книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Если окружности пересекаются в двух точках, как на верхнем левом рисунке, то каждое из чисел а, Ь и с должно быть меньше, чем сумма двух других. Мы получаем эти три неравенства, трижды применяя к Д PQR неравенство треугольника (теорема 7.8).

С другой стороны, если любое из этих трех неравенств заме­ нить противоположным, то, как показано на остальных трех ри­ сунках, окружности вообще не будут пересекаться. А если сумма каких-нибудь двух из наших чисел р а в н а третьему, то окруж­ ности касаются.

Эту ситуацию описывает следующая

Теорема 15.6 (теорема о двух окружностях)

Пусть даны две окружности радиусов а и Ь, расстояние между центрами которых равно с. Если каждое из чисел а, b и с меньше суммы двух других, то эти окружности пересекаются в двух точках, лежащих по раз­ ные стороны от прямой, про­ ходящей через их центры.

509

Это —теорема, потому что ее можно доказать, если только достаточно потрудиться. Но мы опустим доказательство и будем здесь рассматривать это утверждение как аксиому.

§7. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Вэтом и следующем параграфах мы расскажем о простейших построениях. Все они, конечно, производятся в данной плоскости. Позднее эти построения будут играть роль отдельных шагов в более сложных построениях.

Построение 1. Разделить данный угол пополам. Дан /_ А.

г — ВС.

По теореме о двух окружностях эти окружности пересекаются в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой ВС. (Усло­

та из точек пересечения, которая лежит по другую сторону от ВС, чем точка А.

Z.Д Л В = Z. РАС и луч АР является биссектрисой Д А. (Окружности в шагах 2 и 3 можно провести л юб ым радиусом,

большим, чем уД С . Мы не встретим никаких неприятностей,

если только не возьмем радиус столь малым, что окружности вообще не пересекутся.)

Построение 2. По данную сторону от данного луча1 отложить угол, конгруэнтный данному углу.

1 То есть по данную сторону от содержащей наш луч прямой.

510

рой принадлежит данный луч. Мы хотим построить луч DF, где F принадлежит полуплоскости Н, причем так,«чтобы получился угол,

'М

(з)

н

А

вы знаете, что каждое из чисел г, s и г меньше суммы двух дру­ гих? Это условие необходимо для того, чтобы можно было приме­ нить теорему о двух окружностях.) Пусть F — точка пересечения, лежащая, как на нашем рисунке, в полуплоскости Н.

511

Дан Д АВС. Кроме того, даны луч с началом D и полупло­ скость Я, ребру которой принадлежит этот луч. Мы хотим по­

Ш аг 3. Проводим окружность с центром F и радиусом а. Послед­

ние две окружности, как это и изображено на рисунке, д о л ж н ы < >

пересечься в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой DF. В самом деле, каждое из чисел а, b и с меньше суммы двух дру­ гих (почему?), и, таким образом, условия теоремы о двух окруж­ ностях выполняются. Пусть, как указано на рисунке, Е —та из точек пересечения этих окружностей, которая лежит в полуплоскости Я.

512

Если вы еще раз просмотрите § 7 гл. 6, то увидите, что при доказательстве ССС мы столкнулись, по существу, с той же задачей, что и в построении 3 —нам нужно было построить данный тре­ угольник по данную сторону от данного луча. Полезно сравнить два метода. (В § 7 гл. 6 мы пользовались масштабной линейкой и транспортиром, а не линейкой без делений и циркулем. И чтобы показать, что наше построение приводит к нужному результату, мы пользовались не ССС, а СУС.)

Задачи к § 7

( З а м е ч а н и е . Предлагаемые ниже построения нужно выполнять с помощью циркуля и линейки.)

1.Проведите вверху листа бумаги, на котором вы выполняете эту домашнюю работу, горизонтальную прямую. Взяв в качестве единицы масштаба длину

отрезка A B , изображенного ниже, нанесите (с помощью циркуля) на эту прямую шкалу, содержащую не менее 10 единиц. При решении следующих

2.Нарисуйте какой-нибудь тупоугольный треугольник и постройте биссектрисы каждого из его углов.

3.Нарисуйте какой-нибудь разносторонний Д А В С . Теперь по данную сторону данного луча постройте конгруэнтный ему треугольник, пользуясь методом, опирающимся на У С У -аксиому.

4.Постройте равносторонний треугольник со стороной длины 5.

5.Постройте равнобедренный треугольник с основанием длины 8 и с двумя конгруэнтными сторонами длины 5.

6.Докажите, что всегда можно построить равносторонний треугольник, имеющий данный отрезок одной из своих сторон1.

7.Даны два числа а и Ь, первое из которых должно быть длиной каждой из конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника, а второе — длиной его основания Какие условия нужно наложить на а и Ь, чтобы можно было построить такой равнобедренный треугольник?

8.Нарисуйте какой-нибудь выпуклый четырехугольник. По данную сторону данного луча постройте конгруэнтный ему четырехугольник.

§8. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Построение 4. Построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, не лежащую на этой прямой.

Даны прямая / и не принадлежащая ей точка Р. Пусть Q и R — две любые точки прямой /.

прямой PQ. Тогда /, QPS и /_ PQR будут внутренними накрест

лежащими углами. Поэтому PS\\QR, как нам и требовалось. Построение 5. Разделить отрезок на данное число конгруэнт­

ных отрезков.

Дан отрезок AB. Мы хотим разделить его на п конгруэнтных отрезков. (На рисунке изображен случай, когда п — 5.)

Ш аг 1. Проводим какой-нибудь луч с началом А, не имею­

щий с прямой AB отличных от А общих точек.

