Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6254 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

Путем простых измерений нетрудно убедиться, что я немного больше, чем 3. Но очень хорошее приближение можно получить только с помощью достаточно глубоких методов математики.

Задачи к § 3

1. В окружность радиуса 1 вписан правильный многоугольник. Затем в эту же окружность вписан другой правильный многоугольник, имеющий на од

ну	сторону больше, чем первый, и т. д. Этот процесс продолжается			беско
нечно, причем каждый новый многоугольник имеет на одну сторону				боль
ше, чем предыдущий.
a)	Какой	предел	имеет апофема многоугольника?
B )	Какой	предел	имеет длина стороны?

c)Какой предел имеет мера угла многоугольника?

d)Какой предел имеет периметр многоугольника?

2.Диаметр велосипедного колеса равен 70 см. На сколько продвигается вело сипед с каждым оборотом колеса? (Какое приближенное значение числа я приводит к самым простым вычислениям?)

3. Какое из чисел 3,14 или 3 у

лучше прибли

жает число л?

4.Длина окружности бревна равна 157 см. Какую длину имеет сторона поперечного сечения наи большей квадратной балки, которую можно вытесать из этого бревна? (Считайте, что л равно 3,14.)

5.Какой радиус имеет окружность с длиной л?

6.Круглый плавательный бассейн диаметра 10,5 м обнесен оградой в форме квадрата. Общая длина ограды вдвое больше длины окружности бассейна. Какую длину имеет одна сторона этой квадратной ограды?

7.Сторона квадрата имеет длину 8 см. Найдите длину вписанной в него окруж ности; окружности, описанной около него.

8.Длина стороны равностороннего треугольника равна 12. Чему равна длина вписанной в него окружности? окружности, описанной около него?

9.Земля находится приблизительно в 150 млн. км от Солнца. Путь ее вокруг Солнца является почти круговым. Подсчитайте теперь, какой путь вокруг

Солнца делаем	мы ежегодно	«по орбите». Приближенно оцените скорость
(в километрах	в час) нашего	движения по этой орбите.

10. Радиус Земли приблизительно равен 6 400 км. Когда Земля вращается вокруг своей оси, объекты, находящиеся на ее поверхности, дви жутся с различной скоростью по отношению к земной оси, причем их скорость зависит от широты каждого объекта. Какую приблизи тельно скорость в километрах в час имеет объект, находящийся на экваторе? С какой скоростью движется объект на 45° северной широты?

11.Сторона правильного шестиугольника равна 6. Чему равна длина вписанной в него окружно сти? окружности, описанной около него?

12.Радиусы трех окружностей равны 1 м , 10 ж и 10 000 м. Радиус каждой

окружности		увеличен на 1 м , так	что	новые радиусы соответственно равны
2 м, 11	ж и	10 001 ж. Определите,	на	сколько при этом увеличилась длина
каждой	окружности.

539


13*. Дан рисунок, где				□	А BCD — квадрат,		А
описанный около окружности, □						W X Y Z —
квадрат,		вписанный		в	эту окружность,
		< >■	<■■>	содержат диагонали
и прямые АС и BD
обоих	квадратов. Вершинами					квадрата
□ PQ R S		служат		середины		отрезков
М Г,	В Х ,	C Y	и DZ. Определите, будет
ли периметр PQ R S				меньше,		чем длина
данной окружности, равен ей или больше
ее. Оправдайте			свой	ответ вычислением,
приняв радиус			этой	окружности за 1.

§ 4. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Определение

К р у г о м

называется объединение

окружности и ее внутренности.

В этом параграфе мы получим

Рз

формулу

для

вычисления

площади

круга.

окружность

радиуса

г.

Дана

Впишем Br нее правильный га-уголь-

ник.

Как

обычно,

площадь

этого

п-угольника будем обозначать сим

волом

Sn,

периметр — буквой

апофему —буквой а. В § 2 (стр. 535)

мы нашли,

что

ар.

Sn =

Сложившаяся

ситуация

характеризуется

тремя

величинами,

а именно р,

и S„, к а ж д а я

из которых

зависит

от-га. Чтобы

получить искомую

формулу,

нам нужно выяснить,

к каким они

стремятся пределам, когда га неограниченно возрастает.

