книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Т р е б у е т с я н а й т и . Радиус сферы,

т L А Р В и PC.

13*+. Две большие окружности называ­ ются перпендикулярными, если они ле­ жат в двух перпендикулярных пло­ скостях. Покажите, что для любых двух больших окружностей суще­ ствует третья большая окружность, перпендикулярная им обеим. Если две данные большие окружности являются меридианами на поверхности Земли (проходящими через полюсы), то ка­ кая большая окружность перпенди­ кулярна им обеим?

14*+. Точки Р и Р' на этом рисунке являются центрами сфер S и S '. Точки А

и В принадлежат пересечению этих двух сфер. Прямые A B и Р Р ' пересе­

каются в точке М. Прямая РА касается 1 сферы S ' в точке А.

a) Объясните, какое множество является пересечением сфер S и S '.

b) Найдите радиус сферы S ' и расстояние между центрами сфер, если ра­ диус сферы S равен 12 и РА = АВ.

§ 4. ДУГИ ОКРУЖНОСТЕЙ

Мы начали эту главу с изучения окружностей, а затем пере­

ностями, потому что соответствующая теория для сфер слишком трудна для того, чтобы ее можно было включить в первоначаль­ ный курс геометрии.

шиной которого является центр этой окружности.

1 То есть имеет со сферой S' лишь одну общую точку. — П рим, перев.

458

459

данной дуги и обозначать дугу символом АХВ. Например, на нашем

рисунке АХВ есть меньшая дуга, изображенная жирно, а AYB —

.большая дуга, изображенная более тонко. Когда из контекста

ясно, о какой дуге идет речь, можно писать просто А В.

Теперь мы хотим определить градусную меру дуг в соответ­ ствии с тем, как это подсказывается следующими рисунками.

Заметим, что градусная мера дуги не зависит от размера окружности. Соответствующие дуги двух концентрических окруж­

дуги равна 360 минус мера соответ­ ствующей меньшей дуги.

460

Начиная с этого момента градусную меру дуги мы будем на­ зывать просто «мерой» этой дуги. Мера дуги AB обозначается

символом тАВ.

Следующая теорема кажется вполне естественной, но ее до­ казательство удивительно нудно.

смотреть в полном доказательстве.

Задачи к § 4

1.Точки А и В на этом рисунке являются кон­ цами диаметра.

a) Назовите полуокружности. B) Назовите меньшие дуги.

c)Назовите большие дуги.

2.Точка Р на левом рисунке является центром

окружности и RQ = PS. Найдите mRQ, mRS

и tnR§Q.

3.Диаметры AB и CD на правом рисунке пере­ секаются в центре окружности Я. Найдите меру каждой из меньших дуг этой окружности,

если т и А В С = 40.

4. Докажите, что если GH и М К . —два диаметра окружности, то mGK=mHM.

401

5.Какая дуга на этом рисунке имеет самую боль­ шую меру?

6. Докажите, что биссектриса центрального угла окружности делит пополам соответствующую меньшую дугу.

с A B .

Е

Е С L Ä B и DC J_ C F .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .

mAD + mQT — m E F -f- m R S .

8.Д ве точки окружности определяют меньшую и большую дуги. Найдите меру каждой из них, если мера большей дуги на 40 меньше меры меньшей дуги, умноженной на 4.

§5. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ

И ВЫСЕКАЕМЫЕ ДУГИ

Говорят, что /_ X на каждом из сле­ дующих рисунков вписан в изображенную жирно дугу.

Эту идею легко выразить словами:

Определение

Угол в п и с а н в некоторую дугу, если

1°. стороны угла содержат концы этой дуги и

2°. вершина угла является точкой, но не концом этой дуги.

Конечно, если D — любая точка дуги

АВС, отличная от А и С, то ABC —ÂDC,

так что и /, ADC вписан в АВС. Все углы, изображенные на рисунке справа, вписаны в изображенную жирно дугу. Судя по рисунку, все они должны быть кон­ груэнтны и, как мы увидим ниже, так это на самом деле и есть.

462

Но мы не считаем, что угол на этом рисунке высекает жир­ ную дугу.

Определение, которое мы даем ниже, охватывает первые четыре случая, но исключает пятый.

3°. каждая сторона угла содержит какой-нибудь конец этой дуги.

1 Чаще говорят, что данный угол опирается на соответствующую дугу.

463

Теорема 14.18

Мера вписанного угла равна поло­ вине меры высекаемой им дуги.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть

£ А вписан в дугу ВАС некоторой ок­ ружности и высекает дугу ВС. Тогда

т £ А = * ~ тВС.

По следствию 9.13.3

г= s -f-1.

Всилу теоремы о равнобедренном тре­ угольнике t = s. Следовательно,

1 теорема верна. При рассмотрении каждого из следующих случаев мы вос­ пользуемся этим фактом.

метра, проходящего через А, как на рисунке.

Из случая 1 мы знаем, что

Поэтому

t + и = ~ (r-f-s). \

Но

t -\-и = т £ А и rA-s = mBDC.

(Основание в каждом из этих случаев?) Следовательно, как и раньше,

т £ А = ~ т ВС.

464

Но мы знаем (случай 1), что

t-\-u = ^{r-\-s)

и

Поэтому

и, как и раньше, т / _ А — ^ т В С (Осно­

вания для каждого шага?) Теорема 14.16 имеет два важных следствия.

Следствие 14.16.1

Любой угол, вписанный в полуокруж­ ность, является прямым. Доказательство очевидно: такой угол всегда высекает по­

луокружность, а 90 = у - 180.

Следствие 14.16.2

Каждые два угла, вписанные в одну и ту же дугу, конгруэнтны.

Это снова очевидно: они высекают одну и ту же дугу.

Определения

Говорят, что четырехугольник в п и с а н в некоторую окруж­ ность, если все его вершины лежат на этой окружности. Говорят, что четырехугольник о п и с а н около окружности, если каждая его сторона касается этой окружности *.

1 То есть прямая, содержащая ату сторону, касается окружности и точка касания лежит на этой стороне.

465

466

7. Д а н о . Р — центр полуокружности A B ; отрезок

А С делится пополам радиусом P R , а отрезок

В С — радиусом PQ.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . P R J_ PQ-

8. Докажите, что если две окружности внутренне касаются и если меньшая окружность содержит центр большей, то любая хорда большей окруж­ ности, имеющая одним концом точку касания, делится меньшей окружностью пополам.

9. Дан рисунок, где т AG — m B G . Докажите, что

10. Докажите, что параллельные хорды в любой окружности высекают дуги, имеющие равные меры.

11.Докажите следующую теорему:

Диам ет р окружност и, перпендикулярный хорде,

делит пополам каж ду ю дугу, определяемую кон­ цами этой хорды.

12. Докажите, что если угол, вписанный в дугу окружности,— прямой, то эта дуга является по­ луокружностью.

15*. Докажите, что если диаметр A B окружности

перпендикулярен хорде CD в точке Е, то

СЯ2= 4Л£-Д£.

16. Докажите следующую теорему:

17.Чему равны т Z. Q, т /. R я т Z. S на этом рисунке, если т L Р = 60 и m P S R = 128?

467