книги из ГПНТБ / Оптимизация процессов грузовой работы

шие в

процессе испытания системы

заменяю тся новыми:

(1.3)

Здесь

п (t) — число

отказавш их образцов в интервале

------,

Средняя

частота

отказов связан а

с

плотностью

вероятности от­

казов

а (і)

посредством интегрального

уравнения

[34]

системы

(кривая

1) и для законов, аппроксимирующих

процессы

ее приработки

(кривая

2) и старения (кривая 3).

По сущ еству

средняя

частота отказов характеризует надежность

систем, в

которых

отказавш ий элемент сразу ж е заменяется новым,

и несет в

себе информацию о необходимых периодичности

и объеме

новления

(ремонта) сор ( t). Если при определении функции со (t) при­

нято,

что

отказавш ие системы

немедленно

заменяю тся

новыми,

то при

определении оор (t) исходят

из того,

что

отказавш ие системы

в

течение

некоторого

случайного

времени восстанавливаю тся

и з а ­

тем продолжаю т работать до оче­

редного отказа,

т. е.

учитывается

конечное

время

восстановления.

Статистическая

оценка

функ­

ции сор (t) по форме не

отличает­

ся

от

оценки

со

( t)

[см.

(1 .3 )]:

“ ; « = т г а - '

0 - 5 )

Рис. 1.3. Зависимость средней частоты

где

п

( t) —

количество

о тказав-

ших систем в

интервале

z .

Д<

отказов для различных законов рас­

( t -------,

пределения

времени безотказной ра­

боты.

t - b - j - J

при

отмеченных

выше

условиях;

N — количество систем,

первоначально поставленных на

испытание.

Однако

по

содерж а­

Предельное значение сор ( t) при і

>сю, так ж е как

и средней

частоты,

постоянно.

С вязь

функции Ир (t) с другими характеристиками надежности,

в том числе с функцией Г (t), будет показана ниже.

Средняя частота отказов с учетом

восстановления

достаточно

ее эксплуатации. Ф ункция сор

(/) может быть получена

путем обра­

ботки статистических данных

об отказах [3 0 ], и по

ней можно

определить другие характеристики готовности.

Н а рис. 1.4 показан вид средней частоты отказов с

учетом вос­

ГЛАВА 1

П усть

система в

процессе эксплуатации,

проработав случайное

время

(і = 1 , 2 , . .

.), отказы вает, после

чего в течение случай­

= ті + т і + % + \ “Ь ' ■• +

Ч і-і + Тп>

соответствующ ие моментам отказа, и

С = Т1 + Т1 + S + Т2 + ' ’ ' +

+ г п>

висимы. Кроме того, будем

предполагать, что отрезки

т,- (і — 1,

2,

. . .,

п)

представляю т

собой

статистически

независимые одина­

ково

распределенные

случайные

величины,

имеющие одну и ту ж е

плотность

распределения

f

(і)

и

среднее значение Г ср,

а

x"t

{і

=

1,

2,

. . .,

п) —

такж е

статистически

независимые случайные величины,

распределенные по общему закону

с плотностью

г ( I) и

средним зн а ­

чением Тв. Такая последователь­

ность рабочих периодов и периодов

ремонта

системы представляет

со­

Рис. 1.4. Зависимость средней частоты

бой

альтернирующий

процесс вос­

отказов с учетом восстановления для

становления

[2 4 ],

или

согласно

различных законов распределения вре­

терминологии,

принятой

в

[1 8 ],

мени безотказной

работы.

процесс

восстановления

с

конеч­

ным

временем

восстановления.

времени

до первого отказа

(/)

отличается от

плотностей

распре­

деления

/ (t) всех последующих

промежутков

безотказной

работы

является

функция

восстановления

Я

(t),

представляю щ ая

собой

среднее

значение

числа

восстановлений

N h происшедших

в

проме­

ж утке

(0,

t):

СО

H(t) = MNl = ' £ l Gn(t).

(1.6)

/1= 1

Здесь

Gn (t) — закон

распределения

суммы

п периодов

безотказной

работы

системы,

т. е.

(0 =

■Р (ті +

-і-------+

^ „ < * 1 ,

(1-7)

причем

і

G » (0 =

j G

n_1 (/ - T )d G (T )l

G1(t) = G(t).

(1.8)

0

Очевидно,

что Я

(t)

является

неубывающей

функцией

времени.

