8. QR и QS на этом рисунке — касательные отрезки
к окружности с центром Р . Отрезок QP пересе кает окружность в точке М . Докажите, что точка М равноудалена от этих касательных отрезков 1.
9. Д ве хорды |
некоторой |
окружности пересекают |
ся. Отрезки |
одной из |
хорд имеют длину 4 и 6, |
а один из |
отрезков |
другой хорды — длину 3. |
Найдите длину второго ее отрезка.
10. Найдите степень точки Q относительно окруж ности С (см. рисунок), если дано, что
a) QS — 9 и QR = 5;
b) QS = 3 и Si? = 12;
c) QU = 7 и QT = 5;
d) Q T = l и T V = 13;
e)QR = 4 и S R = 14.
11.37-сантиметровый диаметр окружности в одном
сантиметре от своего конца |
пересекает хорду |
в четырех сантиметрах от одного из ее концов. |
Найдите длину хорды. |
|
12. На этом рисунке |
А В = 25, |
Л £ = 1 8 и DC = 27. |
Найдите Е В , D E |
и ЕС. |
|
13. Найдите степень точки Q относительно окруж ности С (см. рисунок), если дано, что
a) QR = 4 и QS = 13;
b) QR = 6 и R S = 8;
c) QT = 17 и U T = 9;
d) QU = ]/Т Т и <37’ = 1/'5б;
e) QS = 23 и R S = 17.
14. |
Чему равно PD |
на этом рисунке, если РА |
|
|
Р В = 15 |
и P C = 8? |
|
|
|
|
15. |
Чему |
равно |
P C |
на |
том |
же |
рисунке, |
если |
|
А В = 16, Р В = 24 |
и PD = 16? |
|
|
16. |
Чему |
равно |
Р В |
на |
том |
же |
рисунке, |
если |
|
P D = 20, CD = |
12 |
и А В = 2Т> |
|
|
1 Под расстоянием от точки до отрезка по нимается н а и м е н ь ш е е - из расстояний от дан ной точки до точек отрезка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
QT |
на этом |
рисунке — касательный |
|
отрезок. Найдите степень точки Q отно |
|
сительно окружности С, если дано, что |
|
a) |
QR = 4, |
QS = |
9 |
и |
Q 7 = 6; |
|
|
b) |
QS = |
13 |
и 7?S = |
9; |
|
|
|
c) QT = 8 и t f S = 1 2 ; |
|
|
|
d) |
Q7? = |
^ 6 |
и QS = |
]/5 4 ; |
|
|
e) Q5 = K l 7 и Q r = y T 3 . |
|
18. |
РЛ |
на |
этом |
рисунке — касательный |
|
отрезок. |
Найдите |
Р А , если |
дано, что |
|
Р В = 5 |
и P C = |
20. |
|
|
|
19. |
Чему равно |
PC на том же |
рисунке, |
|
если |
РА = 8 |
и |
Р В — 7? |
|
20.Найдите PC на том же рисунке, если дано, что РА — 16 и В С = 24.
21.На рисунке обе окружности касаются прямой / в точке Т, Р — любая точка
прямой /, отличная от Т. Докажите, что Р М ■P R = Р К ■P S .
22. А на рисунке (второй снизу) — любая точка прямой I, отличная от общей точки касания Т двух окружностей. Докажите, что
A B _ ЛС
AD ~ А Е •
23. Если общая касательная двух окруж
ностей |
пересекает |
линию |
центров1 |
в |
точке, |
лежащей |
между |
центрами, |
то |
она |
называется |
общей |
внутренней |
касательной. Если |
она не |
пересекает |
линии центров в точке, лежащей между центрами, то она называется общей
внешней касательной.
