книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 1. МНОГОУГОЛЬНИКИ

Многоугольник —это фигура, получающаяся, когда мы последо­ вательно соединяем несколько точек (последнюю точку мы соеди­ няем с первой!), например, такая:

Понятие, идею которого иллюстрируют эти рисунки, фор­ мально вводится следующим образом:

Определения

Пусть Ръ Рг, ..., Рп— последовательность п различных точек на плоскости, где п ^ З . Предположим, что п отрезков РгРг, Р2Ра>• • •, Рп-лРп, РпР\ обладают следующими свойствами:

1°. Никакие два из этих отрезков не имеют общих то­ чек, отличных от этих общих концов. (Рх для отрезков РіР2 и РпРъ Р2 для отрезков / \ P 2 и Р 3Р3 и т. д.)

2°. Никакие два отрезка, имеющие общий конец, не коллинеарны.

529

Тогда объединение этих п отрезков называется м н о г о у г о л ь ­

многоугольника. (Для краткости мы их часто будем обозначать

так же можно определить пятиугольники, шестиугольники и т. д. Каждая сторона многоугольника принадлежит некоторой пря­ мой, и всякая такая прямая, конечно, разбивает плоскость на

две полуплоскости. Легко может случиться, что (как на левом рисунке) каждая из этих двух полуплоскостей содержит точки многоугольника. Если же для л ю б о й стороны многоугольника этого не происходит (как на правом рисунке), то многоугольник называется выпуклым. Повторим это кратко в виде определения.

Определение

Многоугольник называется в ы п у к л ы м , если никакие его две точки не лежат по разные стороны от прямой, содержащей какую-либо его сторону.

Такое употребление слова «выпуклый» вполне естественно: если многоугольник является выпуклым, то вместе со своей внут­ ренностью он образует выпуклое множество в смысле гл. 3. Когда мы говорим о площади выпуклого многоугольника, мы имеем в виду площадь соответствующей выпуклой многоугольной области.

530

531

5.Каждый ли многоугольник, все стороны которого конгруэнтны и все углы которого прямые, является квадратом?

6.Отрезок, концами которого служат две несмежные вершины многоуголь­ ника, называется ди агон а л ью этого многоугольника.

c)Сколько диагоналей имеет многоугольник с 103 сторонами? с п сторонами?

7.Вычислите сумму мер всех углов выпуклого пятиугольника; выпуклого

шестиугольника. ( У к а з а н и е . Проведите все диагонали из одной вершины.)

8. В выпуклом многоугольнике проведены все диагонали, соединяющие одну (фиксированную) его вершину со всеми остальными вершинами. Сколько полу­ чилось треугольников, если многоугольник имеет 4 стороны? 5 сторон? 6 сторон? 11 сторон? 35 сторон? п сторон?

9. Проверьте следующее обобщение:

Сумма мер всех углов выпуклого п-уголь- ника равна (п — 2)-180 .

10.Найдите сумму мер всех углов выпуклого восьмиугольника; десятиугольника; двенад­ цатиугольника; пятнадцатиугольника; двад­ цатиугольника.1

11.Сколько сторон имеет выпуклый много­ угольник, если сумма мер всех его углов

равна 900? 1260? 1980? 2700? 4140?

12+. Проверьте утверждение задачи 9, поль­ зуясь рисунком.

532

13. Определите сумму мер внешних углов выпуклого пятиугольника; выпук­ лого шестиугольника.

14. Проверьте следующее обобщение:

Сумма мер внешних углов выпуклого п-угольника равна 360.

16+. Обсудите, верны или нет следующие утверждения:

a)Объединение выпуклого многоугольника и его внутренности есть много­ угольная область.

B ) Граница каждой многоугольной области есть многоугольник.

17*+. Дано соответствие Р / Л ... Р п -*• Q1Q2Q3 ••• Qh между двумя много­ угольниками. Если соответствующие стороны и соответствующие углы кон­ груэнтны, то должны ли эти два многоугольника быть подобными? Должны ли быть равны их периметры? Должны ли они ограничивать области, имею­ щие равные площади?

Подкрепите свой ответ логическим рассуждением и примерами.

Конкурсная задача

То, что многоугольник разбивает точки плоскости на два множества, на­ зываемые внут ренност ью и внешностью многоугольника, кажется довольно оче­ видным фактом. Однако, хотя этот факт и можно доказать на основании наших аксиом, доказательство его является весьма трудным1. Покажите, что эта тео­ рема играет существенную роль в решении следующей популярной головоломки. Каждый из трех домов А, В и С нужно соединить с магазинами G,

W и Е .

аW Е

Предлагается провести пути, ведущие из каждого дома к каждому магазину так, чтобы никакие два из этих путей не пересекались. (Разумеется, все пути должны лежать в одной плоскости.)

533

§ 2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

дуги проведем соответствующую ей хорду. Это даст нам много-

В силу ССС все эти треугольники конгруэнтны. Поэтому все углы нашего многоугольника также конгруэнтны. (Мера каждого из них равна удвоенной мере угла при основании каждого из наших равнобедренных треугольников.) Таким образом, наш много­ угольник является п р а в и л ь н ы м .

Фактически каждый правильный многоугольник можно по­ строить таким методом. Иными словами, каждый правильный многоугольник вписан в некоторую окружность. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого утверждения, потому что оно нам не понадобится. Мы будем пользоваться правильными многоугольниками только при изучении свойств окружности, и все правильные многоугольники, о которых ниже будет идти речь, будут построены только что описанным способом.

Центр Q окружности, в которую вписан многоугольник, назы­ вается центром правильного многоугольника. Так как все ма­ ленькие равнобедренные треугольники на нашем рисунке конгру­ энтны, то они имеют одно и то же основание е и одну и ту же высоту а. Число а есть расстояние от центра многоугольника до каждой его стороны.