Д ля

простого

процесса восстановления

функция Я

( t)

удовле­

творяет

следующему

интегральному

уравнению:

I

H{t) = Q{t) + \ H(t~x)dQ(x),

(1.9)

о

где Q (і) — функция

распределения

случайной величины

т/.

Важ ной характеристикой процесса восстановления

является

такж е

интенсивность

этого процесса h (t), под которой

понимается

среднее

число восстановлений

Nt,

лі

в интервале (/, і +

At):

h{t) = lim

MN, л/

Я

(/).

(1.10)

—

=

средним числом отказавш их систем в интервале (/, t +

At). Такую ж е

физическую интерпретацию имеет средняя частота

отказов со (t).

становления

1

t

h(t) = f (*) + f h(t -

T ) f ( X ) dx = f{t) + \ h ( x ) f ( t - x ) d x . ( l . U )

0

0

t

h (t) = h (t) + {

h (x) f(t — x) dx.

(1.12)

0

рый

описывается системой

независимых случайных величин т (. =

= Я

+ Т( (/ = 1 , 2 , . . .),

представляющ их собой отрезки времени

системы. Плотность вероятности

этих отрезков а ( t) равна

свертке

плотностей / (/) и г (/) [3 8

]:

JI/ (т) г (f — т) с/т.

а (/) = /'(/)

* г (0 =

(1.13)

о

Рис. 1.5. Графическое представление

общего процесса восстановления

с конечным временем

восстановления.

h (t) =

/ (/ )+

j

h (т) a(t — T ) dr,

(1.14)

0

или с учетом выражения

(1.13)

t

t — x

h(t) = f(t) +

{

h{x)

j

f (t — T — Ѳ ) г (Ѳ ) dQ dx.

(1.15)

2 А. Г. Варжапетян

Г~ ~ “

'

"T' -------— «

17

I

... м.

? I

I ‘УЪ-У ■ - 1О

. Ö I f J t * F

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

ГЛАВА 1

Характеристики

надежности при

различных законах

распределения случайных вели

Т а б л и ц а 1.3

чин

Тип

Характеристики надежности

распре­

деления

Р (О

о (О

к U)

Экспо­

-kt

Xc-W

ненциаль­

ное

U - 7 1 ) г

2‘

U- Г і)-

— с 'М*

—

•2а2

Нормаль­

г

V' л

л

ное

1 + Ф ш

ст

I + Ф (sw)|

А-1

Х„ (Х„() ft-1

Гамма-

е

а„пі

Хо (XQOft-1 е Х0(

ft-1

, ^

(Х„0‘

распределение

і—0

(ft-1)1

( f t - 1 )

(= 0

(ft > 1,

целое)

Релея

12

і г

<?

2ст2

Л - г 2ст2

(Т2

18

19

цессов отказов и восстановлений аппаратуры. Однако в нестационар­

Кроме того, весьма полезным результатом является

узловая теорема

ном случае работы аппаратуры с помощью математического аппарата

восстановления, согласно

которой при

невозрастающей и интегри­

процесса восстановления трудно получить удобные для

инженерной

руемой на промежутке (0,

оо) функции

Q (t)

практики расчетные соотношения. Это связано прежде всего со сл ож ­

ностью вычисления /і-кратной

свертки функций Gn (t)

[см.

(1 .8 )]

t

с о

и решения интегральных уравнений (1.14), (1.15). Получить расчет­

lim

f Q{t — т)с?Я ( т ) = - = і -

f Q(x)dx.

(1.17)

ные формулы в конечном виде можно лишь для отдельных законов

'->“ o

Уср

о

распределения времени безотказной работы и восстановления си­

У казанны е

асимптотические

свойства

процесса

восстановления

стемы.

Более важным для практического приложения являю тся асимпто­

использую тся,

в частности, для

получения установивш егося значе­

тические свойства процесса

восстановления. В частности,

установ­

}■

ния показателей готовности системы.

лено [2 4 ],

что независимо от вида

распределения G ( t) для

больших

Получение характеристик надежности определенного класса си­

интервалов

времени среднее

число

отказов, приходящ ееся

на

еди­

стем обычно основано на обработке статистических данных об отка­

ницу времени, стремится к величине, обратной среднему времени

зах и восстановлениях этих систем. При помощи приведенных выше

безотказной работы:

статистических формул можно вычислить любую характеристику.

lim

HG)

1

(1.16)

Однако на практике по экспериментальным данным находят одну

из характеристик

безотказности

и восстанавливаемости — обычно

Tc p

t->ОО

t

а (t) и г (t), а

остальные

при необходимости получают расчетным

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

§ 1.3

С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ

надежности [3 0 ].

t =

П усть в первоначальный момент времени

0 на испытании

находится N однотипных систем, которые по

мере

отказа ремонти­

руются

и возвращ аю тся в

строй.

