Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 6259 60 61 62 > Следующая >>>

Так

как

A R

является медиатрисой

отрезка В К ,

точка

принадле

жит

этой прямой, то

точка

/И равноудалена от

и К .

Следовательно,

М В — М К ,

потому

по

теореме

о равнобедренном

треугольнике т

L М В К = т L М К В .

3°. Так как точка М лежит между точками В и С,

то в силу теоремы 6.6

она

находится

внутри

В К С . Следовательно,

т /

М К В <

m Z. В К С .

Поэтому

т L

М В К < т

L В К С , откуда

и вытекает,

что

С К <

ВС .

К § 4 гл 8. Существование и единственность

Доказательство теоремы о медиатрисе-плоскости.

Теорема

8.6

утверждает,

что пространственная медиатриса отрезка является

множеством

всех

точек

пространства

равноудаленных от концов этого

отрезка.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Пусть

Е — медиатриса-плоскость

отрезка

A B (С — середина

Â B ). Тогда

1°. Если точка Р принадлежит

плоскости

Е ,

то

Р А — Р В .

2°. Если

РА — Р В ,

то

точка

принадлежит плоскости Е.

Мы

приведем

два

доказательства.

первом

из

них

используются

конгруэнтные треугольники; оно рассчитано на

среднего ученика:

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1°. Если

Р =

С,

то

РА — Р В

по

условию.

Если

Р ф С ,

то в

силу

аксиомы 6

С Р

принадлежит плоскости Е , и по определению

прямой, перпендикулярной плоскости, A B

J_ С Р . Отсюда следует, что

А С Р ~

В С Р ,

так

как

С А = С В

С Р =

С Р ,

то

на

основании С У С мы имеем

А С Р д ^ А В С Р . Поэтому

РА =

Р В — как соответствующие стороны

этих тре

угольников.

2°. Если

С,

то

точка

Р ,

конечно,

принадлежит

плоскости

Е .

Если

Р Ф С,

то А

А С Р

В С Р

силу

ССС. Таким образом,

А А С Р ^

Z. В С Р

С Р

A B . По

теореме

8.5

плоскость Е

содержит С Р ,

и точка

Р принадлежит

плоскости

Е.

Во втором доказательстве мы пользуемся аналогичной

теоремой

м едиа-

т рисе

(теорема

6.2)

следствием

6.2.1.

Это

доказательство

рассчитано

на

лучших

учеников:

Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о .

1°;

Если

Р = С,

то,

очевидно,

РА — Р В .

Если

Р ф С ,

< 1'>

медиатрисой

——

плоскости,

содержащей

точки

то СР является

A B

А, В и Р, и потому

по теореме 6.2

Р А — РВ.

2°: Если

Р =

С,

то

точка

Р,

очевидно^ принадлежит

плоскости Е.

Если

Р ф С ,

то

< '>•

медиатрисой

плоскости,

содержащей

точки

С Р

является

A B

А, В и Р. Так как по

теореме 8 .4

плоскость

содержит

СР,

то

точка

принадлежит этой

плоскости.

§ 5

гл.

Перпендикулярные

прямые

плоскости:

резюме

Доказательство

теоремы

8.8

Теорема

8.8. Через

данную

точку

проходит

одн а

т олько

од н а

плоскост ь,

перпендикулярная

данной прямой.

Ч а с т ь

Через

данную

точку

данной

прямой

проходит

п о

к р а й н е й

м е р е

о д н а

п л о с к о с т ь ,

перпендикулярная

этой

прямой.

Это — теорема

8.3, доказанная в

основном

тексте.

589


Ч а с т ь II.	Через		данную	точку	данной
прямой проходит		н е	б о л е е	ч е м	о д н а
п л о с к о с т ь ,	перпендикулярная			этой	прямой.

Это — теорема 8 .5, доказанная в основном тексте. t

Ч а с т ь

III. Через

данную

точку,

не л еж а

щ ую н а

данной прям ой,

проходит

п о

к р а й

н е й

м е р е

о д н а

плоскост ь,

п ерпендикуляр

ная

этой прямой.

Д а н о :

Прямая

и точка

Р ,

не принадле

жащая I.

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь :

Существует

плоскость Е , проходящая через точку Р и пер

пендикулярная прямой I.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

1°. Существует пря

мая

т ,

проходящая

через точку

Р и

перпен

дикулярная

прямой

П усть

Q — точка

пересечения

прямых

а F —- плоскость,

определяемая

точкой

прямой I.