<і' '>
На нашем рисунке прямая A B являет ся общей внешней касательной, а пря
мая CD — общей внутренней касатель ной. Даны две окружности. Сколько общих внешних касательных и сколь
ко |
общих |
внутренних касательных |
они |
имеют, |
если |
a) они, как |
на нашем рисунке, не пе |
ресекаются; |
|
B ) они касаются внешне;
С) они пересекаются в двух точках; d) они касаются внутренне;
e) они являются концентрическими?
1 Л инией центров двух окружно стей называется прямая, содержащая их центры.
24.Две окружности имеют радиусы 5 и 17 и общий внешний касательный отрезок1 длины 16. Чему равно расстояние между их центрами?
25.Радиусы двух окружностей 3 и 8, а расстояние между их центрами— 13.
Найдите длину их общего внешнего касательного отрезка.
( У к а з а н и е . Проведите через Q прямую, перпендикулярную радиусу А Р. )
26. Расстояние между центрами двух окружностей, имеющих радиусы 3 и 6, равно 18. Какую длину имеетих общий внутренний касательный отрезок?
27+. Докажите, что общие внешние касательные отрезки двух окружностей конгруэнтны.
28*. Докажите, что если две окружности |
и прямая |
пересекаются в одной и |
той же точке (или точках), то эта прямая делит |
пополам каждый общий |
внешний касательный отрезок данных |
окружностей. |
29*+. Докажите, что общие внутренние касательные двух непересекающихся ок ружностей и линия центров этих окружностей имеют общую точку. ( У к а з а ние. Проведите доказательство от противного; нарисуйте радиусы; восполь зуйтесь подобием и пропорциями.)
30+ . Докажите, что общие |
внутренние касательные |
отрезки двух |
непересе |
кающихся окружностей |
конгруэнтны. |
|
|
31*. A B — диаметр окружности. |
Касательная к окружности в точке А и секу |
щая, проходящая через |
В, |
пересекаются в точке D. Кроме того, |
эта секу- - |
щая пересекает окружность |
в точке С. Докажите, |
что AB2 — DB •ВС. |
1 То есть отрезок общей внешней (аналогично внутренней) касательной, заключенный между точками касания.
32*. RS — диаметр окружности. Прямая^ касается окружности в точке R, а пря мая /2 — в точке S. Прямая, прохо дящая через произвольную точку Q прямой Іъ отличную от R, касается окружности в точке Р и пересекает прямую /2 в точке Т. Докажите, что
s a QRST= 2 " ' ОТ-
33*+ . На этом рисунке отрезок AB яв ляется диаметром окружности, а пря
мая CD касается этой окружности в точке В. Докажите, что АС •AG —
=AD •АН.
§8. ОКРУЖНОСТИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Если на плоскости задана система координат, то легко уста новить, какое уравнение имеет окружность. Рассмотрим сначала случай, когда центр окружности находится в начале координат. Окружность с центом О и радиусом г определяется условием
ОР = г.
Пусть точка Р имеет координаты (х , у). Пользуясь формулой расстояния, мы можем переписать наше условие так:
Y { —х О)2+ (г/— О)2= г
или так:
X2 + у г =г 2.
Если центр окружности находится в точке Q(a, b), то эта окружность определяется условием
QP = r,
или в алгебраической форме
У ( х - а ) 2 + ( у - Ь ) 2 = г,
т. е.
|
(х — а)2 + (у — Ь)2 = г2. |
|
|
У |
|
|
г |
|
|
Р(*,У) |
Р(*,у) |
|
|
- Г |
Т X |
|
|
-г |
|
|
О |
X |
Теорема 14.24
Графиком уравнения
(X— а)2 -\-(у — Ь)2 = г2
является окружность с центром (а, Ь) и радиусом г.
Эту теорему можно применять и в ту, и в другую сторону.
1°. Если известны центр и радиус окружности, то мы можем написать ее уравнение. Например, окружность с центром (3, 1) и радиусом 2 является графиком уравнения
(* - 3 )2 + Ü / - l) 2 = 4.
