книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

TU а г 2. Проводим окружность с центром Р и радиусом г — РА. Так как PB = PC = РА = г, то эта окружность будет содержать не только точку А, но и вершины В и С треугольника.

Определение

Точка конкуррентности медиатрис сторон треугольника назы­ вается ц е н т р о м о п и с а н н о й о к р у ж н о с т и этого тре­ угольника.

Построение 10. Вписать окружность в данный треугольник.

Дан ДЛВС .

Ш аг 1. Проводим биссектрису /_ А.

Ш аг 2. Проводим биссектрису /_В.

По теореме 15,4 эти биссектрисы пересекаются в точке, равно­ удаленной от всех трех сторон треугольника.

Эта окружность касается стороны АС в точке D, потому что

прямая АС перпендикулярна радиусу PD. По той же причине эта окружность касается и двух других сторон. Таким образом, мы построили требуемую окружность.

Определение

Точка конкуррентности биссектрис углов треугольника назы­ вается ц е н т р о м в п и с а н н о й о к р у ж н о с т и этого тре­ угольника.

Задачи к § 9

З а м е ч а н и е . И здесь все построения нужно выполнять с помощью циркуля

илинейки.)

1.Постройте равносторонний треугольник. .Затем постройте описанную около него и вписанную в него окружности.

619

2.Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник. Затем постройте вписанную в него окружность.

3.Дан произвольный разносторонний треугольник. Постройте описанную около

него окружность.

I. Дан произвольный разносторонний треугольник. Постройте вписанную

в него окружность.

5.Опишите окружность около данного квадрата.

6.Дан ромб. Постройте вписанную в него окружность.

7.Ответьте на следующий вопрос, сделав соответствующее построение; затем докажите, что ваш ответ правилен.

12*. Постройте прямоугольный треугольник, если даны его катет и радиус

§10. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ1

Древние греки придумали все те построения, которые вы до сих пор изучили, вместе со многими другими, более трудными. Было, однако, несколько задач, над решением которых безус­

520

оставалась нерешенной в течение более двух тысяч лет. Наконец, требуемое построение было придумано в прошлом веке К. Ф. Гауссом.

Но некоторые из придуманных древ­ негреческими математиками задач ока­ зались не просто сверхтрудными: они д были вообще неразрешимы.

1°. Трисекция угла. Дан произволь­ ный /_ ВАС. Мы хотим построить

такие лучи AD и АЕ (где точки D и Е лежат внутри /_ ВАС), чтобы было

Z BAD g* L DAE ^ Z ЕАС.

При этом мы имеем право пользоваться в нашем построении лишь циркулем и линейкой.

Первое, что пытается делать почти а всякий,— это взять AB —АС, провести отрезок ВС и затем разделить отрезок ВС на три конгруэнтные части, как показано справа. Но все это бесполез­ но. Как можно показать, /_ BAD и Z ЕАС будут конгруэнтны, но ни один

имеет объем а3. Дан отрезок длины а. Мы хотим построить отрезок такой длины Ь, чтобы объем куба с ребром Ь

был вдвое больше объема куба с ребром а. Алгебраически это, конечно, означает, что

63 = 2а3, или Ь = а уг2.

Никому не удалось решить и эту задачу. Есть любопытный миф, связанный с нею. Рассказывают, что в одном греческом го­ роде началась эпидемия чумы, от которой умирало много людей. Жители этого города отправились к оракулу в Дельфы, чтобы выяснить, какой бог наслал на них это бедствие и за что. Ора­ кул сказал им, что на них разгневался Аполлон. Алтарь Апол­ лону в этом городе представлял собой куб из чистого золота, и Аполлон хотел, чтобы этот алтарь стал вдвое больше.

Когда посланцы вернулись из Дельф, они построили новый алтарь, ребра которого были вдвое больше ребер старого. Но

521

эпидемия не утихала, а стала свирепствовать еще больше, и жи­ тели города поняли, что Аполлон имел в виду объем своего ал­ таря. (Конечно, когда ребро куба было удвоено, объем его уве­ личился не в два раза, а в восемь раз.) Так возникла задача об удвоении куба, но местные математики были не в состоянии ее решить1. Таким образом, первая попытка применения математики к задачам здравоохранения потерпела полную неудачу.

3°. Квадратура круга. Дан круг. Мы хотим построить квад­ рат, имеющий ту же площадь.

Алгебраически это означает, что b = a]/7c.

Более двух тысяч лет лучшие математики пытались найти способы, позволяющие осуществить эти построения с помощью циркуля и линейки. Наконец, уже в XIX в. было установлено, что все эти три задачи неразрешимы, т. е. что решить их невоз­ можно.

Невозможность в математике означает не совсем то же самое, что и в повседневной жизни; поэтому наше утверждение нуждается

тать по воздуху невозможно, и, утверждая это, они были правы, пока не был построен первый аэроплан и он не поднялся в воз­ дух. Математическая невозможность —это нечто иное. В математике есть вещи, которые действительно невозможно сделать, и можно доказать, что сделать их нельзя.