2°. Существует точка

R , не

лежащая в плоскости F . П усть

G — плоскость,

определяемая прямой I и точкой

R .

плоскости

G сущ ествует прямая

п,

перпендикулярная прямой / в точке Q.

3°.

По

аксиоме

существует

плоскость

Е ,

содержащая

прямые т и п .

Тогда Е _L I

по основной теореме о перпендикулярах.

Ч а с т ь

IV.

Через

данную

т очку,

не

леж ащ ую

н а

данной

прямой,

про

ходит н е

б о л е е

н е м о д н а

плоскост ь, перпендикулярная

этой

прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Допустим,

что

существуют две плоскости

Е г

и Е г,

каждая

из которых

перпендикулярна

прямой

/ и

содержит

точку

Р .

Если

плоскости

Е г и £ 2

пересекают

прямую I в

о д н о й

и той

же

точке

Q, то

мы

получаем две

плоскости, перпендикулярные

прямой

I в

точке

что

противо-

речит части	II теоремы		8	.8.	Если	же плоскости Е 1 и Е 2 пересекают прямую I
в р а з н ы х	точках	Л и В ,		то	Р А	и Р В являются	разными прямыми, прохо
дящими через точку		Р и	перпендикулярными /, что				противоречит теореме 6.3.

К § 2 гл. 11. Площади треугольников и четырехугольников

Порядок вывода формул для площади. Заметим, что мы выводили формулы для площади в следующем порядке: для прямоугольника, для прямоугольного треугольника, для треугольника, для трапеции, и, наконец, для параллело грамма. Этот порядок отличается от общераспространенного. В большинстве

590

—

1°.

s D A B C D

° .

A g g — 5

ß c p ,д

и д

А Вб

Е о

^ D C F Д.

3°-

□ ABCD =

^ a ЙСОЯ +

^ Д О С Д 1.

° S а.

B C D E + S A D C F = ^ a B C F E п

B C F E

— 5

bh, и

B Cо

F E

р □

рг

о е

□ у

B C D Eш » п а

с,

н о

яS Q A B C D ~

= S A A B E + S a B C D E

К§ 3 гл. 12. Основная теорема о пропорциональности

иобратная теорема

А. Теорема 12.1. Основная теорема о пропорциональности.

т,с п ил

k, ач

т -±-оп = к, AD = m ( A B / k ) , D B = n ( A B / k ) . П

691

ство прямых, параллельных В С			и делящих A B		на k	конгруэнтных отрезков.
Из следствия 9.30.1		вытекает, что эти прямые делят				и А С	на	k конгруэнтных
отрезков. Таким	образом:		АВ= *_==ЛС
			АВ= *_==ЛС
			A D ~ ,m	А Е '
Сама форма последнего равенства указывает на ограниченность такого
доказательства:	оно	утверждает, что A B : AD =			А С : А Е, если			оба от нош ения
рац и ональны , т.	е.	в случае	«соизмеримости		отрезков».		Это	доказательство

можно обобщить, чтобы охватить все случаи, но полученное таким путем дока зательство неизбежно будет не простым. По-видимому, использующее площади доказательство теоремы 12.1 является единственным полным доказательством, приемлемым для целей преподавания.

В. Теорем а, обратная основной теореме о пропорциональности.

Обратная теорема легка, и ее доказательство можно предоставить уча щимся. Здесь есть, однако, одна тонкая чисто техническая деталь: в доказа тельстве мы молчаливо предполагаем, что точка'/: лежит м е ж д у точками А' и С . Из чертежа очевидно, что параллельная проекция сохраняет отношение «между», но это следовало бы доказать.

Теорема

параллельной

проекции. П уст ь

две секущ ие (г и

пересе

каю т

т ри

параллельны е прямые

Іъ

и /3 соответственно в т очках

А ,

В, С

и А',

В ', С .

Е сли

точка

леж ит м е ж д у А и

С,

т о

точка

В'

леж ит

м еж ду

А'

и С .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Так

как

If ||/2, то

А А'

не

может

пересекать

пря

мую /2, потому точки А

и А'

лежат

по одну сторону от прямой

/2. Анало

гично,

поскольку

/3 Л/2,

то

СС' не может пересекать /2, и точки С и С' лежат

по одну сторону

от /2.

