книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

пирамиды. В силу теоремы о поперечных сечениях пирамиды, по­ перечные сечения этих двух пирамид, лежащие на одинаковом уровне, имеют одинаковую площадь. Следовательно, на основании принципа Кавальери эти две пирамиды имеют один и тот же объ­

X 30 см X 30 см наполнен водой. Сколько лит­ ров воды он содержит?

3.Некоторые слитки серебра отливают в форме прямой призмы, основанием которой (концом слитка) служит трапеция. Основания этой тра­

4.При погружении куска металла в прямоугольный бак с водой, имеющий основание 50 см X 40 см, уровень воды поднялся на 0,75 см. Какой объем имеет этот кусок металла?

5.Чтобы подсчитать стоимость устройства для кондиционирования воздуха в

проектируемом здании, подрядчик должен вычислить объем воздуха, заклю­ ченного в прямоугольном здании, изображенном на рисунке. Здание имеет в длину 36 м и в ширину 12 м. Карнизы крыши по обе стороны строения

569

7. Найдите объем правильной четырехугольной пира­ миды, высота которой, как и ребро основания, равна 12. Найдите также площадь ее боковой по­ верхности.

8.Выведите формулу для объема правильной четырех­ угольной пирамиды, боковые грани которой явля­ ются равносторонними треугольниками со сторо­ ной а.

9.Если сложить две правильные четырехугольные

пирамиды, боковые грани которых являются рав­ носторонними треугольниками, их основаниями, то получится восьмигранное тело, называемое п р а­ вильным октаэдром . Докажите, что объем V пра­ вильного октаэдра с ребром I вычисляется по фор­

муле Ѵ = ^ У 2 I 3.

10. Вычислите объем и площадь полной поверхности правильного октаэдра с ребром 3.

1 1+ . Докажите, что объем "правильного октаэдра опре­

деляется по формуле V = g- di d2 d3, где d v d2 и

d3 — длины его диагоналей.

12. Поперечное сечение пирамиды отсекает маленькую пирамиду с объемом 2 и высотой 1. Объем боль­ шой пирамиды равен 54. Чему равна высота этой пирамиды?

15*. Площадь поперечного сечения пирамиды равна 20, а площадь основания 45. На каком расстоянии от вершины находится плоскость поперечного се­ чения, если высота пирамиды равна 6? Чему равно отношение объемов двух пирамид?

16*. Плоскость, параллельная основанию правильной четырехугольной пирамиды, пересекает ее высоту в точке, расстояние которой от вершины равно

~расстояния от вершины до основания. Высота

пирамиды равна 16, а ребро основания 24. Най­ дите площадь боковой поверхности и объем усе­ ченной пирамиды.

5 7 0

Конкурсная задача

Покажите, что объем усеченной пи­ рамиды можно вычислять по формуле

y = i/*(s+s'+Kss')-

где S и S' — площади оснований и h —вы­ сота усеченной пирамиды.

У к а з а н и е . Пусть h’— высота ма­ ленькой пирамиды. Найдите объемы двух пирамид. Примите во внимание, что

АРХИМЕД (287—212 до нашей эры)

Архимед бесспорно считается величайшим математиком древности и одним из трех или четырех величайших ма­ тематиков всех времен. Он первым определил объем шара. Он очень точно вычислил число л. А методы, которые он придумал для решения задач о площадях и объемах, на много веков опередили его время. Он умел вычислять пло­ щади областей, ограни­ ченных очень сложными кривыми; и его дости­ жения в этих областях геометрии оставались почти единственными на протяжении восемнадца­ ти столетий. Следующим важным шагом в вы-

571

числении площадей и объемов явилась формулировка итальянцем Бонавентурой Кавальери его знаменитого принципа и особенно создание Исааком Ньютоном и Готтфридом Вильгельмом Лейбни­ цем дифференциального и интегрального исчисления — но все эти дальнейшие успехи относятся к семнадцатому столетию!

