книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Теорема 17.4

Каждое поперечное сечение треугольной пирамиды, заключен­ ное ме^сду основанием и вершиной, является треугольной обла­ стью, подобной основанию. Если h — высота пирамиды и k — рас­ стояние от вершины до плоскости поперечного сечения, то пло­ щадь поперечного сечения равна площади основания, умноженной на число £2//г2.

Обозначения, которыми мы пользуемся в доказательстве, ука­ заны на рисунке. Основанием служит область, определяемая тре­ угольником АВС; Д А 'В 'С —это соответствующий треугольник, представляющий собой поперечное сечение пирамиды. Отрезок есть перпендикуляр, опущенный из вершины V на плоскость осно­

потому что это длины соответствующих сторон подобных треуголь­

559

Это доказывает первую половину нашей теоремы. Вторая ее половина следует теперь из теоремы 12.9, так как отношение каж­ дой пары соответствующих сторон треугольников А'В'С' и АВС равно kjh.

Площади поперечных сечений ведут себя так не только для треугольных пирамид; независимо от того, какую форму имеет основание пирамиды, отношение площадей всегда равно tPjh2.

Теорема 17.5

Отношение площади поперечного сечения к площади пирамиды равно k2lh \ где h — высота пирамиды, а k —расстояние от вер­ шины пирамиды до плоскости поперечного 'сечения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как в опре­ делении многоугольной области, разобьем

На нашем рисунке показан случай, когда п —3. Пусть площади соответ­ ствующих треугольных областей, обра­ зующих поперечное сечение, равны Si, S2, ..., Sn-

560

что нам и требовалось доказать.

Эта теорема в свою очередь позволяет нам доказать, что спра­ ведлива

Теорема 17.6 (теорема о поперечных сечениях пирамиды)

На рисунке изображены треугольные пирамиды только для

до соответствующей вершины. Тогда площадь каждого из попе­ речных сечений равна (k2/h2) S, и потому эти площади одинаковы.

561

5. Высота квадратной пирамиды равна 10, а сторона основания 15. Найдите площадь поперечного сечения, плоскость которого удалена от вершин на расстояние 6.

6. Площадь основания пятиугольной пирамиды равна 72 кв. см, а высота 12 см. Чему равна площадь поперечного сечения, отстоящего от основания на 4 см?

7 . Плоскость поперечного сечения пирамиды, имеющего площадь 108 кв. см, удалена от вершины на 9 см. Основание пирамиды имеет площадь 180 кв. см. Найдите высоту пирамиды.

правой пирамиды.

562

9.Пирамида, основанием которой служит Правильный многоугольник, а вер­ шина которой равноудалена от каждой вершины основания, называется

правильной пирамидой.

Докажите, что высота, опущенная из вершины правильной пирамиды на ее основание, пересекает основание в центре описанной окружности (т. е. в точ­ ке, равноудаленной от всех вершин основания).

10. Ребро основания правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 10 см, а высота пирамиды равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

11.Докажите, что боковые грани правильной пирамиды ограничены конгруэнт­ ными равнобедренными треугольниками.

12.Высота каждой боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды. Покажите, что площадь боковой поверхности правильной пира­ миды равна половине произведения апофемы пирамиды на периметр ее осно­ вания.

13.Найдите площадь полной поверхности правильной пирамиды, высота кото­ рой равна 15, а основанием которой служит квадрат со стороной 16.

14*. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пи; а миды, если дано, что ребро ее основания равно 8, а ее высота равна 12.

15+. Дана произвольная треугольная пирамида A BCD . Какая плоскость пере­ секает эту пирамиду по параллелограммной области?

Конкурсная задача

§ 3 . О Б Ъ Е М Ы П Р И ЗМ И П И Р А М И Д . П Р И Н Ц И П К А В А Л Ь Е Р И

Теперь мы перейдем к задачам определения объемов различ­ ных тел. При решении этих задач мы вновь встречаемся со мно­ гими из тех идей, исходя из которых мы находили площади мно­ гоугольных областей. Наше обсуждение будет, однако, менее фор­ мальным, чем в рл. 11, и не будет включать полного набора аксиом, позволяющих шаг за шагом оправдать все, что мы делаем.

