книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

мы можем также определить

на

базе

основного

понятия конгруэнтности отрез­

ков

понятие

длины отрезка

или «расст ояния м еж ду

т очкам и»1.

Аналогично этому, если считать основным понятием

д в и ж е н и е ,

то конгру­

энтность

А В д ^ А ' В'

отрезков

определяется

существованием

движения,

пере­

водящего

A B

в

А 'В ',

а расст ояние между

точками

возникает

как «инвариант

движений». Наконец,

если исходить из понятия

р а с с т о я н и я

(или

д л и н ы

о т р е з к а ) ,

то

отношение

А В ^ А ' В '

определяется

условием

равенства

длин

отрезков

A B

и А 'В ',

а

движ ение — как

преобразование,

переводящее каждые

две

точки

А

и

В в

такие точки А' и В ',

что А В — А' В'

(см. тот

же

рис. 3).

вливается без труда; различие же

между ними заключается в том, какое

именно

из трех

понятий:

конгруэнтность — движение — расстояние

считается

«самым главным». Само по себе представление о

сравнительной

«важности»

того или иного понятия, разумеется,

не

имеет

никакого

отношения

к

матема­

тической науке; в методологии же

(и

в

методике)

математики

оно,

напротив,

заслуживает

серьезного

внимания.

2.

«Конгруэнтность»,

«движение»

и

«расстояние»

в

системе

геометрии

исследованиях по основаниям геометрии, тесно связаны с

построениями

Евклида; в частности, основополагающая роль понятия

конгруэнтности

(или

является «самым

первым» —

.недаром

«типичное доказательство»

по Евклиду всегда сводится к рассмотре­

нию цепочек из пар конгруэнтных

треугольников: «Д A B C

Д

D E F ,

по­

скольку . . . ; следовательно,

l \ U V W

^

Д

X Y Z ,

ибо

... »

и т. д.

Эту

систему

шихся Евклидом задач) метафизических воззрений Аристотеля. С

точки же

зрения диалектики основной

интерес

для

науки

представляют

не

«состояния»,

а п р о ц е с с ы ,

— и

отражение этой

диалектики

легко

усмотреть

в

трудах

великих

ученых

X V II

века: Декарта и Ферма, Ньютона и Лейбница. И с

этой

точки зрения подход Пеано и Пиери

обладает определенными

преимуществами

перед подходом Д . Гильберта, ибо

он

с

самого

начала

вводит

в

геометрию

и имеющее в этих науках

различный

смысл) и являющееся фундаментом весьма

геометрической

науки

([3)— (4);

см. также [66] и Введения к трем

частям книги

[62]). Понятие

движения тесно

связано

с

так называемой

«группой

симметрии»

фигуры или тела А — совокупностью всех движений, переводящих F в

себя; по­

1 Длина A B

отрезка

A B определяется следующими четырьмя «постулатами»:

Д л4.

Каждому

отрезку

A B

отвечает

единственное

положительное

число

A B,

Д лг. Если

С — точка

отрезка

A B , то

А С -\ -С В =

АВ\

Д л3. Если

Ä S ^ A ' B ' , то

A B =

А'В'\

Д л4. Существует отрезок

ОЕ, такой,

что

OE — 1;

существование и

единствен­

ность длины

отрезка,

см., например,

[65].

частный характер

(именно эту область геометрии сегодня чаще всего связывают

с наименованием

«Основания геометрии»). Работы же [7] и [8] по существу

среди продолжающих

эту

линию работ

надо

упомянуть

книгу

Ф .

Ш ура

[16],

модифицировавшего

схему

Гильберта

с тем,

чтобы заменить в ней

конгруэнт­

ность движениями;

в

нашей стране аксиоматика Шура

широко известна

(см.,

например, книги [61]

или

[63]). В педагогическом плане

эти же

идеи реализо­

вывали авторы многочисленных школьных учебников, в

основу

которых

кла­

принимающий за

основу понятие

р а с с т о я н и я . В

начале

нашего века,

когда В . Ф . Каган предложил систему обоснования геометрии,

это понятие

казалось довольно

второстепенным,

а идея привлечения

в геометрию понятия

числа — спорной; это и определило

невнимание к исследованиям

Кагана. Так,

[17], принадлежащем видному

представителю

итальянской

школы Пеано

Ф . Энрикесу и напечатанном

в выпускаемой

под общим

руководством

время положение здесь

коренным образом изменилось. Создание французским

математиком М. Фреше

[25] общего понятия метрического п рост ранст ва1 —

относительности

А. Эйнштейна

глубокие

исследования

Бернгарда

Римана [2],

явившиеся «математическим фундаментом» теории относительности (эти

иссле­

выросшие из идей' Фреше и построений

Римана

новые

направления

геометрии

(см .,

например [27] — [32]) — все это продемонстрировало важность понятия рас­

стояния

и перспективность теорий,

базирующихся

на

этом понятии. Поэтому,

подобно тому как работа [8] явилась лишь «первой ласточкой»

в длинном ряду

исследований, так и работа [10] открыла цепочку книг

и статей,

одним из

звеньев

которой

является книга Моиза — Даунса.

