книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 3. ТЕОРЕМЫ О КОНКУРРЕНТНОСТИ

Определение

Две или более прямые называются к о н к у р р е н т н ы м и , ес­ ли существует единственная точка, принадлежащая всем этим прямым. Эта общая точка прямых называется т о ч к о й к о н ­ к у р р е н т н о с т и .

Конечно, дв у м прямым, лежащим в одной плоскости, «лег­ ко» быть конкуррентными. Именно этого мы и ждем, когда рису­ ем две прямые случайно: если они окажутся параллельными, то

1

достаточно лишь чуть-чуть повернуть одну из них, чтобы они уже стали конкуррентными.

Но совсем иное дело —конкуррентность т р е х прямых. В нор­ мальных условиях мы «ждем», что три прямые на плоскости будут содержать стороны некоторого треугольника.

Если же они случайно окажутся конкуррентными, то доста­ точно лишь чуть-чуть пошевелить одну из них, чтобы они пере­ стали быть конкуррентными (если, конечно, наше «шевеление» не есть поворот вокруг точки конкуррентности).

Однако можно показать, что при некоторых условиях три пря­ мые всегда будут конкуррентными. Вот первая из наших теорем такого рода.

499

Теорема 15.1 (теорема о конкуррентности медиатрис)

Медиатрисы сторон тре­ угольника конкуррентны. Их точка конкуррентности равноудалена от всех вершин треугольника.

До к а з а т е л ь с т в о . Дан

ДЛ 5С . Пусть Іъ /2 и /3— ме­

диатрисы сторон AB, ÄC иВС. Если бы прямые Іх и /2 были параллельны, то были бы

Таким образом, медиатрисы сторон треугольника конкуррент­ ны и их точка пересечения равноудалена от вершин треугольника.

Следствие 15. 1.1

Каждые три неколлинеарные точки принадлежат одной и толь­ ко одной окружности.

(Это вытекает из следствий 14.6.1 и 15.1.1.) До сих пор мы

треугольника к противоположной стороне; 2°. д л и н у такого перпендикулярного отрезка.

В следующей теореме мы будем понимать этот термин еще в од­ ном, третьем смысле: здесь он означает

3°. п р я м у ю, проходящую через вершину треугольника и пер­ пендикулярную противоположной стороне.

500

рисунок). Перпендикулярные отрезки, проведенные из вершин тре­ угольника к противоположным сторонам, вообще не обязаны пере­ секаться. Именно соответствующие п р я м ы е всегда конкуррентны.

Задачи к § 3

501

3.Три точки лежат на окружности. Они соединены отрезками, образующими

7.Высота, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямо­

Конкурсная задача

удалось. Тем не менее она сумела отыскать клад в соответствии с указаниями. Один из участников поисков сказал: «Какая удача, что сосна сохранилась до сих пор!» Руководитель группы рассмеялся и ответил: «Мы могли бы

обойтись и без сосны!» Покажите, что он был прав.

5 0 2

§ 4. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теперь мы хотим доказать, что и биссектрисы углов треугольника всегда конкуррентны.

Однако, чтобы получить этот результат, нам нужно сначала еще кое-что узнать о биссектрисах углов: нам нужно их охарактери­ зовать. Такая характеризация со­ держится в следующей теореме.

Теорема 15.3

Биссектриса угла, из которой удален ее конец, есть множество всех точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его

тельствах мы пользуемся обозначениями, указанными на рисунках. Д о к а з а т е л ь с т в о 1°

503

Д о к а з а т е л ь с т в о 2°

Утверждения 2 и 7 нам и требовалось доказать. Теперь мы можем доказать д

нашу теорему о конкуррентности:

Теорема 15 .4

Биссектрисы углов треугольни­ ка конкуррентны. Их тонка кон­ куррентности равноудалена от всех трех сторон треугольника.

D

В

504

3.Охарактеризуйте множество всех центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла.

