книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

площадь

поверхности

шара равна

S и объем шарового слоя ра­

вен V.

Тогда

V приближенно равно Sh,

и если h мало, то это приближение являет­

ся хорошим. (Например, если у вас имеется

круглый

мяч радиуса 20 см и вы покра­

сите его очень тонким слоем краски тол­

щиной, скажем, в 0,01 см, то общий объем

нужной вам краски будет примерно равен

0,01S куб. см.) Таким образом, отноше­

ние V/h

приближенно

равно S.

А при

h -*■0 мы имеем

Но отношение Vlh

мы можем

точно

подсчитать и увидеть,

к чему оно стремится,

когда h -* О. Объем

V есть разность объ­

емов двух шаров. Следовательно,

V = у

я (г -Г h f — у яг3 =

|л [ ( г + /г)3 — г3] =

19*

красить его

снаружи, если на окраску его

пола ушло 50

л краски?

a) Чему равно

отношение радиусов

этих шаров?

B ) Чему равно

отношение площади

их поверхностей?

16*. Инженер,

рост которого

равен 180 см, пришел осмотреть новую сфериче­

скую цистерну для хранения воды.

Он

забрался

в пустую цистерну, и,

когда он поднялся на место,

находящееся

в 5

м 40 см над точкой, в кото­

рой цистерна

опирается

на

землю,

его

голова

коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город

потребляет

в

час

40 000

л

воды,

он

немедленно

__

рассчитал,

на

сколько

часов

может хватить

пол-

>

ной цистерны. К ак он

это

сделал

и какой) он

по­

лучил результат?

1 7 *н. С помощью метода, которым мы вывели площадь

поверхности шара

(теорема

17.17),

покажите,

что

площадь

боковой

поверхности

прямого кругового

цилиндра

равна

2лга,

где

/-— радиус

основания

цилиндра

и а — его высота.1

a)

У каждой призмы имеются ... и ... основание.

B ) Боковые грани призмы являются ... областями.

c)

Боковая поверхность призмы есть ... е е ___

5. На

полке

в магазине стоят две банки земляничного

варенья одного

и того

же

сорта. Одна банка в

2 раза выше другой, но зато ее диаметр в

2 раза

меньше.

Высокая банка

стоит 23 цента, а низкая 43

цента. Какую

купить

выгоднее?

14. Объем пңрамиды с

высотой

1 2 см равен

432 к у б .с м . Найдите площадь по­

перечного сечения,

поднятого

на 3 см над

основанием.

A. Рассуж дения от

противного в

повседневной

жизни.

Примеры

1

и 2

§ б гл. 2 и задачи 3 и 4 на

стр.

173

служат

хорошими

иллюстрациями

рас-

суждений от противного в повседневной жизни. Если

вы

сначала

разбе­

рете эти подготовительные примеры, то увидите,

что

нетрудно

натренировать

учащихся

в

применении

доказательств

от

противного

в

геометрии.

Это

станет

первым

важным

шагом

к

пониманию

сущности

метода

рассуждения

от противного и осознанию естественной

роли

этого

метода

в

доказательст­

вах теорем.

Заметим, что утверждения в примерах 1 и 2 (стр. 172)

являются

отрица­

тельными. Это не случайно: основная

идея

метода

доказательства

от

против­

ного как раз и состоит

в том,

чтобы

установить

лож ност ь

некоторого утверж­

дения, показав, что оно

приводит к противоречию. Поэтому и следовало

ожи­

дать,

что элементарные

примеры на применение этого 'метода

имеют

вид

отри­

цательных

(негативных)

высказываний.

B. Теорема 3.2 как образец доказательства

от

противного.

При

обсужде­

нии с учащимися метода доказательства от противного

мы

рекомендуем

поль­

зоваться как

образцом теоремой

3.2.

Сначала

докажите

в

классе

эту

теорему,

а затем, вернувшись назад, вновь разберите доказательство,

выделяя

су ­

щественные шаги, характеризующие доказательства от

противного.