Так как

по

условию

точка

лежит м е ж д у

и С,

то А С

пересекает прямую

/2 в

точке

В;

поэтому А и С лежат по разные сто

роны от /2. Поскольку точки

А ' и

лежат

в о д н о й

и той же

полуплос

кости,

определяемой

прямой

/2,

точки

и С

также

лежат в

о д н о й

полу

плоскости,

точки

и С

лежат

р а з н ы х полуплоскостях,

то

точки

А ' и С ' лежат в

р а з н ы х

полуплоскостях, определяемых прямой /2. Поэтому

А 'С

пересекает прямую

некоторой

точке, которой

должна

быть точка В',

так

как В'

есть

точка

пересечения

прямых /2 и

<■->

Таким

образом,

точка

А'С'.

В' лежит между А ' и С'.

Мы

предположили,

что

А ф А '

и С ф С '\

но

наше

рассуждение легко изменить так, чтобы

оно

годилось и для

случаев

А = А '

или

С — С .

Заметим,

что доказанный

только

что результат

теореме

12.2

мы

приме

няем в случае

А — А'.

592

СПИСОК АКСИОМ
А к с и о м а	1 (аксиома расстояния)
Каждой паре различных точек соответствует некоторое опреде
ленное положительное число.
А к с и о м а	2 (аксиома масштабной линейки)
Точкам	прямой можно поставить в соответствие действитель
ные числа	так, что
1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только
одно действительное число;

2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна и только одна точка прямой;

3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно абсо лютной величине разности соответствующих чисел.

А к с и о м а 3 (аксиома прикладывания линейки)

Каковы бы ни были две точки Р и Q на произвольной прямой, система координат на этой прямой может быть выбрана так, что


точка	Р	будет иметь		координату нуль, а координата точки Q
будет	положительна.
А к с и о м а			4 (аксиома прямой)
Для		каждых двух		различных точек существует одна и только
одна прямая, содержащая обе эти точки.
А к с и о м а			5		мере три неколли-
a) Каждая плоскость содержит по крайней
неарные точки.					четыре некомпла
B) Пространство содержит по крайней мере
нарные точки.
А к с и о м а			6
Если две Ѵочки какой-либо прямой принадлежат некоторой
плоскости,			то и вся	эта прямая принадлежит той же плоскости.
А к с и о м а			7 (аксиома плоскости)		мере одной пло
Любые три точки				принадлежат по крайней

скости; любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

А к с и о м а 8 (аксиома пересечения плоскостей)

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть пря мая.

А к с и о м а 9 (аксиома разбиения плоскости)

Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два таких

множества,	что
1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Р принадлежит одному из этих множеств, а точка
Q—другому, то отрезок PQ пересекает данную прямую.
А к с и о м а	10

Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости, обра зуют два таких множества, что

2 0 Геометрия

593

1°. каждое из этих множеств выпукло; 2°. если точка Р принадлежит одному из этих множеств, а точка

Q— другому,	то отрезок PQ пересекает данную плоскость.
А к с и о м а	11 (аксиома измерения углов)
Каждому	углу £ ВАС соответствует некоторое действительное

число, заключенное между 0 и 180.

А к с и о м а 12 (аксиома построения углов)

Пусть AB — луч, принадлежащий ребру полуплоскости Н. Тогда для каждого действительного числа г, заключенного между 0 и

180, существует ровно один такой луч АР, что точка Р принадле

жит полуплоскости	Я и т £ РАВ — г.
А к с и о м а 13 (аксиома		сложения	углов)
Если точка D	лежит	внутри	угла £ ВАС, то т £ ВАС —

=т £ BAD-\-m £ DAC.

Ак с и о м а 14 (аксиома пополнения)

Если два	угла являются смежными, то они пополнительны.
А к с и о м а	15 (СУС-аксиома)
Каждое СУС-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	16 (УСУ-аксиома)
Каждое УСУ-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	17 (ССС-аксиома)
Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	18 (аксиома параллельности)

Существует только одна прямая, проходящая через данную точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной прямой.

А к с и о м а	19 (аксиома	площади)
Каждой многоугольной области соответствует некоторое опре
деленное положительное		число.
А к с и о м а	20 (аксиома	конгруэнтности)

Если два треугольника конгруэнтны, то определяемые ими треугольные области имеют одну и ту же площадь.


А к с и о м а	21 (аксиома		сложения площадей)
Если область R является объединением двух областей Ri и R2,
причем области Rx		и R2 пересекаются не			более чем		по конеч
ному числу	отрезков	и точек, то		S R — S R^	S	R,.
А к с и о м а	22 (аксиома единицы			площади)
Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны.-
А к с и о м а	23 (аксиома единицы объема)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
площади его основания на высоту.
А к с и о м а	24 (принцип		Кавальери)			каждая	плоскость,
Пусть даны два		тела	и плоскость. Если

параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причем образованные при. пере сечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же пло щадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.