Ш а г 2. Последовательно откладываем на этом луче п конг­

руэнтных отрезков АРЪ Рі_Рг, ..., Рп-іРп так, как это изобра­ жено на рисунке. (Длина этих отрезков не имеет значения; нужно только, чтобы они были од но й длины. Таким образом, точку Рг мы можем выбрать на луче совершенно произвольно, а осталь­ ные отрезки отложить циркулем один за другим.)

Шаг 3. Проводим отрезок РпВ.

Шаг 4. Через остальные точки Ръ Р2, .... Рп- \ проводим

лучи, параллельные отрезку РпВ. Они пересекут отрезок AB в точках Qj, Q2, ..., Q„_i.

Так как наши параллельные прямые высекают конгруэнтные <—>

отрезки на секущей АРп, то они высекут конгруэнтные отрезки

514

Конечно, не обязательно было проводить окружности радиуса г = AB. Можно было взять и любой больший радиус. В действи­

тельности, годился бы любой радиус, больший, чем ЛВ. (Почему?;

Очевидно, если мы умеем строить медиатрису данного отрезка, то мы сможем построить и точку, делящую этот отрезок пополам. (Это—точка R предыдущего рисунка.) Отметим это как своего рода «построение-следствие».

Построение 7. Найти середину данного отрезка.

Медиатриса этого отрезка автоматически доставляет нам и его середину.

Построение 8. Построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку.

14.9следует, что / пересекает ее в двух точках: R и S.

Шаг 2. Строим медиатрису отрезка RS. Эта прямая пройдет через Р, так как точка Р равноудалена от R и 3.

Заметим, что для построения медиатрисы не нужно проделывать все, что требуется в построении 6; достаточно провести по такой дуге каждой из наших двух окружностей, чтобы получить точку^

построение проще.

( 2)

циркуля и линейки.)

1.Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник.

2.Постройте ромб с диагоналями данной длины.

3.Постройте параллелограмм, если даны один из его углов, длина меньшей стороны и длина большей диагонали.

6.Постройте уголв 15°.

7.Постройте уголв 75°.

8.Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота, опущенная на это основание.

9.Постройте равносторонний треугольник с данной высотой.

516

10.Дан угол при вершине равнобедренного треугольника. Постройте угол при его основании.

11.Постройте равнобедренный треугольник, если даны угол при основании и высота, опущенная на основание.

12.Разделите данный отрезок на три конгруэнтные части.

13. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а J / 2 .

14.Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а У З .

15.Даны два отрезка длины а и Ь. Постройте отрезок, длина которого равна

среднему арифметическому чисел а и Ь. ( У к а з а н и е . См. задачу 13 к 6 5 гл. 14.)

16. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а ]Л б .

17.Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и длина гипотенузы.

18.Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и высота, проведенная из вершины прямого угла.

19.Постройте треугольник, если даны длина двух его сторон и длина медианы, проведенной к более длинной из них.

20.Постройте параллелограмм, если даны один его угол, одна сторона и высота, опущенная на эту сторону.

21. Постройте две внутренние касающиеся окружности, если даны радиусы каждой из них.

22. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся обеих сторон данного угла.

23.Постройте три конгруэнтные окружности данного радиуса, каждая из которых касается двух других.

24.Постройте равносторонний треугольник, если дан отрезок, длина которого равна периметру этого треугольника.

25*. Постройте касательную, проведенную к окружности из данной точки, лежащей вне ее. ( У к а з а н и е . Воспользуйтесь следствием 14.16.1.)

26*. Постройте равнобедренную трапецию, если даны ее основания и диагональ.

27. Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота, опущенная на одну из конгруэнтных сторон. ( У к а з а н и е . Вам должна по­ мочь задача 25.)

29*. Даны две точки А и В прямой /. Окружность С в точке А касается прямой I. Постройте окружность, ка­ сающуюся прямой I в точке В и, кроме того, касающуюся окружности С. ( У к а з а н и е . . Рассмотрите вниматель­ ней наш рисунок, на котором точка Q является центром искомой окруж­ ности.)

30. Постройте треугольник, если даны длины двух его сторон и длина меди­ аны, проведенной к третьей стороне.

Конкурсная задача

517

§ 9. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

В

Окружность Сг на этом рисунке впи­ сана в Д А ВС, а окружность С2 описана около Д А Р В .

Определения

Если некоторая окружность касается всего трех сторон тре­ угольника, то говорят, что эта окружность в п и с а н а в данный

в п и с а н в эту окружность.

Каждый треугольник описан около одной окружности и впи­ сан в другую. Вот нестрогое рассуждение, позволяющее понять, почему это должно быть так. Представим себе маленькую окруж­ ность, лежащую внутри треугольника и постепенно расширяю­ щуюся, как расширяется выдуваемый мыльный пузырь (являю­ щийся, конечно, сферой, а не окружностью). В тот момент, когда эта окружность больше не сможет расширяться, она окажется вписанной в треугольник. Точно так же представим себе обод, охватывающий треугольник и постепенно сжимающийся. В тот момент, когда он больше не сможет сжиматься, он должен ока­ заться описанным около треугольника Т

Теперь мы докажем не только, что описанная и вписанная окружности существуют, но и что их можно построить с помощью циркуля и линейки.

Ш аг 1. Строим медиатрисы сторон Aß

и АС. Они пересекаются в некоторой точ­ ке Р. По теореме 15.1 точка Р равно­ удалена от вершин А, ß и С.1

1 Как это ни может показаться странным, подоб­ ные простые рассуждения находят серьезное приме­ нение в современной математике (они даже получи­ ли специальное название — «метод пустого шара»).

518