Полное

доказательство

со

вставленными

«наименованиями»

этих

шагов

вы глядит'при ­

мерно так:

Теорема

3 .2 .

Е сли прям ая

пересекает

не

содерж ащ ую

ее

плоскост ь,

т о их

пересечение

содерж ит одну

точку.}

Д а н о .

1°.

Прямая

/

пересекает

плоскость

Е по крайней

мере

в

одной

точке

Р .

2°. Плоскоств

Е не содержит прямой /.

Т р е б у е т с я

д о к а з а т ь .

Прямая I

пересекает плоскость Е

только в точке Р .

Быть может, вам прежде всего захочется отметить, что утверждение, кото­

рое вы собираетесь доказать, либо верно, либо неверно.

«Утверждение: прям ая

I

пересекает

плоскост ь Е в

единственной

точке Р —

либо

верно,

либо

неверно».

1°.

Д опуст им , что

ут верж дение,

кот орое

мы

хотим

доказат ь,

неверно.

«Пусть рассматриваемая теорема неверна; иными словами,

пусть данная

прямая

I,

пересекающая

не содержащую ее плоскость Е

в

точке

Р ,

пересе­

кает эту плоскость и в некоторой другой точке Q».

2°.

П ост роим

цепь рассуж дени й,

приводящ ую

к каком у-либо

ут верж дению ,

кот орое

долж н о

быт ь

неверным ,

поскольку

оно

прот иворечит

чему-то

уж е

нам извест ному.

I содержит

Р

и Q.

Следо­

вательно, в силу аксиомы 6 прямая /

принадлежит плоскости

Е .

Это — невер­

ное утверждение, так как оно противоречит предположению о том,

что

плос­

кость

Е

н е

с о д е р ж и т

прямой

/».

3°. Зам ет им ,

что правильны е

рассуж дения

привели

н ас

к

неверном у

за к ­

лючению. Следоват ельно,

мы

исходили

из неверного

допущ ения. М ы

допуст или,

что т еорем а

неверна. Значит , он а

верна.

1 Дополнения

эти

выборочно

заимствованы

из

«учительского

издания»

книги

Моиза — Даунса,

чтобы продемонстрировать читателю-учителю общий

стиль

методических установок авторов.

'

C.

Логический принцип,

используемый в доказательстве от

против­

ного.

Доказательство от

противного начинается

с допущения,

кото­

утверждение, которое мы собираемся доказать,

неверно. Ученик

может

не

понять

причину этого шага подобно тому,

как шахматист-любитель

может

не

увидеть

смысла первого хода шахматного

мастера:

любитель видит

лишь один

устанавливаемое утверждение неверно)

само

ложно.

Таким

образом, воз­

можность того, что теорема неверіна, исключается, и,

значит,

наша теорема

верна.

D. Доказательство от противного с

точки

зрения

дедуктивной логики.

дом

и тавтологиями

дедуктивной

логики.

Достаточно

сделать два замечания:

одно

краткое,

а другое — более пространное.

1°. Фундаментальный логический принцип, неявно подразумеваемый в дока­

зательстве от

противного, гласит:

«Е сли

из ут верж дения

А выт екает лож ное

ут верж дение,

т о и

сам о ут верж дение А ложнощ

2°. Отношение

метода доказательства

от противного

к

понятию противопо­

такое

рассуждение

и нельзя счесть

неправильным, в нем упускается

из вида

одно

существенное

обстоятельство.

В доказательстве

от противного

мы пока­

зываем, что допущение о ложности

некоторого умозаключения приводит к лож­

ному

утверждению,

причем это последнее обычно является

ложным не потому,

что противоречит условию нашей

теоремы, а потому,

что

оно противоречит

лельности.

Можно

закончить

доказательство

этой

теоремы, в

самом деле установив,

что из

не q

следует не

р:

Р и параллельна пря­

« ...

Тогда по теореме 9,5 прямая

/

содержит точку

мой 12.