1 Можно доказать, что условие 1° в ы т е к а е т из условии 3°.

534

Определение

Расстояние а от центра правильного многоугольника до каждой его стороны называется а п о ф е м о й многоугольника.

Периметр многоугольника мы будем обозна­ чать буквой р. Очевидно,

р = пе.

Легко вычислить п л о щ а д ь области, состоящей из правильного многоугольника и его внутренности. Каждый из равнобед­

ренных треугольников имеет площадь ~ ае. Всего имеется п та­

1. Какой четырехугольник (если такие существуют) является равносторонним но не правильным? равноугольным, но не правильным?

2.Нарисуйте многоугольник, все стороны которого конгруэнтны, а все углы прямые, но который не является правильным.

3.На рисунке изображена часть правильного я-угольника, вписанного в окружность с цен­ тром Q.

4.Определите меру каждого угла правильного многоугольника с пятью сторона­ ми; с девятью сторонами; с двенадцатью сторонами; с пятнадцатью сторо­

нами; с семнадцатью сторонами; с двадцатью четырьмя сторонами. (См. зада­ чу 3.)

5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если мера его внешнего

угла равна 72? 45? 36? 24? 17у?

6.Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если мера одного из его углов равна 128 -|-? 140? 144? 160?

7. Как построить правильный восьмиугольник с помощью только циркуля

и линейки (без делений)?

8.Как построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки?

9.Периметр правильного многоугольника равен 48, а апофема равна 6. Чему равна площадь многоугольника?

10. Найдите площадь правильного шестиугольника, сторона которого имеет

. длину 10 см.

535

□ ABCD равен 56?

14+. Определить площадь правильного девятиуголь­ ника, если дано, что его сторона имеет длину 8. (Вспомните тригонометрические отношения!)

15+. Определите площадь правильного пятнадцати­ угольника, если известно, что его сторона имеет длину 8.

16*. Докажите, что каждая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность ра­

диуса 1, имеет длину V 2 - V 2 .

В архитектурных проектах обычно встречается задача покрытия некоторой поверхности правильными многоугольными областями. Например (это показано на нашем рисунке), плоскость можно покрыть кон­ груэнтными квадратными областями, сходящими по четыре в каждой вершине.

a) Сколько равносторонних треугольных обла­ стей должно примыкать к каждой вершине, чтобы все они покрывали плоскость?

B) Правильными многоугольными областями еще какого типа можно покрыть плоскость? Сколько их должно примыкать к каждой вершине?

c)Два правильных многоугольника и один квадрат, если их расположить, как показано на рисунке, полностью покрывают часть плоскости вблизи дан­ ной точки. Какие еще комбинации трех правильных многоугольных областей (две из которых одинаковы) обладают тем же свойством? (Нужно найти еще две комбинации.)

d)Исследуйте, существуют ли другие возможности покрытия плоскости правильными многоугольными областями. При отыскании удачных комбинаций вам была бы полезна таблица мер углов правильных многоугольников.

§3. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ЧИСЛО я

Вэтом и следующем параграфах мы будем рассматривать пра­

вильные п-угольники при различных значениях п. Как обычно, сторону, апофему и периметр правильного п-угольника, вписан­ ного в окружность радиуса г, мы будем обозначать буквами е, а и р .

536

Пусть С —длина некоторой окружности. Кажется разумным допустить, что если мы захотим измерить длину С, то мы сможем это сделать, вписав в нашу окружность правильный многоуголь­ ник с большим числом сторон и затем измерив периметр этого многоугольника. Другими словами, мы предполагаем, что этот пе­ риметр р при большом п должен давать хорошее приближенное значение числа С. Если это так, то, решив насколько близким к С нам хотелось бы иметь число р, мы должны быть в состоянии получить такое р, взяв п достаточно большим. Символически мы выразим эту ситуацию с помощью записи

Р-+С

ибудем говорить, что р имеет своим пределом число С.

Однако доказать этого мы не можем; и причина, по которой мы не можем этого доказать, довольно неожиданна. Дело в том, что до сих пор у нас нет математического определения понятия длины окружности. (Мы не можем получить длину окружности пу­ тем сложения каких-либо отрезков — способ, которым мы находим

вильных многоугольников, вписанных в эту окружность.

Теперь мы хотим определить число я обычным образом, как отношение длины окружности к диаметру. Но чтобы иметь уве­ ренность, что это определение имеет смысл, сначала нужно знать, что отношение С/2г одинаково для всех окружностей, независимо от их размера. И в самом деле, это верно.

Теорема 16.1

Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех

в каждую из них по правильному п-угольнику.

537

Мы изображаем на рисунке только по одной стороне каждого из «-угольников вместе с соответствующим равнобедренным тре­ угольником. Как видно из пометок, два центральных угла кон­ груэнтны, потому что мера каждого из них равна 360/«. Кроме того, заключающие этот угол стороны пропорциональны: r'Ir = r'[r. По СУС-теореме подобия

ABQA~AB'Q'A'.

Следовательно,

где р и р' — периметры наших двух «-угольников. Теперь

р -+ С и p' -V С'

по определению длины окружности. Поэтому

Так как отношения у и ~ равны, то равны и их пределы:

что и требовалось доказать.

Отношение СІ2г обозначается буквой л. Так как оно для всех окружностей одинаково, то для всех окружностей справедлива формула

С = 2пг.

Число л не рационально. Фактически его нельзя точно вы­ числить никакими обычными методами алгебры. С другой сторо­ ны, его можно с л юб о й с т е п е н ь ю т о ч н о с т и приблизить рациональными числами. Вот некоторые из хороших приближен­ ных значений этого числа:

538