а) Что происходит с S„? Площадь Sn всегда немножко меньше

площади

круга, потому что всегда имеются какие-то

точки,

лежащие внутри окружности, но вне правильного

га-угольника.

Однако когда га очень велико, разность между

Sn и S

очень

мала,

потому

что

при большом

га многоугольная

область

почти

заполняет круг. Таким образом,

можно ожидать, что

( 1)

Однако

д о к а з а т ь

это

невозможно, так

как

мы пока не дали

определения площади круга. (См. обсуждение,

относящееся к вы

числению длины окружности.) И здесь, как и раньше, выход совсем прост.

540

Определение
П л о щ а д ь ю		к р у г а ,		ограниченного		окружностью С, назы
вается предел площадей вписанных в С правильных многоуголь
ников.
Таким	образом, по о п р е д е л е н и ю					S n-+S.
b) Что происходит с а? Апофема а всегда немножко меньше,
чем г, поскольку катет прямоугольного треугольника меньше
гипотенузы. Но когда п очень велико,						разность между а и г
очень мала. Итак,
с)	Что происходит с р? По определению длины окружности С,
имеем						(3 )
				Р - + С .		(3 )
Объединяя (2) и (3),			получаем
				1	1 п
				~2 аР ~*~2 г С -
Поэтому	ввиду	того	что	Sn= j	ар, имеем

Sn^ ~ r C .

Но из (1) мы знаем, что Sn -+S. Следовательно,

S - і л С .

Так как С = 2яг, то

А — ~ г - 2пг = лг2.

Таким образом, эту, конечно известную вам, формулу можно, на конец, считать доказанной.

Теорема 16.2

Плоищдь круга радиуса г равна яг2.

Задачи к § 4

1.	Найдите длину окружности и площадь круга	радиуса 3;	5; ]С 2; я ._
2.	Найдите площадь круга и длину окружности	диаметра 6; 9; 2; я V 12.
3.	Чему равен радиус круга, площадь которого	равна 49л? 20л? 25? 16? 18л3?
4.	Чему равна площадь круга, если длина	окружности	равна 6л? 16л?
	12? 2л?

541

5.Вычислите площадь металлической шайбы (мы ее считаем плоской), если дано, что диаметр шайбы равен 3 см , а диаметр отверстия равен 1 см.

^Считайте,	что п равно 3 j .j
6. Докажите	следующую	теорему:
О т нош ение площ адей		двух кругов равно
квадрат у от нош ения		их радиусов.

7.Д ва круга имеют соответственно радиусы 3 и 12. Чему равно отношение их площадей?

8.Д ве окружности имеют длину 7 и 4л. Чему равно отношение площадей соответствующих кругов?

9.И длина окружности и периметр квадрата равны 20 см. Какая площадь

больше — круга или квадрата? На сколько больше?

10. Дан квадрат		с длиной	стороны	10. Найдите площадь области, заключен
ной между вписанной в него и описанной около						него окружностями.
11. Диаметр каждой из маленьких				полуокружностей равен			радиусу	большой.
Чему	равна	площадь	заштрихованной		на нашем	рисунке	области,	если ра-
'диус	большой полуокружности			равен	2?

рон	A D и ВС . D Y и B Y — дуги окружностей с центрами				соответственно X
и Z. Определите площадь заштрихованной области.
13. Шар	радиуса	10	см пересечен	плоскостями, находящимися на расстоянии
4 см	и 5 см от его		центра. Какое сечение имеет большую		площадь? Вычис
лите	отношение	площадей этих		двух сечений.

14. К ольцом называется область, ограниченная двумя концентрическими окруж ностями. Найдите площадь кольца ограниченного окружностью, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 6, и окружностью, описанной около этого треугольника.

15. Даны две концентрические окружности и хорда большей окружности, касательная к меньшей. Докажите, что площадь кольца, образованного данными окружностями, равна площади кр у га, диаметром которого служит эта хорда.