2°. Если дано уравнение такого типа, какой фигурирует в тео реме 14.24, то мы можем сказать, какими являются центр и радиус окружности. Например, если дано уравнение
(х+1)2 + ( у - 2 ) 2 = 9,
то центром окружности служит точка (— 1, 2), а радиус ее равен 3.
Вое это так. Но допустим, что наше второе уравнение окруж ности попадется какому-нибудь любителю алгебраических преоб разований, который привык «упрощать» каждое уравнение, кото
рое ему встретится. Тогда он «упростит» наше.уравнение, преоб разовав его так:
х2 + 2х+ 1 + у 2— 4г/+ 4 = 9,
а затем приведет его к виду
х2+ У2+ 2х —Ау —4 = 0.
Иногда вам будут встречаться уравнения окружностей, запи санные в такой форме. Чтобы выяснить, как расположена эта окружность, нам нужно вновь «усложнить» уравнение, восстано вив его стандартную форму
|
(х—а)2-f (у —Ь)2= г2. |
|
|
|
|
Делается это |
методом |
выделения |
полных |
квадратов. |
Сна |
чала переставим |
члены, |
чтобы объединить |
те |
из |
них, которые |
содержат у , и те, которые содержат |
х, а свободный член |
пере |
несем в другую часть равенства с обратным |
знаком. |
Тогда наше |
уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
X2 + 2х -фу2—Ау == 4.
Теперь мы хотим прибавить к первым двум членам некоторое число так, чтобы получить полный квадрат. Иными словами, нам надо, чтобы
X2 -ф 2х -ф (?) = (х — а)2.
Поскольку
(х — а)2 = х2— 2ах -фа2,
мы должны иметь а = — 1 и а2 — 1. Таким Образом, нам нужно прибавить 1. (Правило очень простое: нам нужно взять половину коэффициента’ при х и возвести ее в квадрат.) Точно так же, для
преобразования членов, содержащих у (выделения |
полного квад |
рата), к этим членам нужно прибавить 4. |
число 5, то 5 |
Так как к левой части равенства мы прибавили |
мы должны прибавить и к правой части. Это дает |
|
x2-{-2xJr \ -{-у2—Ау-ф4 = 4 -f 5, |
|
или |
|
( * + 1)2 + (#—2)2 = 9, |
|
— и мы получили уравнение в стандартной форме. Судя по этому уравнению мы можем сказать, что графиком его является окруж ность с центром (— 1, 2) и радиусом 3.
Если в уравнении, заданном в стандартной форме
(х — а)2 + (у — Ь)2 = г2,
мы раскроем скобки и переставим члены, то мы получим
X2 -фу2— 2ах — 2by -фа2-ф Ь2 — г2 —0.
Это уравнение имеет вид |
|
•к2 |
У2+ Ах + |
B y + С = О, |
где |
|
|
А = — 2а, |
В = — 2Ь, |
С = аг-\-Ь2—г2. |
Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема 14.25
Каждая окружность является графиком некоторого уравнения вида
х2 + у24-Лх + Ву + С = 0.
Может показаться разумным предположить, что верно и обрат ное. Иными словами, можно подумать, что графиком уравнения этого вида всегда является некоторая окружность. Но это не совсем так. Рассмотрим, например, уравнение
х2-\-у2~ 0 .
Здесь А = В — С = 0. Если х и у удовлетворяют этому уравнению, то оба они должны быть равны нулю. Следовательно, график нашего уравнения содержит лишь одну точку, именно начало координат.
Рассмотрим теперь |
уравнение |
|
|
|
х2 + У2 + 1=0. |
Здесь |
Л = ß = 0 и С = |
1. Так как |
при любых х и у всегда х2^ 0 |
и у2^ |
0, то для любых х и |
у имеем х2 + у2 + 1Ss 1. Таким образом, |
сумма |
x2-\-y2jr 1 ни |
при |
к а к и х |
х и і/ нулю не равна. |
Следовательно, график нашего уравнения вообще не содержит точек: это - пустое множество.