У594

И. М. Яглом

«МЕТРИЧЕСКИЕ» СИСТЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ И КНИГА МОИЗА-ДАУНСА

В ряде тех задач, которые стоят сегодня перед нашей средней школой, одной из самых трудных является задача перестройки курса геометрии. В самом деле,

основное направление модернизации курса алгебры представляется достаточно ясным: необходимость включения в школьный курс математики разделов,

посвященных понятиям

производной

интеграла,

сегодня, в

70-х

годах X X

века, ни у кого

уже, кажется, не вызывает сомнения; это обстоятельство

опре

деляет и общую

линию перестройки

начальных частей

курса

алгебры,

при

званных обеспечить •интересы

вновь

вводимых тем, связанных с элементами

математического

анализа.

По-иному

обстоит дело с курсом геометрии. Если

неудовлетворительность традиционного

курса Евклида — Киселева — Никитина

признается ныне

чуть

ли

не

всеми

математиками и методистами, участвую

щими в обсуждении предстоящей реформы, то в вопросе

об основах

обновлен

ного курса геометрии нет никакого

единодушия: одни лица предлагают

цели

ком базировать курс геометрии на идее геометрического

преобразования,

доходя до предложения о классификации

геометрических

фактов

не

на основе

последовательного

усложнения изучаемых

объектов,

а на

основе

используемых

в доказательствах

преобразований (ср .,

например,

«планиметрическую»

часть

учебника [3 8 ]1); другие стоят на точке зрения максимальной алгебраизации

и «координатизации»геометрии; третьи настаивают на «последовательно векторной» трактовке геометрии (ср. [77]); многие' считают необходимым повысить роль строгой дедукции в геометрии, положив в основу курса ту или иную (избыточ ную) систему аксиом, достаточную для строго формального обоснования всей


геометрии (ср.		[42]	или [43]),	в то время как	некоторые участники широко
развернувшихся		дискуссий призывают вовсе отказаться от курса геометрии
в	старших классах		средней школы (см., например, [82]). Все это заставляет
с	особым вниманием		отнестись	к зарубежному	опыту, кстати сказать, доста

точно разнообразному и не дающему оснований судить о решительном торжестве

какой-либо одной из		указанных выше основных концепций. Однако йрежде
чем говорить	о разных системах построения школьного курса геометрии и о
месте, ■ какое	занимает	в учебной и методической литературе книга, предлагае
мая ныне вниманию		читателя,	следует сказать	несколько	слов об истории
науки об основаниях геометрии,			без чего некоторые	основные	особенности этой
книги могут оказаться		недостаточно понятными.

1.Три пути обоснования геометрии: М. Пиери, Д . Гильберт, В . Ф . К аган .

Известно, что задача строго аксиоматического обоснования всей геометрии

была впервые поставлена и решена на рубеже X IX и X X столетий; до этого

сама постановка вопроса оставалась здесь глубоко неясной2. Парадоксальным

1	Числа	в	квадратных	скобках отсылают		читателя	к	списку	литературы
на стр. 609 — 613.
2	Отметим		в частности,		что создатели	неевклидовой		системы Лобачев
ского	(Н. И. Лобачевский, Я. Бойаи и К. Ф. Гаусс) совсем,							видимо,	не воспри
нимали свои		исследования		как	аксиоматические (ближе		других к		этой точке
зрения был		Я . Бойаи).

20*

595

образом то обстоятельство, что первая серьезная попытка аксиоматического

обоснования науки была предпринята Евклидом именно на примере геом ет рии,

сильно задержало дальнейшее движение вперед в этом направлении: колос сальный авторитет Евклида и многовековая привычка видеть в его книге образец «истинно дедуктивной» математической системы затрудняли понимание принципиальных пороков принятой Евклидом схемы (чуждой, как известно,

представлениям о «первоначальных» или «неопределяемых» объектах и отноше

ниях). Другой причиной задержки		учения об основаниях геометрии		явилась,
очевидно,	сложность подлежащей	аксиоматизации	математической	системы:
в то время	как, например, известная аксиоматика		арифметики по Дж . Пеано

[22] (предложенная, кстати сказать, ранее всех вариантов аксиоматического

описания	пространства Евклида)	содержала	всего 4	аксиомы,	описывающие
один род	неопределяемых понятий	(«числа»)	и одно	отношение	между этими