16*. Полуокружности, изображенные на этом рисунке, имеют своими диаметрами стороны


прямоугольного			А А В С .	Буквы	х,	у, г,
т	и п — это	площади указанных			на рисун
ке	областей.	Докажите,		что x-\~y — z		(тео
рема о «луночках			Гиппократа»).

542

17*. Все стороны изображенного здесь двенадцати угольника, восемь вершин которого лежат на окружности, конгруэнтны, а все его углы — пря мые. Найдите площадь той части круга, кото рая лежит вне многоугольника, если дано, что длина каждой стороны многоугольника равна 4.

18+. Окружность длины 4л вписана в ромб с пери метром 20. Вычислите общую площадь всех областей, ограниченных окружностью и ромбом.

19+. Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями 2 а и 6 см. Опреде лите площадь той части трапециональной обла сти, которая лежит вне окружности.

2 0 *+. Мишень, при стрельбе по которой любитель имеет равные шансы попасть как в яблочко, так и в любое из колец, можно построить следующим образом. Пусть расстояние между

двумя параллельными лучами Р М и A N есть Р А = г — радиус яблочка. Окружность с цен

тром Р и радиусом г пересекает луч РМ

в точке Q. Пусть перпендикуляр к Р М в точ

ке Q пересекает луч Ä N в точке В . Тогда проведем окружность радиуса P B = r L с цен тром Р . Затем повторим этот процесс, проводя

перпендикуляры к лучу	Р М в точках R		и	S
и концентрические окружности радиусов Р С =				г 2
и P D = r s. Разумеется,	можно	построить	и еще
несколько колец.
a) Выразите г и г 2 и г 3	через	г.
B ) Покажите, что площади яблочка и трех ко
лец (т. е. а, Ь, с и d )	равны.

§5. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА

При определении длины дуги окружно сти мы пользуемся той же схемой, что и при определении длины всей окружности. Сна

чала разобьем данную дугу А В на п кон						Совсем,
груэнтных дуг.			Затем проведем соответствующие хорды.
как	и раньше,		устанавливается, что все эти хорды		имеют одну
и ту	же длину		I, а	сумма их длин равна
				р — п і.
Длина дуги		ÄB	по	о п р е д е л е н и ю есть предел,	к	которому
стремится р,		когда п		становится все больше и больше.

В следующем обсуждении полную окружность удобно рассматри вать как дугу с мерой 360. Тогда длину окружности можно считать длиной дуги с мерой 360.

543

Теорема 16.3

Если две дуги имеют равные радиусы, то их длины пропорцио нальны их мерам.

Длина A B Длина А'В'

В простых случаях легко понять, почему это верно. Если вы удвоите меру дуги, то и длина ее удвоится; если вы разделите меру дуги на 7, то и длина ее разделится на 7 и т. д. Но полное доказательство этой теоремы слишком трудно для нашего курса. Поэтому мы будем ее рассматривать как новую аксиому.

На основании этой теоремы (или аксиомы) мы можем вычислять длины дуг.

Теорема 16.4
Если дуга окружности радиуса г имеет меру q,				то длина
дуги равна
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть С —длина окружности				радиуса г.
По теореме 16.3
к	-	с
q	~	360•
Но С = 2яг. Следовательно,
L	_	2пг
J	~	ш
и ,
L —JL			• яг.
		180

544

Определения

Пусть AB — дуга окружности с центром Q и радиусом г. Объединение всех отрезков QP. где Р — любая точка AB, назы

вается	с е к тором.	Дуга AB		называется д у г о й этого сектора,
а г — его р а д и у с о м .
Мы	определяем площадь		сектора по той же схеме, которой
мы пользовались при определении площади круга.					С помощью
такого	же рода доказательства			получаем следующую теорему:
Теорема	16.5
Площадь сектора		равна	половине произведения		его радиуса
на длину его дуги.

Коротко:

S - I r i .

Существует простой способ, позволяющий запомнить эту фор мулу. Площадь сектора круга фиксированного радиуса г должна быть пропорциональна длине его дуги. (И это действительно верно.) Когда данная дуга есть полная окружность, то площадь равна

ш-2 = у О , где С = 2пг.		Следовательно,		для сектора с дугой
длины L и с площадью S мы должны иметь
	L c r
S	2	с	1	Т
L		с , т. е . S	2	rL.