Следующая теорема говорит нам, что в действительности для графика уравнения рассматриваемого типа существуют лишь три возможности: окружность, которую мы с самого начала и ожи дали, и две особые возможности, которые мы только что рас смотрели.
Теорема 14.26
Графиком уравнения
х2 + г/2 + Лх + Вг/ + С = 0
является либо (1°) окружность, либо (2°) точка, либо (3°) пустое множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В нашем общем уравнении мы можем выделить полные квадраты, содержащие члены, зависящие от х,
и члены, зависящие |
от у , |
подобно тому как |
мы |
это сделали |
в рассмотренном выше примере. Мы получим: |
|
|
|
|
х*+ Ах + у2 + Ву = — С; |
|
|
|
( А |
\2 |
|
/ Д \ 2 |
|
|
ß\2 |
хг + А х Щ |
) + y* + By + [ f |
с + Іт)' + |
2. |
|
. л \ 2 . / |
, В \ 2 |
Л 2 + В 2 - -4 С |
|
|
* + т |
+ / |
+ т |
= -----Г |
|
|
|
Теперь имеется три возможности. |
|
п о л о ж и т е л ь н а , |
1°. Если дробь в правой |
части равенства |
то из нее можно извлечь квадратный корень. |
График является |
тогда окружностью с центром |
|
|
|
|
и радиусом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = ~ V Л2 + 5 2- 4 С . |
|
|
|
2°. Если дробь в правой |
части |
равенства |
р а в н а |
нулю, то |
график состоит из одной точки |
— у j • |
|
|
3°. Если дробь |
в |
правой |
части |
равенства |
о т р и ц а т е л ь н а , |
то график есть пустое множество, так как левая часть не может
быть |
отрицательной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи к |
§ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( З а м е ч а н и е . |
Нижеприведенные задачи следует решать методом координат |
и в |
том случае, |
когда существует несколько методов их решения.) |
|
1. |
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом: |
|
а) |
4; |
|
Ь) |
7; |
|
с) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
11; |
|
е) |
У~Ш; |
f) |
я . |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Дана |
окружность |
с |
уравнением |
х 2-f-г/2= 25. Какие |
из |
следующих |
точек |
|
принадлежат этой |
окружности: |
|
|
|
|
|
|
а) |
(0, |
|
- 5 ) ; |
Ь) (3, |
- 4 ) ; |
_ |
с) (3, 2)j |
_ |
|
|
|
|
d) |
(24, |
|
1); |
|
е) (Vlä. |
— ^ |
17); |
!) ( 2 / 3 , |
/1 3 )? |
|
|
|
3. |
Дана |
окружность |
с |
уравнением |
х 2+ г/2= 36. Какие из |
следующих |
точек |
|
лежат внутри, какие вне и какие на этой окружности: |
|
|
|
а) |
(3, |
3 / 3 ) ; |
|
Ь) |
(4, |
- 5 ) ; |
с) ( - 6 , |
0); |
d) (5, |
- 3 ) ; |
|
|
e) |
( - 4 , |
- 4 ) ; |
|
f) |
( 2 / 2 , |
2 / 7 ) ; g) |
|
h) ( - |
2 / 6 , 4)? |
|
4.Найдите радиус и напишите уравнение окружности с центром в начале координат, которая содержит точку:
а) |
(0, |
- 4 |
) ; |
Ь) (3,5); |
с) ( - 2 , 7 ) ; |
d) (2, / 1 7 ) . |
Б. Напишите |
уравнение окружности |
с данным центром и радиусом: |
а) |
(2, |
5) |
и |
4; |
|
Ь) |
( — 3, |
0) |
и 6; |
с) |
( - 4 , |
- 6 |
) |
и / 2 1 ; |
d) |
(0, 7) |
и . |
6. |
Окружность |
с |
центром в точке (2, 3) содержит точку |
(6, |
6). Напишите ее |
|