По

аксиоме построения углов І і Ф

I,

и так как в силу аксиомы парал­

лельная прямой /2, то это

означает, что прямая /х не параллельна /2. Но это

противоречит предложению,

что ||/2».

Однако

такое

окончание

доказательства не так

естественно,

как

приве­

денное в

основном

тексте.

Дело

в

том,

что

в доказательстве от

противного

мы

просто

показываем,

что наше допущение

приводит к неверному

утверждению,

все равно к

какому

именно. Поэтому мы берем то,

которое появляется раньше и естественнее всего.

ствительно

вытекает отрицание предположения теоремы. Именно поэтому дока­

зательство

от

противного

основано

скорее

на принципе «Если

из утвержде­

ния А вытекает ложное

утверждение, то

и само утверждение А

ложно», чем

на том, что импликация и ее контрапозиция логически эквивалентны.

Здесь

и в других местах многое можно упростить, употребляя логический

символ

для

отношения «следует».

В этих обозначениях мы можем сказать:

«Если

Р =э- Q и Q ложно, то Р

ложно».

Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

7 .5. Теорему

7.5 часто доказы­

вают

так:

Д а н о . Д А В С , в котором А В > А С .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . т А С > т A B .

Возьмем на А.В такую точку D ,

что A D =

A C. Проведем биссектрису

А А;

пусть Е — точка пересечения этой биссектрисы с В С . По аксиоме С У С Д А D E

Д

А С Е . Следовательно, т

А A D E — tn

А А С Е . В

силу теоремы о внешнем

угле

т А A D E > т А D B E .

Поэтому т

А С > т

A B ,

что и требовалось

доказать.

В

этом доказательстве молчаливо

подразумевается,

что

биссектриса

А А

действительно пересекает

В С в точке,

лежащей между В

и

С .

«Теорема о

заго­

родке» (из задачи 7 на

стр.

201) гарантирует,

что

это

на

самом деле

так.

Тем

не менее мы считаем, что доказательство на стр. 218— 219 во всяком слу­

чае

проще.

«Если

луч А Е

делит

пополам

внешний

д

D A C

Д

А В С

и

A B — А С ,

то

А Е\\ВС . Эта теорема имеет

д в е обратные,

каждая

из

которых верна.

Д

1°. «Если

А Е

делит

пополам

внешний

D A C

Д

А В С и

А Е II В С

то

А В = = А С » .___

2°. Д ан

Д

А В С .

Ёсли А Е Ц В С

и А В = А С , то А Е

делит пополам

внешний д

D AC».

Теорема о шарнире (теорема 7.9) имеет на

самом

деле т р и

обратные

те­

оремы, из которых верна лишь одна. Д ля того

чтобы

о том, что

следует

по­

К

§ 8 гл. 7. Теорема о шарнире и обратная теорема

Другое доказательство теоремы о шарнире. Теорема о шарнире и обратная

ей

теорема очень

напоминают две основные теоремы о

неравенствах

связы ­

вающих элементы

одного

треугольника. Эта аналогия

наводит на

мысль, что

в доказательстве

теоремы

о шарнире можно было бы воспользоваться теоремой

7.6

(а не

неравенством треугольника). Д оказать теорему о шарнире,

пользуясь

теоремой

7.6, можно, но это доказательство существенно опирается

на

теоремы

о промежуточной

точке и

отделении из § 6 гл. 8.

Д а н о . Д А В С и Д D E F , причем А С — D F , A B — D E , т Е В А С < т

д E D F ,

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . В С > E F .

1°. Построим Д А К С с вершиной

К ,

лежащей

по ту же сторону

от АС,

что и В , так,

чтобы Д

А К С ^ А D E F .

т Д С В К < т

Д В К С ,

Проведем

В К . Если мы

сумеем

показать,

что

то

на основании

теоремы

7 .6

мы

сможем

заключить,

что С К < В С ,

а потому

и

E F < В С .

_ _

Д ВАК',

2°. Проведем биссектрису

A R

пусть М — точка,

в

которой