П осле повторного

отказа система

снова

поступает в ремонт

и т. д.

Подсчитаем при

этих условиях

среднее число отказавш их систем п

(t) в промежутке времени ( t, t +

+ А/). Естественно предположить,

что п ( t) склады вается из числа

которые ранее подвергались ремонту. Число впервые

отказавш их

систем равно

a ( t ) N A t .

(1.18)

Д ля определения количества отказавш их систем,

относящ ихся ко

второй группе, поступим следующим образом.

Рассмотрим некоторый промежуток времени (т,

т +

Ат), пред­

отказавш их на этом

промежутке

систем,

ранее

подвергавш ихся

ремонту. Согласно (1.5)

число таких

систем

будет

равно сор (т) ІѴ Ат.

ступаю т в ремонт. Д алее,

пусть (£, £ + А|) — промежуток

времени

такой, что т < g <

t. Т ак

как вероятность восстановления

системы

в промежутке (|, g +

А£) равна приращению значения функции рас­

пределения времени

восстановления R (т, g + А|) — R (т, |), то

которые отказали в промежутке (т, т -f- Ат),

равно

сор(т)Л ГА т[Я(т, Н - Д | ) - Я ( т ,

g)].

то

из

этого числа в промежутке (I, t +

At) откаж ет

сор(т )У А т [Я (т ,

g + A g ) - t f ( T - g ) ] a ( f — g)A f

(1.19)

систем. Д ля определения

общего числа

отказавш их в промежутке

(t,

t +

At) систем п (t) необходимо просуммировать выражение (1.19)

вале (т, і) или,

что одно

н то

ж е, на

интервале (0 ,

t — т),

прибавив

к сумме

число

впервые

отказавш их

систем

(1.18).

Таким

образом,

п (t) = а (t) N At +

2

' s ®р (т) [R (т,

g + Ag) -

и

о

— R( т, l) ]a( t— l ) N Ах At.

(1.20)

Обозначим

g — т =

0. Разделив

(1.20) на NAt и перейдя к пре­

делу при

N —>оо и AI - >0,

будем

иметь

I

t —T

lim

=

(Op (t) =

a (i) +

J

<op (t)

f a (t — x — 0 ) deR (T ,

0 ) dx.

( 1. 21)

является

уравнением Вольтерра второго рода со сложным разност-

*т т

ным ядром J

a (t — т —

0 ) d$R (т,

0 ). Уравнение

( 1 .2 1 ) позволяет

(0 , t), если найдется

постоянная с >■ 0 такая,

что

|a(^)|sSc

( 1 .2 2 )

и

X

І

J

J а(т —Q)R' (0) dQ dx <( ОО.

(1.23)

нение относительно

функции

а (t),

можно

определить плотность

вероятности

отказов.

Среднюю

частоту

отказов с

учетом восстановления

легко

выра­

зить

через

вероятность

безотказной

работы, заменив

в вы раж е­

нии

(1.21) а (4

на — Р'

(/):

t

І —Т

Cöp (t) = -

P' {t) -

} сор (т) J P ' (t - х -

Ѳ ) deR (т,

0 ) dx.

(1.24)

о

о

1 ,

если

R(x, Ѳ ) =

если Тв >■ 0.

О,

Это означает,

что все сор (т) N Ат,

систем,

отказавш их на

отрезке

времени

(т, т +

Ат),

будут восстановлены

к моменту t —

Та, если

%<С t —

Тв.

Из

них

в промежутке

(t, / +

А/) откаж ет

Op (х) NAxa (t — т —

Тв) А (

(1.25)

п (t) = а it) N At -j-

2

(o

(x)NAxa(t — т — TB)At.

(1.26)

о

П осле

деления

выражения

(1.26)

на

N At и предельного

перехода

при W -> со и At -

>0

будем

иметь уравнение для сор (і):

' - г в

< °Р

( 0

=

а (0 +

о

®p{T)a{t — i; — TB)dx.

(1.27)

2.

П усть

время

восстановления не зависит от вида отказа, но

J

Тв(х). Ф ункция распределения

зависит от времени отказа, т. е. Тв =

времени восстановления в

этом случае имеет вид

j

1 ,

если

Т в(т ) ^ 0 ;

10,

если

Тв(т) > 0,