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Окружность |
с |
центром (— 4, 0) |
проходит через точку |
(2, |
— 1). Напишите |
|
ее |
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Точки |
(— 6, |
2) |
и (6, |
— 2) |
служат |
концами |
диаметра |
некоторой |
окруж |
|
ности. Найдите ее центр и радиус и напишите ее уравнение. |
|
9. |
Напишите |
уравнение |
окружности, |
имеющей |
диаметр |
с концами |
(5, 8) и |
10. |
( - 1 . |
- 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определите центр и радиус каждой окружности: |
|
|
|
|
а) |
лг2+ |
{/2 = 1 6 ; |
|
|
|
Ь) |
х 2 + |
у 2 — 9 = 0; |
|
|
|
|
с) |
(х — З)3+ |
((/ — 7)2= |
8; |
|
d) (х + |
4)2+ |
( у - 5 ) 2= 36; |
|
|
|
е) |
(х — 2)з + |
у2 = |
13; |
|
|
f) 4х2+ |
4у2 = |
36; |
|
|
|
|
g) |
9х2+ |
9t/2 — 25 = 0; |
|
|
h) 3л:2 + |
3 (у — 1)а= 12; |
|
|
|
|
і) |
2 (x + |
5)a+ |
2(z/ — 4)2 - 1 4 = |
0; |
j) 5х2+ 5у2— 7 = 0. |
|
|
|
11. |
Найдите центр |
и радиус окружности, имеющей уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 — 6х + 9 + |
(/2 — § ( / + 1 6 = 4. |
|
|
|
12.Найдите центр и радиус окружности, имеющей уравнение
х2+ у2+ 8 х - 2 у - 8 = 0.
13.Нарисуйте график уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
X2+ У2 — 8 х + |
6 (/ = |
11. |
|
14. Нарисуйте график |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 + у2 — 4х + |
8(/ + |
4 = 0 . |
|
15. Нарисуйте график |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 + У2+ 6х — 2у = |
— 10. |
|
16. |
Напишите уравнение |
окружности с центром (— 3, 4), касающейся оси х. |
17. |
Напишите |
уравнение |
|
окружности, касающейся .ч оси х и оси у, если дано, |
|
что ее радиус равен 3 |
|
и что ее центр лежит в четвертой четверти. |
18. |
Какие |
геометрические |
фигуры |
характеризуются следующими уравнениями: |
|
a) |
X2+ |
у 2= |
15; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) |
x2-f-y2 Jr |
1 4 *— I 6 ( /+ |
104 = 0; |
|
|
|
|
|
c) х 2 4 ~ 6 х |
— 2 у ~ х а + 2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
d) |
х 2-\-у2-\- \0х — 4(/ + |
33 = |
0; |
|
|
|
|
|
e) |
2х2+ |
2(/а+ 12д: + |
9 = |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
f) |
х 2+ |
у 2+ |
4 х — 10(/ + |
29 = |
0? |
|
|
|
|
19. |
Хорда |
окружности, имеющей |
уравнение х2 -\~у2= |
49, перпендикулярна диа |
|
метру |
в |
точке (0, |
4). Найдите длину этой хорды |
и определите координаты |
ееконцов.
20.Докажите, что медиатриса отрезка с концами (а, 0) и (0, а) содержит центр
окружности, имеющей уравнение х 2 -\-у2 = |
а 2. |
21. Даны окружность с уравнением x 2-j-y2 = |
225 и точки А (— 15, 0) и В (9, 12). |
a) |
Покажите, что отрезок A B |
является |
хордой этой окружности. |
B ) |
Найдите середину |
отрезка |
A B . |
|
|
c) |
Найдите уравнение |
медиатрисы отрезка |
A B . |
d) Покажите, что медиатриса отрезка AB содержит центр окружности.
22*. Даны |
окружность с уравнением ха+ у 2— 8х — Ау — 5 = 0 и точки D ( — 1, 2) |
и Е (8, |
5). |
a) Покажите, что отрезок D E является хордой этой окружности.