понятиями («предшествовать»), гильбертова аксиоматика, даже в одном из послед них ее вариантов (см. [9]), содержит 40 аксиом, описывающих четыре основных


отношения	(при надлеж ат ь, м еж ду и конгруэнт ност ь для от резков и для углов),
связывающие неопределяемые элементы трех родов — точки,							прямые и плоскости
(первоначально число аксиом было еще большим). Неудивительно								поэтому, что
первым попыткам серьезного обоснования всей					геометрии Евклида предшество
вали работы, в которых обсуждались отдельные					фрагменты		будущей		аксиома
тики; из	числа	этих	работ	особо должны	быть	отмечены		исследования
Дж . Пеано [7] по		аксиоматизации понятия движ ения				(в частности, Пеано при
надлежит	вошедшее в		многие	последующие исследования			описание		«степени

Рис. 1 Рис. 2

подвижности» плоскости: существует единственное движение, переводящее

данный «репер»	(А,	A B ,	а ) в	другой	«репер» (А ',	А 'В', а ') — см. рис. 1)
и Исследования	М.	Паша	[5] -(ср.	также	Пеано [6]) по	аксиоматическому опи

санию «порядка» точек		на прямой (включающему широко известную а к с и о м у
П а ш а :	если прямая I пересекает одну ст орону т реугольника А ВС , т о он а обя
зат ельно	пересекает и	одну из двух других сторон', см. рис. 2).
История науки свидетельствует, что великие открытия делаются, как правило,
в тот период, когда к		тому существуют какие-то объективные факторы обще

культурного порядка; это обстоятельство подчеркивается тем, что существен

ный шаг вперед часто делается независимо		несколькими	учеными		в	разных
странах. «Для идей,— писал венгерский математик Фаркаш			Бойаи сыну,			настаи
вая на скорейшем опубликовании последним его исследований				по	неевклидо
вой геометрии,— наступает	время, когда они	созревают	в различных			местах,
подобно тому, как весной	фиалки появляются всюду,		где	светит,		солнце».

596

В качестве примеров здесь можно указать на независимое открытие аналити

ческой геометрии Р . Декартом и П. Ферма, математического анализа Г. В . Лейб ницем и И. Ньютоном, неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я . Бойаи

и К. Ф . Гауссом, векторного исчисления Г. Грассманом и У . Р . Гамильтоном,

статистической	физики Л . Больцманом	и Д . У . Гиббсом,	квантовой	механики
Л . де Бройлем,	Э. Шрёдингером и В.	Гейзенбергом и т. д.	и т. п.	Не состав

ляет здесь исключения и аксиоматическое обоснование (евклидовой) геометрии — разные системы обоснования геометрии, формально эквивалентные и равно доста

точные для вывода из предложенных аксиом всех без исключения геометриче

ских теорем, были предложены несколькими учеными, из числа которых особо заслуживают быть отмеченными итальянский математик Марио Пиери [8], про

фессор прославленного Гёттингенского университета Давид Гильберт [9]

и приват-доцент Новороссийского (Одесского) университета Вениамин Федоро

вич Каган [10] К Указанные три системы обоснования геометрии были независимо разрабо

таны почти в одно и то же время, однако дальнейшая их судьба оказалась совсем разной: в то время как работы Пиери и Кагана сразу же оказались

весьма основательно забытыми (так что сегодня их знают лишь специалисты по

истории математики или по основаниям геометрии), сочинение Гильберта [9],

впервые увидевшее свет в выпущенном в 1899 г. Гёттингенским университетом обширном томе, посвященном открытию памятника К . Ф . Гауссу и Г. Веберу,

почти сразу же приобрело весьма почетную известность. Впоследствии оно

десятки раз издавалось на языке подлинника и в переводах и послужило

основой деятельности многочисленных исследователей буквально во всех

стра

нах

мира,

стараниями -которых

аксиоматика

Гильберта

многократно

упроща

лась

усовершенствовалась.