563

Тем не менее мы сформулируем две главные аксиомы, которые

для площади прямоугольника. Для объемов тел аналогичный прием не проходит, и потому нам приходится принять более силь­ ную аксиому.

Аксиома 23 (аксиома единицы объема)

Объем прямоугольного параллелепи­ педа равен произведению площади его основания на высоту.

Конечно, любую грань параллелепипеда можно рассматривать как его основание. Но мы всегда получим одно и то же число, потому что в каждом случае произведение Sh площади основания на вы­ соту равно произведению любых трех ребер, имеющих общий конец (ибо в обозначениях нашего рисунка S = ab).

Чтобы понять, о чем идет .речь в следующей аксиоме, пред­ ставим себе сначала физическую модель. Мы можем получить тело, очень похожее на квадратную пирамиду, сложив кучку тон­ ких (скажем, картонных) квадратиков последовательно убывающих размеров. На левом рисунке изображена точная пирамида, а на правом — приближенная ее модель из квадратных карточек.

Теперь допустим, что мы просверлили, в нашей модели узкое отверстие, ведущее от вершины к некоторой точке основания, и вставили в него стержень так, чтобы он пробивал каждую квад­ ратную 'пластинку. Мы можем тогда, не меняя положения ниж­ него конца стержня на основании «пирамиды», наклонить стер-

5 6 4

стим, что мы имеем два тела, основания которых лежат в одной плоскости. Можно считать, что эта плоскость горизонтальна.

Если все горизонтальные поперечные сечения двух наших тел, нахо­ дящиеся на одном и том же уровне, имеют одну и ту же площадь, то два наших тела имеют о д и н и то т же объем.

Это верно по следующей причине. Снова сделаем модель каж­ дого из наших тел, сложив его из плоских (например, вырезан­ ных из картона) пластинок (разумеется, теперь уже не квадрат­

соответствующая пластинка во второй модели. Так как пластинки мы условились брать очень тонкие, то наши модели будут очень близки к данным телам. Фактически, взяв достаточно тонкие плас­ тинки, мы можем сделать и модели сколько угодно близкими к этим телам. Следовательно, объемы этих тел совпадают.

Принцип, который иллюстрируется последним рисунком, назы­

кость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причем образованные при пересечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же площадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.

5 6 5

Как мы увидим очень скоро, принцип Кавальери является клю­ чом к вычислению объемов многих тел.

Теорема 17.7

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть h и S — высота и площадь осно­ вания данной призмы. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с той же высотой h и той же площадью основания S, основание которого лежит в той же плоскости, что и основание данной призмы. Из теоремы о поперечных сечениях призмы мы знаем, что все поперечные сечения обеих призм имеют ту же площадь S. В силу принципа Кавальери отсюда следует, что обе призмы имеют один и тот же объем. Так как в силу аксиомы 23 пря­ моугольный параллелепипед имеет объем Sh, теорема доказана.

их основания лежали в одной и той же плоскости, а сами призмы

566

располагались по одну сторону от этой плоскости. По теореме о попе­ речных сечениях пирамиды соответствующие поперечные сечения наших двух пирамид имеют одну и ту же площадь. В силу прин­ ципа Кавальери это означает, что объемы пирамид одинаковы.

Теорема 17.9

Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Р

с

(Мы имеем право взять п р я м у ю треугольную призму, как на нашем рисунке. Выбор призмы не имеет значения; важно лишь, чтобы точки Р и Е находились на одинаковом расстоянии от плоскости АВС.)

Теперь разобьем нашу призму на три пирамиды, как показано на правом рисунке. Обозначим эти пирамиды, перечислив их вер­ шины в каком угодно порядке. Таким образом, мы имеем три новые пирамиды ADEF, ABEF и AFBC. Если их нарисовать от­ дельно, то они будут выглядеть примерно так:

5 6 7

1°. Пирамиды ADEF и ABEF имеют один и тот же объем.

шину каждой из наших пирамид. Тогда их основаниями служат

одну и ту же высоту, так как высота каждой из них равна рас­ стоянию от А до плоскости, содержащей их основания. Следова­ тельно, они имеют один и тот же объем.

3°. Пирамида AFBC и первоначальная пирамида РАВС имеют один и тот же объем.

(Доказательство очевидно: эти пирамиды имеют одно и то же '

Теорема 17.10

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

568