B ) Покажите, что медиатриса отрезка D E содержит центр этой окружности.
c) |
Найдите |
расстояние от центра этой окружности до D E . |
23. |
Найдите |
площадь квадрата, вписанного в окружность с уравнением х 2 + |
+ (/а= 1 4 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24*. Найдите площадь квадрата, |
вписанного |
в |
окружность |
с |
уравнением хг |
y^-\-Sx — 1 |
Ог/ Ң—5 == 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Хорда |
окружности а:2 -f-1/2 = |
72 |
касается |
окружности |
х2 -{-у2= 1 8 . Найдите |
длину |
этой |
хорды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 *+ . Найдите |
уравнение |
прямой, |
содержащей |
хорду задачи |
25, и координаты |
концов |
этой |
хорды, |
если |
дано, что |
она |
касается |
меньшей окружности |
в точке (— 3, — 3).
27.Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (13, 0) к окруж ности, имеющей уравнение x 2 -j-y2 — 25.
28. Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (16, 12) к окружности, имеющей уравнение х 2+ у 2== 100.
2 9 *. Найдите длину'касательных отрезков, проведенных из точки (— 8, 3) к окруж ности, имеющей уравнение х 2-\-у2 — 1 4 * + Юг/- f - 10 = 0.
30+. Дана окружность с уравнением х2+ у 2= 36. При каких значениях а точка
(а, а + 4) лежит внутри |
этой окружности? |
|
|
|
|
3 1 *+. Покажите, |
что |
две |
|
окружности |
с |
уравнениями x 2 -j-y2= 1 6 и x 2-f-y2 — |
— 20х + 64 = |
0 касаются |
внешне. Какие координаты имеет точка их касания? |
3 2 *+. Покажите, |
что |
две |
|
окружности |
с |
уравнениями л2+ |
г/2+ 8х + |
6г/= |
0 и |
х2 + у2 — 16х — 12г/ = |
0 |
касаются внешне. Найдите уравнение прямой, прохо |
дящей через точку |
их |
касания и являющейся их общей касательной. |
|
3 3 *+. Дана окружность с |
уравнением х 2 + |
г/2+ 16а -f- 12г/ = 125. |
|
|
a) Найдите уравнение |
|
окружности |
радиуса 5, |
внутренне касающейся |
дан |
ной окружности |
в точке (4, 3). |
|
|
|
|
|
|
B ) Найдите уравнение общей касательной этих |
двух окружностей. |
|
|
3 4 *+. Напишите |
уравнение |
окружности, |
касающейся всех |
четырех |
окружно |
стей, имеющих уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 + у2 + |
10 х = 0; |
|
|
|
|
х2-\-у2 — Ю л: — 0;
х2-\гу2+ Щ = 0\ х2-\-у2—10г/ = 0.
3 5 *+. Приняв за единицу масштаба 2 см, сделайте аккуратный чертеж, изобра жающий окружности, имеющие следующие уравнения:
(х — 1)2+ (і/— 1)2= 1;
(*-1)2 + (г/+1)2=1; (*+ 1)2 + (г/+1)2=1.
a)Найдите уравнение окружности, касающейся внутренне каждой из дан ных окружностей.
B ) Найдите уравнение окружности, касающейся внешне каждой из данных окружностей.
Вопросы и задачи для повторения
1. Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить каждое из следующих поня тий:
Окружность. |
Большая |
окружность. |
Высекаемая дуга. |
Сфера. |
Внешний |
конец. |
Центральный угол. |
Хорда. |
Точка касания. |
Меньшая |
дуга. |
Секущая. |
Внутренность окружности. |
Бблыная |
дуга. |
Касательная. |
Внутренне |
касающиеся |
Полуокружность. |
Радиус. |
окружности. |
|
|
Внешне касающиеся окружности. |
Касательный отрезок. |
Диаметр. |
Вписанный угол. |
|
|