Хорошей

иллюстрацией

популярности

пред

ложенной Гильбертом системы

построения

геометрии может служить, например,

включение

заимствованного

из

книги

[9] списка аксиом в последние

изда

ния

2-й

части учебника

[37]

(где этот список, впрочем,

никак не связанный

с остальной

частью

книги,

естественно,

«не

работал» и производил

поэтому

довольно

странное

впечатление) или попытка

построения

на базе гильбертовой

аксиоматики школьного

курса

геометрии, предпринятая

авторитетной

группой

американских математиков и педагогов (так называемый «Болл-колледж-проект»

перестройки		школьного курса математики): выпущенный этой				группой весьма
тщательный		по исполнению учебник [52] лучше всего,			кажется, демонстрирует
полную	неприемлемость		гильбертовой аксиоматики	для	средней	школы.
В чем же коренятся причины столь широкого увлечения аксиоматикой
Гильберта?		Прежде всего — в высоких научных и		методических достоинствах
книги	[9];	в частности,	большое значение имело	тщательное		членение всей1

1 Намечаемые работами [8], [9] й [10] пути обоснования (евклидовой) гео метрии, разумеется, не являются единственно возможными: так, например, тому же Пиери [14] принадлежит (несколько более поздняя чем работа [8], где, впрочем, уже можно найти соответствующие идеи; ср. также Б . Леви [12]) аксио матика геометрии, базирующаяся на единственном неопределяемом понятии «точка» и единственном основном отношении «равноудалены от»; эта аксиома тика в последние годы приобрела популярность у специалистов по математи ческой логике. (О еще одной системе обоснования .евклидовой геометрии мы скажем ниже.)

597

системы аксиом на ряд		групп,	анализирующих		отдельные категории	свойств
евклидова	пространства.	Очень	большую	роль сыграл также огромный научный
авторитет	автора этой	книги,	бесспорно,	первого	математика своего	времени,

внесшего выдающийся вклад и в алгебру, и в геометрию, и в (математический)

анализ. Наконец, очень существенной была близость основных установок Гиль берта к классическим «Началам» Евклида, позволяющая рассматривать книгу

Гильберта как завершение растянувшегося на несколько тысячелетий пути раз


вития		геометрии: от древних					египтян	и вавилонян — к		«Началам» Евклида и
от	«Начал» — к			«Основаниям			геометрии» Гильберта (именно так, например,
трактует историю оснований							геометрии	известный	математик, педагог и исто
рик	науки		Х анс	Фрейденталь			[80]).
	Между		тем,	анализируя			сегодня три первоначально предложенных пути
обоснования геометрии, можно сказать, что наименее										удачным из них был
именно		путь Гильберта:				книга	[9] сыграла выдающуюся роль в формировании
наших		представлений			о	месте	аксиоматического метода в математике и послу
жила		трамплином для			создания «гильбертова формализма», явившегося одним
из	важнейших			направлений в			области	оснований	(в частности— философских

оснований) математики; однако собственно геометрию она (в определенном

смысле!)	завела ö тупик и здесь			принесла, _ быть		может,	больше вреда, чем
пользы.	Д ля	пояснения	этой точки	зрения нам	придется		более подробно оста
новиться	на	основных	установках	М. Пиери,	Д .	Гильберта и В . Ф. Кагана.

В чисто м ат ем ат ическом отношении предложенные этими тремя авторами системы аксиом равносильны: приняв за основу любую из них, можно на этой

базе док азат ь все предложения, рассматриваемые как аксиомы в двух других системах. Однако с точки зрения мет одической (и мет одологической) различие

между аксиоматическими системами Пиери, Гильберта и Кагана было довольно

значительным — и эти три системы наметили три основных пути обоснования евклидовой геометрии.

Главное различие между тремя рассматриваемыми аксиоматиками заключа

лось в путях реализации «метрической» структуры евклидова пространства, отличающей его от лишенного расстояний между точками и углов между прямыми «аффинного» пространства (относительно которого см. [64] или [66]). Д . Гильберт учитывал эту структуру, аксиоматизируя понятие равенст ва (или конгруэнт ност и)

отрезков и углов (причем в число аксиом им вводилась, например, аксиома,

равносильная

аксиоме

С У С

настоящей

книги);

М.

Пиери,

вслед

за

своим учителем Дж.

Пеано,

считал

основным

(неопределяемым)

понятием

дви ж ени е, а

В. Ф . Каган исходил из

понятия

расст ояни я

между

точками.

Разумеется, эти три подхода приводят к

одному и тому же понятию евклидова про

странства— ведь

владея

любым

из

этих

по

нятий, мы можем

о п р е д е л и т ь оба другие

и доказать

все

их

свойства.

Т ак,

например,

исходя

из

понятия

к о н г р у э н т н о с т и

отрезков

мы

можем

определить

дви ж ени е

(или

перем ещ ение)

как

преобразование, кото

рое переводит любые две точки А *и В в

такие точки А' и В ’, что A B

А 'В' (рис. 3);

598

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 6259 60 61 62 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