Пользуясь формулой для длины дуги L (см. теорему 16.4), получаем:

Теорема			16.6
		Если сектор имеет радиус г, а дуга его имеет меру q, то пло
щадь сектора равна
		Заметим,			что	при q = 360	из	теоремы следует,		что 5 = лг2,
как		и должно быть.
Задачи к § 5										0
1.		Радиус окружности равен 18.					Какую		длину
	имеет		дуга	в	60°? 90°? 120°? 150°? 180°?				270°?
2.	Чему		равен		радиус окружности,		если	ее	дуга
	в 45° имеет длину Зл?
3.	Чему		равен		радиус окружности,		если	ее	дуга
	в 72° имеет длину 4я?
4.	AB и		CD — дуги			в 60°, но длины	их не равны.
	Р — центр			обеих		дуг. Какую длину имеют дуги
	A ß и CD,			если Р А = 6 и ЛС = 3?
		18	Геометрия							545

5.Длина дуги в 60° равна 1 см. Найдите радиус дуги и длину хорды, соеди няющей ее концы.


6.	Объясните			различие ■ между мерой			дуги и длиной дуги.
7.	Радиус		круга		равен 10.	Какую	площадь	имеет сектор с	дугой в 90°?	72°?
	180е?	216°?		324°?
8. Сектор			круга		радиуса 2	имеет	площадь	л. Какую меру	имеет дуга	этого
	сектора?

9.Сектор круга радиуса 6 имеет площадь 15л. Какую длину имеет дуга этого сектора?

10. Минутная стрелка больших часов на башне общественного здания имеет длину 180 см. Какое расстояние проходит конец минутной стрелки за 5 ми нут? Какое расстояние проходит он за одну минуту?

11. При проектировании очень высоких зданий инженеры должны допускать

их колебательные	движения, типичные для небоскребов. Высота Импайр
Стейт Билдинг, имеющего		102 этажа,	составляет 380 м. Если здание	такой
высоты описывает	дугу в	Iе	какое расстояние перемещается	взад и
		, то на

вперед его верхний этаж?

12.Сегмент круга есть область, ограниченная дугой окружности и хордой этой дуги. Укажите метод вычисления площади сегмента круга.

13.Найдите площадь сегмента круга, если дано, что

радиус круга г и мера т A B дуги равны:

а) г = 12;

т A B =

60;

Ь )г =

m A ß = 1 2 0 .

14*. Найдите

площадь

сегмента

круга,

если дано,

что радиус

круга

и мера т A B

дуги

равны:

а) г = 8;

т А В =

45;

Ь)

л = 1 0 ;

т /15 =

30.

15*. В окружность радиуса

вписан

правильный

восьмиугольник. Найдите площадь той части круга,

которая

лежит

вне

восьмиугольника.

16*. Радиус

каждой

из дуг

окружностей,

образую

щих шестилепестковый цветок, равен

радиусу

окружности, содержащей внешние концы всех ле

пестков.

Чему

равна

площадь фигуры,

если

этот

радиус равен 1?

17. Приводной

ремень

обегает два

шкива,

как

пока

зано. Шкивы имеют радиусы 6 см и 30 см, а рас

стояние

между

их^ центрами равно

48 см.

Найдите

длину ремня.

18*. Приводной ремень обегает два шкива

так,

что

они вращаются в противоположных направлениях.

Шкивы

имеют радиусы

см

и 18 см,

расстоя

ние между их центрами равно 48 см.

Найдите

длину ремня.

546

Конкурсная задана

Выведите формулу для площади овала. Овал мы


строим следующим образом.			Пусть	A B и CD — перпен
дикулярные	диаметры	окружности		радиуса г. Проведем
полуокружность A D B . Затем			из точки		А как	из центра
опишем дугу	радиуса	A B , ведущую		от	точки	В до точки

G пересечения с прямой АС. Точно так же из В как из центра опишем дугу радиуса A B , ведущую от точки А

до точки Н пересечения с прямой ВС . Наконец, прове дем дугу GH радиуса CG с центром С. Найдите площадь овала A D BG H .