3.

Дж. Д. Биркгоф

и

«американская система»

построения

школьного курса

метрии нам естественно прежде всего обратиться

к

опыту

США — страны,

ранее

других

ставшей

на путь преодоления в школьном преподавании

евкли­

довских

традиций. В

американской

средней школе — в противоположность, ска ­

жем,

Англии,

Франции

или

России — эти традиции

никогда не

были особенно

ские и научные установки сложились в США много

позже,

чем в

развитых

европейских

странах.

Американская

математика

с

гордостью

называет своим

состоял профессором

старейшего университета СЦ1А — университета имени Джона

Гопкинса

в

Балтиморе,

и основал

первый на американском

континенте

науч­

ный математический

журнал

«American

Journal

of

M athem atics». Между тем

причиной переселения Сильвестра в США в значительной степени

явилась

резкая

критика,

которой он

подверг традиционный

школьный

курс

геометрии

«по

Евклиду»;

эта

критика

встретила сильное противодействие

английской

степени, что он счел уместным покинуть Англию.

Возможно,

что

с

влиянием Дж . Сильвестра связан интерес американских

геометров к

«не евклидовским» системам обоснования геометрии. У ж е

в 1904 г . —

в год

выхода

в

свет

первой

части

обширной

(более

800

стр.)

монографии

работа

[13]

одного

из классиков американской математики

Освальда

Веблена,

содержащая

оригинальный вариант

«метрического»

(т. е. основанного

на

поня­

должена другим

американским

математиком Р . Л . Муром [15] А

Но

наибольшее

значение

имела

опубликованная в

1932

г. в ведущем

американском

математи-1

1 Истории

попыток

метрического

обоснования

геометрии

уделено

много

места в обстоятельной монографии [27] американского

математика Л . М.

Блю ­

менталя.

дедуктивного характера,

как

это принято

в настоящей книге. В число Основ­

ных Принципов (аксиом) авторы включали предложения

о мерах отрезков и

углов,

родственные аксиомам 2 — 3 и 12 — 14 настоящей книги; при этом, в парал­

лель

к

аксиомам 2 — 3,

связанный

с мерой'углов Принцип имел в книге [47]

форму

утверждения о возможност и

т акого

сопост авления

исходящ их из одной

точки

лучей ( вещественным) числам, что

величина образуем ого двумя лучами

угла

р авн а разност и чисел,

от вечающих

этим лучам (см. заимствованный из

ге

[49],

рассчитанных уже на

старшие

. классы

средней школы,

следует,

в

пер­

вую

очередь, упомянуть

книги [50],

[53]

упоминаемое

в

предисловии к

насто­

ящему

учебнику

коллективное

сочине­

ние в

двух

частях [50] *,

изданное под

эгидой

высокоавторитетной

«Исследова­

ным является и учебник «Оснований

геометрии» [59], выпущенный по инициативе

SMSG и рассчитанный на студентов,

готовящихся к карьере учителя матема­

тики. Укажем еще напечатанные в

рассчитанном на широкий круг читателей

tical

M onthly статьи

[20]

и [21]; первая

из них (принадлежащая перу

извест­

ного

американского

алгебраиста Сандерса Маклейна) имеет довольно

общий

характер, а вторая

более

конкретна: в

основной своей части она посвящена

утверждающей, что

всякий

(прост ой)

многоугольник

делит

плоскост ь

на две

части — внут ренню ю

и внеш нюю

(ср.

выше;

приведенный

в комментариях

к русскому переводу гильбертовых «Оснований

геометрии» краткий

(1)

набро­

сок доказательства этого факта,

опирающийся

на систему аксиом

Гильберта,

занимает 10 страниц текста,

напечатанного мелким шрифтом — см. стр. 409 — 419

книги [9]).

В заключение заметим, что и в нашей учебной и методической литературе

«метрические» системы обоснования геометрии

приобрели за

последнее время

большую популярность. К

установкам Дж . Биркгофа

весьма

близок

учебник

и

и расстояния, имеет «метрический» характер

(так, например, в число аксиом

здесь включаются предложения

Р г — Р а, стр.

601).

4.

