книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначения указаны на рисунке. Нам нуж­

Теорема 14.18

Если две дуги одной и той же окружности или же конгруэнт­ ных окружностей конгруэнтны, то и соответствующие хорды кон­ груэнтны.

В доказательстве нужно рассмотреть три случая, так как две данные конгруэнтные дуги могут быть меньшими дугами, больши­ ми дугами или полуокружностями. На следующем рисунке пока­ зано доказательство для второго из этих случаев.

Мы заключаем, что АВ —А'В ' на основании СУС.

Теорема 14.19

Дан угол с вершиной на окружности, образованный лучом се­ кущей и лучом касательной. Тогда мера этого угла равна поло­ вине меры высекаемой им дуги.

469

Д о к а з а т е л ь с т в о . В обозна­ чениях, указанных на рисунке, имеем

х + у = 90, 2г/ + z = 180; мы хотим показать, что

1 * = 2 2-

Но это ясно, так как

X= 90 — у

и

г = 180 — 2у.

Задачи к § 6

1. На рисунке A B ^ C D . Докажите, что

ÂC ^BD .

2. На рисунке у окружности с центром

Р имеем Р М = Р К , причем отрезки РМ и РІС соответственно перпендикуляр­

ны хордам R S и QT. Докажите, что

R S^Q T .

3. Лучи К Н и K G касаются окружности в точках Н и G. Найдите т / DGH к т / GH К , если мера большей дуги

GH равна 242.

4. Почему на рисунке для задачи 3

L K H G 9 / / K G H 7

5. Покажите, что если на рисунке для за­ дачи 3 т / К — 60, то мера большей

дуги GH равна удвоенной мере меньшей

дуги GH.

470

в окружность и Р — любая точка дуги A B,

отличная от Л и В. Докажите, что лучи PC

и P D делят L А Р В на три конгруэнтные части.

15. Докажите следующую теорему:

М ера угла, образованного двумя секущими ок­ ружности, пересекающимися в точке, леж ащ ей внутри окружности, равна полусумме мер дуг, высекаемых этим углом и углом, ему верти­ кальным.

( У к а з а н и е . Докажите, что m Z . D K B =

471

. в т о ч к е , л е ж а щ е й в н е о к р у ж н о с т и , р а в н а п о л у р а з н о с т и м е р в ы с е к а е м ы х э т и м у г л о м дуг.

19. Проверьте, что теорема задачи 17 сохраняет силу, если слова «двумя секу­ щими» заменить словами «секущей и касательной» или же «двумя касатель­ ными».

§ 7. СЕКУЩИЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ

473

Два касательных отрезка, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, кон­ груэнтны и определяют кон­ груэнтные углы с отрезком, соединяющим эту точку с цен­ тром окружности.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны окружность С с центром Р и

Рассмотрим теперь случай двух секущих к окружности, прохо­ дящих через точку, лежащую вне ее.

Отрезки QS и QT на этом рисунке называются секущими от­ резками данной окружности. Точнее:

Определение

Если отрезок пересекает окружность в двух точках и одна и только одна из них является концом этого отрезка, то этот от­ резок называется с е к у щ и м о т р е з к о м данной окружности.

Следующая теорема утверждает, что в обозначениях послед­ него рисунка всегда имеет место равенство

QR • QS = QU • QT.

474

Иными словами, произведение «двух расстояний» от точки Q до окружности вполне определяется данной окружностью и точкой Q, но не зависит от выбора секущей.

Теорема 14.21 (теорема о степени)

Даны окружность С и точка Q вне ее. Пусть — какая-ни­

секающая окружность С в точках U и Т. Тогда QR-QS = QU-QT.

саны в одну и ту же дугу RSU = RTU. На основании УУ-след- ствия (следствие 12.3.1)

A Q S U ~ A Q T R .

Поэтому

QS _ QU_

QT ~ QR

и

QR-QS — QU ■QT,

что и требовалось доказать.

Таким образом, произведение QR-QS определено, как только указаны окружность С и лежащая вне ее точка Q. Число QR ■QS

называется степенью точки Q относительно окружности С.

Теорема 14.22 утверждает, что в обозначениях следующего

475

Теорема 14.22

Даны касательный отрезок QT к окружности С и секущая, проходящая через точку Q и пересекающая окружность в точках R и Т. Тогда

QR-QS = QTi.

Иными словами, квадрат длины касательного отрезка равен степени его внешнего конца относительно данной окружности.

Каковы основания для каждого шага?

Теорема 14.23 устанавливает, что в обозначениях следующего рисунка имеет место равенство

QR-QS = QU-QT.

Теорема 14.23

Пусть RS и TU — хорды одной и той же окружности, пере­ секающиеся в точке Q. Тогда

QR-QS^QU-QT.

И на этот раз мы приведем только главные шаги доказательства:

476

Эта теорема позволяет определить степень точки относительно

от выбора хорды, содержащей точку Q. Поэтому мы можем опре­ делить степень точки Q относительно С как число QR ■QS1.

Задачи к § 7

1. Докажите, что если мера угла, определяемого двумя касательными отрезками к окружности, проведенными из точки, лежащей вне ее, равна 60, то эти касательные отрезки вместе с хордой, соединяющей их точки касания, обра­ зуют равноугольный треугольник.

1 Чаще степень точки Q, расположенной в н у т р и окружности С, отно­ сительно этой окружности определяют как число - Q R - Q S (ср., например, Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (геометрия). М ., Физматгиз, 1963* стр. 4 5 4 - 4 5 5 ) .

477