле­ ния в точках вычисления функции готовности. Эти значения могут

50

ГЛАВА 2

быть получены либо в результате обработки статистических данных об отказах системы, либо — при известных функциях а (t) и г (/) — в результате численного решения уравнения (1.29). Рассмотрим второй случай.

Д ля численного решения уравнений (1.29) и (1.35) заменим внеш ­ ний и внутренний интегралы конечными суммами, применив обоб­ щенную формулу трапеций. И спользование более точных, а следо­ вательно, более слож ны х квадратурных формул в рассматриваемом случае сопряжено со значительными трудностями и поэтому неце­ лесообразно. Необходимую точность вычисления можно обеспечить

(2.38)

и

весьма трудно. Наиболее целесообразно применить в данном случае двойной просчет с шагами Іг и 2h. После того как десятичные знаки в обоих случаях начнут совпадать, полученное значение прини­ мается за точное значение анализируемых функций. Кроме того, следует иметь в виду, что величина ш ага интегрирования должна выбираться так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения в смысле сходимости результата с ростом а к асимптотическому зна­ чению вычисляемой функции, которое при известных параметрах потоков отказов и восстановлений системы известно (см. табл. 1.4).

Уравнения (1.29) и (1.35) и формулы их численного решения

и функцию готовности при произвольных законах распределения времени безотказной работы и времени восстановления. В прило­ жении I приводится А ЛГО Л -программа вычисления этих функций.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Н есмотря на то что выражения (2.38) и (2.39) по содержанию различны, так как (2.38) является приближенным представлением интегрального уравнения (1.29), а (2.39) — выражения (1.35), содер­ жащ его двукратный интеграл, но не являю щ егося интегральным уравнением, схема вычислительного процесса у них общая и поэтому реализуется одним и тем ж е участком программы. Следует такж е иметь в виду, что в зависимости от законов распределения времени

по различным формулам. В тексте приведенного в приложении I алго­ ритма описано релеевское распределение длительности безотказной работы и экспоненциальное распределение времени восстановления.

формулам (см. табл. 1.4) значений вероятности безотказной работы Pjt плотности вероятности отказов а,- и плотности времени восстановле­

Оператор 3 присваивает переменной у, управляющ ей схемой расчета, целочисленное значение 1. При у — 1 вычисляется после­

Оператор 6 присваивает переменной п очередное значение, соот­

лении ее в интегральной форме, предполагает знание законов рас­ пределения длительностей исправной работы и восстановления системы. Д л я сложной системы при наличии различных ограничений на возможности ее ремонта, обычно имеющих место в реальных усло­ ви ях эксплуатации, эти законы получить нелегко. Как уж е отмеча­ лось выше, в подобных случаях удобней применять другие методы. Н иже рассмотрим методику расчета функции готовности с исполь­ зованием графа состояний системы.

52

7

Рис. 2.1. Блок-схема алгоритма вычисления функции готовности.

5 3

не требующ ая составления и решения дифференциальных уравнений

54