1°. Как бы вы ни были умны, вы не сумеете найти целого числа, заключенного между числами 2 и 3, потому что такого числа нет.

2°. Если этот пример показался вам слишком плоским, чтобы отнестись к нему серьезно, то рассмотрим следующую ситуацию. Мы исходим из целых чисел: положительных, отрицательных и нуля. Мы позволяем их складывать, вычитать, умножать и де­ лить. Назовем число «допускающим построение», если мы можем получить его, отправляясь от целых чисел, за конечное число таких действий. Например, следующее число «допускает построе­ ние»:

5 2 2

Предположим теперь, что перед нами стоит задача «постро­

ить» число У 2 с помощью такого рода операций. Решить эту задачу н е в о з м о ж н о , т. е. она неразрешима. Дело в том, что числа, «допускающие построение» по этим правилам, рациональны,

а ]А2 к этой категории чисел не принадлежит. Бесполезно оты­ скивать его среди чисел, «допускающих построение», потому что искать его нужно не там.

b

J L

b

S = b 2

Задачи построения с помощью циркуля и линейки очень близки к этому второму примеру. Мы находим, что существуют такие отрезки, которые можно построить с помощью циркуля и

линейки исходя из данного отрезка AB. Например, существуют

допускающие построение отрезка длины 2AB, ^ A B , ]/2 AB и

YQAB. Но не существует допускающего построение отрезка CD,

такого, что

CD3 —2АВ3.

Именно это мы и имеем в виду, когда говорим, что удвоение куба с помощью циркуля и линейки невозможно.

Задача о трисекции угла заслуживает дополнительного об­ суждения.

a) Н е к о т о р ы е углы можно легко разделить на три конг­

других. Когда мы говорим, что задача о трисекции угла нераз­

решима, мы подразумеваем, что существуют и такие углы (хоть один такой угол!), для которых лучи, делящие угол на три кон­ груэнтные части, построить нельзя.

B) Задача о трисекции угла становится разрешимой, если мы ослабим правила построений, разрешив сделать хотя бы две по­ метки на линейке, которой мы пользуемся.

523

Дан А. В. Пусть r — расстояние между пометками на нашей линейке. Сначала проведем окружность с центром В и радиу­ сом г. Она пересечет стороны угла в точках А и С.

Наложим теперь линейку так, чтобы

1°. она проходила через точку С. Затем будем ее передвигать и поворачивать до тех пор, пока

2°. одна из пометок окажется в некоторой точке О окруж­ ности,

3°. другая пометка совместится с некоторой точкой Р луча, противоположного лучу ВА-

Тогда мы получим ситуацию, изображенную на нашем ри­ сунке. Так как /\ Q B P - равнобедренный треугольник и QB=QP=r, то углы при основании треугольника имеют одну и ту же меру а, как это указано на нашем рисунке, и по той же причине углы при основании £\BCQ имеют одну и туже меру Ь.

Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер внутрен­ них углов, с ним не смежных. Применяя эту теорему к /\Q B P , получаем, что Ь = а + а = 2а.

Применяя ту же теорему к Д В С Р, находим, что с = Ь-\~а и,

следовательно, с = 3а. Таким образом, т /. Р = ~ т А В С .

Теперь внутри /_ АВС мы дважды построим угол, конгруэнт­ ный /. Р.

Мы разделили АВС на три конгруэнтные части!

Конечно, эта процедура не разрешалась идущими от Евклида правилами построения циркулем и линейкой.

524

Q

525

Вопросы и задачи для повторения

1.Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

2. Охарактеризуйте множества всех центров окружностей, лежащих в данной плоскости и касающихся данной окружности в данной ее точке.

3. Охарактеризуйте множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки.

4 . В плоскости Е даны прямая и не принадлежащая ей точка. Охарактеризуйте множество всех точек плоскости Е , удаленных на расстояние d от данной прямой и на расстояние г от данной точки.

7. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, равноудаленных от точек Л( — 5, 0) и ß (3, 0).

8. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, находящихся на расстоянии 3 от графика уравнения _у = 0. (Пользоваться знаком ± не разре­ шается.)

9. Нарисуйте довольно большой разносторонний треугольник.

Затем с помощью циркуля и линейки найдите его ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и центр описанной окружностей.

10. Постройте ромб, если даны один его угол и отрезок, длина которого равна периметру ромба.

a)Докажите, что Д ЛВС — равнобедренный треугольник.

B ) Определите координаты его центра тя­ жести.

526

15. Пусть Л — центр окружности радиуса а и В — центр окружности радиуса Ь, причем обе окружности лежат в одной плоскости. Должны ли эти окруж ­ ности пересекаться, если а + 6 > AB? Почему?

и радиус вписанной окружности.

20*. Дан отрезок, длина которого равна сумме длин диагонали и стороны квадрата. Постройте квадрат.

21*. Дан отрезок, длина которого равна разности длин диагонали и стороны квадрата. Постройте квадрат.