4.Охарактеризуйте множество всех точек на плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

5.Охарактеризуйте множество всех точек на плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых и удаленных на расстояние 5 см от точки их пересечения.

6Т. Охарактеризуйте множество всех точек, равноудаленных от двух пересека­ ющихся плоскостей.

7+ . Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, лежащих внутри дан­ ного угла,- равноудаленных от сторон этого угла и в то же время находя­ щихся на данном расстоянии от данной прямой.

8.Докажите, что биссектрисы двух смежных углов параллелограмма пересе­ каются в точке, равноудаленной от двух противоположных сторон этого параллелограмма.

9.Докажите следующую теорему:

рент ны.

10*. Охарактеризуйте множество всех точек, равноудаленных от всех трех пря­ мых, определяемых сторонами треугольника.

11+ . Сделайте рисунки нескольких разных выпуклых четырехугольников и аккуратно проведите биссектрисы углов. Будут ли все четыре биссектрисы каждого из четырехугольников конкуррентны? Для какого специального типа четырехугольников биссектрисы углов конкуррентны? Можно ли какимнибудь общим образом описать все четырехугольники, биссектрисы углов которых конкуррентны?

{(* . У) \У= х или у = — х }.

§ 5. ТЕОРЕМА О КОНКУРРЕНТНОСТИ МЕДИАН

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны. На нашем ри­ сунке точка D является серединой

роне ВС.

Из аккуратно выполненного ри­ сунка видно, что- три медианы тре­ угольника конкуррентны. Это и в самом деле верно для всех треуголь- g ников. Однако доказательство нам

505

Теорема 15.5

Медианы треугольника всегда конкуррентны. Расстояние их точки. конкуррентности от каждой вершины треугольника равно двум третьим длины медианы, проведенной из этой вершины.

Нам будет удобно при доказательстве теоремы использовать систему координат.

ляется серединой стороны АС. Ее координаты мы нашли по фор­ муле середины (теорема 13.5).

Пусть Р —такая точка медианы BE, что ВР —2РЕ. По тео­ реме 13.6 (посмотрите ее!), получаем

(0 + 2 ^ 1 ) , ± t | ^ ) = (2e + 2с, 26).

506

507

§ 6. ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

До сих пор мы строили геометрические фигуры, пользуясь масштабной линейкой и транспортиром. Наши аксиомы утверждают, что у нас есть «бесконечная» линейка со шкалой на ней. С помо­ щью этой «линейки» мы проводим прямые и измеряем расстояния. Кроме того, у нас есть транспортир. С его помощью мы можем изме­ рять углы, а также откладывать от данного луча углы данной меры.

Вероятно, это —простейший способ построения геометрических фигур. Однако существует и другой очень важный способ. Это —гео­ метрические построения циркулем и линейкой1. При таких по­ строениях мы отказываемся от масштабной линейки и допускаем употребление лишь линейки без делений (разумеется, по-прежнему «бесконечно длинной»), так что, хоть мы можем с помощью нашей линейки проводить прямые, измерять расстояния мы уже не в со­ стоянии. Кроме того, у нас есть циркуль. Мы можем с его по­ мощью проводить окружности с центром в любой точке, проходящие

важным задачам, возникающим, когда мы пытаемся выяснить,

из этих задач, кроме чисто теоретического значения, имеет и определенный (хоть и небольшой!) практический интерес в силу связи с вопросами технического черчения; поэтому профессиональ­ ные чертежники про эти задачи знают.

Как бы мы ни строили геометрические фигуры, мы обязательно должны иметь определенный набор чертежных инструментов и со­ ответствующую построениям с помощью этих инструментов матема­ тическую теорию12. В любом случае теория является строгой, а результаты, реально получаемые с помощью наших инструментов, только приближенными.

Чтобы оправдать наши построения с циркулем и линейкой, нам нужна теорема, описывающая пересечение двух окружностей.

{