книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 1. ПРИЗМЫ

Допустим, что нам даны две параллельные плоскости и мно­ гоугольная область в одной из них.

пендикулярный плоскости Ег и соединяющий Р с некоторой точ­ кой Р' второй плоскости Е. Объединение всех таких отрезков называется прямой призмой. Область R называется нижним ос­ нованием, или просто основанием, призмы. Если (как это обычно и считают) плоскости Ег и Е2 горизонтальны и Е2 лежит н ад Еѵ

ставленные нами отрезки были перпендикулярны к плоскости ос­ нования (образовывали с ней п р я м о й угол *). Мы можем по-

551

строить призму другого вида, проведя наши отрезки в любом определенном направлении, не обязательно перпендикулярном пло­ скости основания. Эта возможность допускается следующим оп­ ределением:

(Заметим, что мы не разрешили в нашем определении прямой / пересекать область R потому, что если бы I пересекала R, то ни один отрезок, проходящий через точку пересечения I и R не был бы параллелен I.)

Определения

Многоугольная область R называется н и ж н и м о с н о в а н и е м

Заметим, что для прямой призмы высота равна расстоянию РР', но для наклонной призмы высота всегда меньше РР'.

Призмы различаются по их основанию: призма, основанием ко­ торой служит треугольная область, называется треугольной приз­ мой и т. д.

Определение

П о п е р е ч н ы м с е ч е н и е м призмы называется пересечение призмы с плоскостью, параллельной плоскости ее основания. (Мы предполагаем, что это пересечение не пусто.)

Теорема 17.1

Все поперечные сечения треугольной призмы конгруэнтны ее основанию.

552

ками. Когда мы говорим, что они конгруэнтны, мы имеем в виду, что конгруэнтны соответствующие треугольники.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, как на нашем рисунке, основа­ нием призмы служит Д АВС вместе со своей внутренностью и пусть D, Е и К —точки, в которых поперечное сечение пересе­

кает отрезки А А', ВВ' и СС'. Тогда AD\\FC, так как оба эти •

когда две параллельные плоскости пересекаются какой-нибудь

Следствие 17.1.1

Два основания треугольной призмы конгруэнтны.

Это очевидно, так как верхнее основание является одним из поперечных сечений.

Теорема 17. 2 (теорема о поперечных сечениях призмы)

Все поперечные сечения призмы имеют одну и ту же площадь.

5 5 3

есть сумма площадей конечного числа треугольных областей (од­ ной области, если призма треугольная). Площадь S есть сумма площадей соответствующих треугольных областей, входящих в S. Так как конгруэнтные треугольники имеют одну и ту же пло­ щадь, то эти суммы для R и S будут одинаковы.

Следствие 17.2.1

Основания призмы имеют одну и ту же площадь.

Мы будем по большей части рассматривать призмы, основа­ ниями которых служат выпуклые многоугольные области. Под выпуклой многоугольной областью мы понимаем выпуклый много­ угольник вместе с его внутренностью. В таких случаях мы можем говорить о ребре и о вершине основания.

зок ÂB — ребром основания. Отрезки АА' и BW' называются боковыми ребрами призмы. Область, определяемая параллелограм­ мом А А'В'В, называется боковой гранью призмы. Теперь мы повторим все сказанное, несколько уточнив его.

554

Теорема 17.3

Боковые грани призмы являются тараллелограммными обла­ стями» *.

Чтобы это доказать, нам нужно убедиться, что АА' \\ВВ' и AB і| A 'B '. Аргументы?

Следствие 17.3.1

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольными областями.

Доказательство? (Мы знаем, что I ±_ЕХ и что АА'\\1.)

Определения

Объединение боковых граней призмы называется ее боковой п о в е р х н о с ть ю . Объединение боковых граней призмы и двух ее оснований называется ее п о л н о й п о в е р х н о с ть ю .

которой служит параллелограммная область.

П р я м о у г о л ь н ы м п а р а л л е л е п и п е д о м называется призма, основанием которой служит прямоугольная область.1

1То есть параллелограммами, взятыми вместе с их внутренностями.

555

Таким образом, все грани параллелепипеда (боковые, нижняя и верхняя) являются параллелограммными областями. А все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольными облас­ тями.

Определение

К у б о м называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны.

Задачи к § 1

1. а) Изображенная здесь призма называется ...

призмой.

B) Область ABCD называется . . . .

c) Отрезок АА' называется . . . .

d) Расстояние Н Н ' называется . ...

e)Если бы отрезок АА' был перпендикулярен плоскости основания, то призма называ­ лась бы ... .

f)Параллелограммная область ВВ'С'С назы­ вается . . . .

g)Объединение боковых граней называется . . . .

3. Высота прямой пятиугольной призмы, изображенной на правом рисунке,

6.Найдите высоту прямой призмы, площадь боковой поверхности которой равна 143, а периметр основания равен 13.

Т1

5 5 6

Основания этой призмы являются равносто­ ронними треугольниками, а боковые гра­ ни — прямоугольными областями. Дано, что длина ребра основания равна 6, а высота призмы 10. Вычислите площадь полной по­ верхности призмы.

10.Какую площадь имеет боковая поверхность куба с ребром 5? Чему равна площадь пол­ ной его поверхности?

11.Одно из поперечных сечений треугольной

12.Диагональ куба равна 16 У 3. Найдите площадь его полной поверхности.

13.Прямоугольный параллелепипед имеет изме­ рения 4, 7 и 12. Вычислите площадь его полной поверхности.

области, наклоненные к основанию под углом в 60°. Плоскость, перпендикулярная большему ребру основания, пересекает параллелепипед по прямоугольной области. Найдите площадь полной поверхности.

5 5 7

§ 2. ПИРАМИДЫ

Тело, изображенное ниже, является пирамидой с основанием R и вершиной V.

V

Определения

Даны многоугольная область R в плоскости Е и точка V,

ков VQ, конец Q которых принадлежит области R. В ы с о т о й пирамиды называется расстояние (измеренное по перпендикуляру) от вершины V до плоскости Е.

с плоскостью, параллельной основанию (как и прежде, в предполо­ жении, что эта плоскость действительно пересекает пирамиду).

Очевидно, что по мере того, как горизонтальная плоскость движется от основания пирамиды к ее вершине, площадь попе­ речного сечения все время убывает, до тех пор, пока она не станет равной нулю (это произойдет, когда плоскость сечения пройдет через вершину пирамиды). В следующей теореме мы

558