Вопросы и задачи для повторения

1.Является ли выпуклый многоугольник выпуклым множеством?

2.Определите правильный многоугольник.

3.Около окружности диаметра 10 описан шестиугольник. Чему равна площадь шестиугольника, если его периметр равен 28?

4.Сравните апофему правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности.

5.Сравните апофему правильного многоугольника и радиус описанной около него окружности. (При ваших вычислениях вы можете считать, что сторона многоугольника имеет данную длину I.)

6.Выпуклый многоугольник имеет 13 сторон. Чему равна сумма мер его 13 внешних углов?

7. Сколько^сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма мер углов которого

8.Какую меру имеет каждый угол правильного пятиугольника? шестиуголь ника? восьмиугольника? десятиугольника?

9.Чему равна апофема правильного многоугольника с площадью 225 и пери метром 60?

10.Длина окружности равна С, а радиус г. Чему равно отношение С/г?

11.Какой радиус имеет окружность, если ее длина равна площади ограничен ного ею круга?

12.Площадь круга в 6 раз больше длины ограничивающей его окружности. Чему равен радиус круга?

13. Д ве концентрические окружности имеют радиусы 5 и 13. Найдите радиус круга, площадь которого равна площади кольца, ограниченного двумя дан ными окружностями.

14. Радиус одной окружности в 4 раза больше радиуса другой. Чему равно отношение их диаметров? их длин? площадей ограниченных ими кругов?

15.Длины двух окружностей равны 6 я и Юл. Чему равно отношение площа дей ограниченных ими кругов?

16.Сравните площади равностороннего треугольника, описанного около окруж ности, и равностороннего треугольника, в нее вписанного.

17. Покажите,		что площадь	круга	диаметра d	равна	i n d1.
18. Что	может	пропустить	больше воды: три односантиметровые трубы или
одна	трехсантиметровая?		(Труба	измеряется	своим	внутренним диаметром.)

18*	547

19.

Дано,

что

длина

стороны

равностороннего Д

А В С

равна

и что

Р ,

Q и R — середины его

сторон.

Д уги

PQ,

P R и QR

имеют

своими

центрами

вер

шины треугольника. Найдите площадь и длину

границы

области

PQR.

20.

Площадь

квадрата

равна

площади

Круга

диамет

ра 2. Какую длину имеет сторона квадрата?

2 1 *. Периметр

квадрата равен длине некоторой ок

ружности.

Какая

площадь

больше: квадрата

или

круга? Найдите отношение площади квадрата к

площади

круга.

2 2 *. Квадрат

вписан

девяностоградусный

сектор

радиуса

г.

Выведите формулу

для

площади

за

штрихованной области.

2 3 *. Каждая вершина фигуры

А ВС является

центром

противоположной дуги. Эта фигура

обладает тем

интересным свойством, что если вращать ее между

двумя параллельными прямыми, которые в какой-то

момент

ней

соприкасаются,

то,

совсем

как

окружность, она

будет

в с е в р е м я

соприкасать

ся с этими двумя прямыми. Пусть радиус каждой

дуги равен

г. Выведите формулу для

площади фи

гуры

А В С

и формулу для ее периметра.

Конкурсная задача

Видели ли вы когда-нибудь сверло для высверли


вания	квадратных		отверстий?	Такое	сверло		было
изобретено в		1914	г. Д ля того чтобы		его	сделать,
нужно	просто	воспользоваться		треугольной		фигурой,
о которой говорилось выше в				задаче 23. Эту фигуру
называют т реугольником Р ело,				по имени Франца			Рело

(1829 — 1905), впервые установившего ее свойство как кривой постоянной ширины.

Вы можете совсем легко сконструировать сверло для высверливания квадратных отверстий. Приступите к этому так. Из куска толстого картона вырежьте квадрат со стороной 10 см. Получившееся отверстие понадобится вам для проверки. Затем на отдельном куске картона постройте равносторонний треуголь

548

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6254 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