О книге Моиза— Д аунса. Наиболее

полное

воплощение

общие

уста­

новки Дж. Биркгофа получили в книге, русский

перевод которой

сейчас ле­

жит перед Вами, — и эта

книга

пользуется

наибольшей

известностью

из

всех

Американские коллеги рассказывали автору

настоящих

строк,

что при

обсуж­

дении в SMSG желательной структуры школьного курса

математики

многими

учеными и педагогами высказывалось мнение

о нецелесообразности сохранения

в старших классах средней школы раздела,

посвященного геометрии, — и толь­

и педагога, члена Американской Академии

искусств

и наук и профессора Гар­

вардского Университета

в Кембридже близ

Бостона,

в

котором

преподавал

в свое время и Дж . Д . Биркгоф, они приписывали

то,

что это предложение

не было

принято.

старших

классах школы. Вместе с Флойдом Л . Даунсом-младшим,

преподава­

леко от

Бостона, он написал учебник для

учащихся

старших

классов

(High

однако

тот «повышенный» курс геометрии,

учебником

которого

является

эта

книга,

отдельные

школьники вполне могут

и пропустить. Но даже и в этих ус­

ловиях

книга Моиза— Д аунса оказалась

слишком трудной для

большинства

школьников, так

что процент тех школ, в которых ее изучают, сравнительно не­

велик;

впрочем, лучшими являются как

раз те школы,

в которых этот учебник

используется.

Популярность книги Моиза—Д аунса

в

США связана не только с ее боль­

шими

научными

и педагогическими достоинствами, о которых мы еще скажем

ниже,

но и с той

высокой ответственностью, с которой отнеслись авторы к

сто­

учителей математики и для будущих

учителей книге [60],

овладение

которой

очень

облегчает

использование

настоящего учебника. Наряду

с этим

авторы,

в

сотрудничестве

с преподавателем средней школы Герхардом Вичурой,

имевшим опыт работы по этой

книге, выпустили в помощь учителям матема­

тики

еще

два

(!)

пособия: одним из них являлся «решебник», содержа­

щий

решения всех

имеющихся

в тексте

задач,

а

вторым — «учительское изда­

ние»

(Teachers’

Edition) настоящей

книги, о

котором стоит сказать

несколько

более подробно. Внешне это издание

мало отличается от основного

варианта

учебника: оно имеет точно такой же красочный

переплет,

на

котором слова

«Teachers’

Edition»

совсем не бросаются в глаза,

и полностью

воспроизводит

весь текст книги,

напечатанный

на

превосходной

бумаге в

два

цвета — черный

и

красный

(красный цвет используется

в чертежах и в

печатном тексте для

испещрен

рукописными

заметками, сделанными весьма разборчивым почерком

синими чернилами внутри (или

между) строк и на полях

книги — похоже, что

это

издание

воспроизводилось

фотографическим

способом

с

исписанного ком­

ментатором

основного

издания

учебника.

Во многих случаях

заметки коммен­

татора не

умещаются

на

полях книги; эти места отмечены буквами ТМ и (дроб­

ным)

ству

для

учителя» (Teachers’ Manual), содержащему 137 стр. и напечатанному

на бумаге

синего цвета

(того

же, каким

сделаны

пометки

в

основном тексте);

«поурочный план», данный в двух

вариантах — для более сильного и более сла­

бого класса;

при этом

некоторые параграфы книги («Семь кёнигсбергских мо­

стов», «Как

Эратосфен

измерил

землю», «Классические неразрешимые задачи

на построение» и др.),

рассчитанные лишь на более сильных учеников, кото­

Переходя к

содержанию настоящей книги, нельзя не отметить необычную

для привычных

нам школьных учебников полноту дедукции и тщательность

в деталях, быть

может даже кое-где и излишних — так, например, вряд ли ма­

потребность в доказательстве теорем вроде

следующих;

«каж ды й

от резок

имеет

середину

и притом

т олько

одну»

или

«каж ды й угол имеет

биссект ­

рису

и прит ом

т олько од н у » 1. Впрочем,

надо заметить,

-что

уровень стро­

гости

в последних главах

книги

заметно

снижается — чтобы

убедиться в

плоских

стично

школы

стереометрический материал отобран здесь крайне экономно

(так,

например, даже занимающая

в нашей системе изложения стереометрии

чуть

ли не центральное место «теорема о трех перпендикулярах» фигурирует

в на­

стоящем

учебнике лишь в роли

рядовой задачи — см. задачу 13 на стр.

250),

учебников

геометрии — как

старых,

так и более свежих (см.,

например, [44],

[40]) — можно было встретить

теорему «ß данной точке к данной

прямой м ож но

восставить

перпендикуляр

и

притом

т олько один», представляющую собой

частный

случай второй из

названных теорем (к нему мы приходим, предполо­

жив, что

рассматриваемый

угол — развернутый)].