В отличие от большинства греческих математиков Архимед интересовался и приложениями математики. Согласно легенде, когда римляне напали на его родной город Сиракузы в Сицилии, Архимед сыграл ведущую роль в защите города, применяя про­ тив захватчиков свои многочисленные изобретения. Рассказывают, что он бомбардировал римские суда огромными камнями, стреляя

правив с помощью специально сконструированных зеркал солнеч­ ные лучи на корабли противника. Но когда атака городских стен окончилась неудачей и римляне перешли к длительной оса­ де Сиракуз, Архимед, который больше не мог ничем помочь род­ ному городу, вернулся к своей науке и продолжил занятие ма­ тематикой. Согласно преданию, он умер за работой. Когда рим­ ляне в конце концов захватили Сиракузы, один солдат застал Архи­ меда рисующим на полу своего дома геометрические фигуры на пе­ ске. «Не испорть мои чертежи!» — сказал Архимед. Эти слова оказа­ лись его последними словами. Командующий войсками Рима ге­

§ 4. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ

Если вы помните, как мы получали призму, основанием кото­ рой является данная многоугольная область, то вы поймете, что этот процесс в такой же мере годится и для основания любой

5 7 2

другой формы. Допустим, например, что мы, как и прежде, бу­ дем исходить из двух параллельных плоскостей Ех и Еъ но в качестве основания возьмем расположенный в плоскости Ег круг.

Совсем как и раньше, рассмотрим прямую /, пересекающую плоскости Ег и Е2, но не пересекающую основания, и образуем

жем получить другие типы цилиндров. Но в этой книге мы бу­

(где V — вершина конуса, Р — центр основания и Е — плоскость основания), то конус называется прямым.

Следующие теоремы о цилиндрах и конусах аналогичны соот­ ветствующим теоремам о призмах и пирамидах. Их доказательст­ ва также очень похожи; дело в том, что здесь нигде форма ос­ нования не играет никакой особой роли. (Ср. с формулировкой принципа Кавальери и с иллюстрирующим этот принцип рисун­ ком.) Поэтому мы опускаем детали доказательств.

573

Теорема 17.11

Каждое поперечное сечение кругового цилиндра

PQ и PjQi являются противоположными сторо­ нами параллелограмма QQiPxP.

Следствие 17.11.1

Каждое поперечное сечение кругового цилин­ дра имеет ту же площадь, что и основание.

Теорема 17.12

Даны конус высоты h и его поперечное сечение, высекаемое пло­ скостью, удаленной от его вершины на расстояние k. Тогда пло­ щадь поперечного сечения равна площади основания, умноженной на k2(h2.

Вот главные шаги доказательства (обозначения указаны на рисунке):

574

Таким образом, если точка Q основания принадлежит окруж­ ности с центром Р и радиусом г, то точка Q поперечного сечения принадлежит окружности с центром Р' и радиусом

г'

Следовательно, поперечное сечение есть круг радиуса г', а его площадь равна

№k2

откуда и следует утверждение теоремы.

Мы можем теперь, пользуясь принципом Кавальери, вычис­ лить объемы цилиндров и конусов так же, как мы это раньше сде­ лали для призм и пирамид.

Теорема 17.14

Объем кругового цилиндра равен произведению площади его ос­ нования на высоту.

Доказательство похоже на доказательство теоремы 17.7: нам достаточно сравнить цилиндр с прямоугольным параллелепипедом (или с произвольной призмой!) с теми же площадью основания и высотой.

Теорема 17.15

Объем кругового конуса равен одной трети произведения пло­ щади его основания на высоту.

Задачи к § 4

1.Основанием цилиндра служит круг диаметра 8. Высота цилиндра также равна 8. Чему равен объем цилиндра?

ходимой для изготовления трубы. ^Считайте, что л равно 3 у . j

575

5 7 6

§ 5. ОБЪЕМ ШАРА И ПЛОЩАДЬ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ

щади, что и шар. Поэтому первое, чем нам нужно сейчас занять­ ся ,—это найти площади поперечных сечений шара. Сделать это совсем не трудно. Горизонтальные поперечные сечения шара ра­ диусом г являются кругами. Если поперечное сечение удалено на расстояние а от центра шара и радиус его равен t, то из теоре­ мы Пифагора следует, что

С1_ г2 _ а2_

'S=Krznaz

Следовательно, площадь поперечного сечения, удаленного от цен­ тра на расстояние а, равна

Sa = nt2= л(г2— а2) = пг2— па2.

Эта последняя формула имеет прозрачный геометрический смысл: Sa есть площадь кольцеобразной области, заключенной внутри окружности радиуса г и вне окружности радиуса а, как это показано на рисунке. Такая область называется кольцом.

Теперь мы построим тело, имеющее своими поперечными сече­ ниями такого рода области,

578