личать прямую A B ,

луч A B , отрезок A B и расстояние A B , в нашей

учебной

литературе всегда обозначаемые

о д н и м

и

т е м ж е с и м в о л о м

(а

именно,

A B ). Целесообразной

является

и новая

для

нашей школы разметка

чертежей,

ния

школьного

курса

геометрии

будет не полон, если

наряду с идущими от

Д .

Гильберта,

М. Пиери

и В . Ф . Кагана построениями

мы

не

упомянем еще

одну резко “отличную

от

них систему изложения, которая

в

последние годы

приобрела большую популярность.

Известно, что (общая)

теория

относительности возникла

в 1916 Т .— в этом

теории

относительности» К содержащий

развернутое изложение его

идей. Пер­

вый же

в

мире учебный курс теории относительности был прочитан

в 1917 г.

коллегой

А. Эйнштейна по работе в

Цюрихском

Политехническом

Институте

Германом

Вейлем — бесспорно,

одним

из самых

выдающихся

математиков

нашего

века. В 1918 г. курс Г.

Вейля был издан отдельной книгой,

получившей

о содержании обширной книги [33];

мы скажем

лишь о том, как она

начи­

нается.

Г.

Вейль

начинает

с анализа понятия (евклидова) пространства-, при

этом

на

первых страницах

своей книги он излагает аксиоматику геометрии,

коренным

образом

отличную

от системы Гильберта и всех

близких

к

ней

по времени

построений. А именно, Г. Вейль кладет в основу

понятие

вект ор­

ного

прост ранст ва,

т. е. множества

элементов,

называемых

векторами,

для

Лишь

после этого

появляется понятие т о ч к и ,

связанное

с понятием вектора

тем,

что

каж ды м

двум

точкам

А

и В отвечает единст венный вектор

А В = а

(вектор с

началом А и концом В ; рис. 5, а), причем это сопоставление

векто­

ров и точек удовлетворяет двум аксиомам: для

к а ж до го вект ора

а и т очки А

.сущ ест вует

единст венная

т очка В ,

т акая , что А В = а ,

и для

к аж ды х т рех

точек

А,

В

а

С

имеет

место

равенство

A B -{-В С — АС

(рис. 5,

б). Наконец,

чтобы

обратить

полученное таким

путем аффинное пространство (или аффин­

ную плоскость;

различие

между этими двумя

геометрическими образами Опре­

деляется

двумя

разными

формами «аксиомы

размерности»)

в евклидово

прост -

1 Он

неоднократно

издавался и

на русском языке (см.,

например, А. Э й н-

ш т е й н ,

Собрание

научных трудов,

т. I,

М ., «Наука», 1965, стр. 452— 504).

2 Характерным

для

книги

[33]

чисто

математическим

построениям

посвя­

щена

также

вышедшая

в свет в 1923 г. книга

Вейля «Математический

анализ

проблемы

пространства»

[34].

ранст во {евклидову

плоскость) остается только

ввести скалярное

произведение

векторов — новую

операцию,

сопоставляющую

каждым двум

векторам

а

и b

некоторое

число (его

обозначают символом a b )

и подчиняющуюся

простым

аксиомам скалярного произведения (утверждающим, например,

что

a b =

b a

для всех векторов

а , b

или

что а { Ь -\-c) = a b +

а с

для всех

а , b

и с).

В

в

Рис. 5

Большое значение,

которое

имеет понятие

векторного пространства

в

со­

временной

чистой

и прикладной

математике, определило возрастающий

интерес

направлены

на

то,

чтобы

как-то адаптировать схему Вейля,

сделав

ее

более

приемлемой

для

ш кольных' учителей.

Однако

и

этот путь

отвергает

один

из авторитетнейших французских математиков Ж ан

Дьедонне:

в своей

темпера­

ментно написанной

книге

«Линейная алгебра

и элементарная

геометрия» [36]

он объявляет попытку Г. Шоке вредной, призывая не «спускать»

аксиоматику

Вейля до уровня математической культуры учителей средних

школ,

а

напро­

тив, поднимать уровень учительства

до

понимания

векторной

системы

обосно­

вания геометрии. Вся книга [36]

целиком посвящена пропаганде

следующей

методической

идеи:

элем ент арная

(т. е. школьная) геомет рия — это

и

есть

Книги Г. Шоке и

Ж . Дьедонне

были

рассчитаны

на

учителя средней

школы;

однако сегодня

имеются

и изложения геометрии

в

духе Вейля — Д ье­

донне, рассчитанные на

учащихся. Так, например,

горячим

сторонником «век­

торного пути» построения школьного курса геометрии является

известный бель­

гийский

математик и

педагог

Жорж

Папи

(см.

его доклад

[72]). С 1963 г.1

1 Это выражение

связано

с

известным

историческим

анекдотом: говорят,