книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

17*+. Напишите уравнение плоскости, определяемой тремя точками:

19*+ . На этом рисунке А В, CD и Ë F — соответственно проекции прямой PQ на

438

§ t. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Грубо говоря, окружность —это граница круга на плоскости, а сфера—это поверхность шара в пространстве. Следующие опре­ деления выражают те же идеи на более точном языке.

R

Определение

Пусть Р — точка в данной плоскости и г —некоторое положи­ тельное число. О к р у ж н о с т ь ю с ц е н т р о м Р и р а д и у с о м г называется множество всех точек этой плоскости, расстояние которых от Р равно г.

Определение

Пусть Р —точка и г —некоторое положительное число. С ф е ­ рой с ц е н т р о м Р и р а д и у с о м г называется множество всех точек пространства, расстояние которых от Р равно г.

Две или более сферы или окружности, имеющие один и тот же центр, называются концентрическими.

На нашем рисунке Р —общий центр трех концентрических окружностей.

441

Хордой данной окружности назы­ вается отрезок, оба конца которого принадлежат этой окружности.

На нашем рисунке отрезок AB является хордой.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей этой окружности.

Таким образом, каждая хорда определяет некоторую секущую и каж­ дая секущая содержит хорду.

Точно так же хордой данной сферы называется отрезок, оба конца кото­ рого принадлежат этой сфере, а секу­ щей данной сферы называется прямая, имеющая с ней две общие точки.

Диаметром окружности или сферы называется хорда, содержащая ее центр.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр с ка­

Заметим, что слово радиус мы употребляем в двух смыслах, пони­ мая под ним или отрезок, или число; но из контекста должно быть ясно, что каждый раз имеется в виду. Точно так же если окружность имеет радиус г, то о числе 2г мы будем говорить как о диаметре этой ок­ ружности. Конечно, число 2г есть длина каждой хорды, проходящей че­ рез центр..

442

П о в т о р я е м . На рисунке число г есть радиус окружности, но и отрезки РВ

и Р А —ее радиусы, число 2г есть диаметр

этой окружности, но и отрезок А В —ее диа­

метр. Отрезок PC является радиусом этой окружности с внешним концом С.

Теорема 14.1

Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр, есть окружность с тем же центром и тем же радиусом.

Чтобы понять, почему это так, нам нужно только вспомнить определение сферы и определение окружности. Пусть даны сфера S с центром Р и радиусом г и плоскость Е, проходящая через Р. Тогда S —это множество всех точек пространства, расстояние кото­ рых от Р равно г. Пересечение S и Е является множеством всех точек плоскости Е, расстояние которых от Р равно г. Но это и есть окружность с центром Р и.радиусом г.

Зная это, мы можем дать следующее определение.

Определение

Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр, называется б о л ь ш о й о к р у ж н о с т ь ю 1 этой сферы.

Для этого термина есть и другое основание: большие окруж­ ности—это наибольшие окружности, лежащие на сфере. Напри­ мер, если мы проведем обычным образом, как на глобусе, мери­ дианы и параллели, то меридианы и экватор будут большими окружностями, а остальные параллели — не будут. Все эти парал­ лели меньше экватора, а вблизи Северного и Южного полюсов они становятся очень маленькими.

1Более распространен традиционный мотный») термин «большой круг*

443

окружности.

3.Следующее предложение содержит слово «диаметр» дважды; объясните, как его в каждом случае нужно понимать.

Хот я окруж ност ь м ож ет иметь только один диамет р, он а имеет и бесконечно много диаметров.

a)Если радиус окружности делит пополам ее хорду, то он перпендикуля­ рен этой хорде.

B ) Пересечение прямой с окружностью может быть пусто. c) Д ве окружности могут пересекаться ровно в трех точках.

d) Прямая может иметь с окружностью ровно одну общую точку.

g)Секущая, являющаяся медиатрисой некоторой хорды данной окружно­ сти, содержит центр этой окружности.

8.Докажите, что диаметры окружности являются ее наибольшими хордами.

A C BD является прямоугольником.

10. Докажите, что если две конгруэнтные хорды не­ которой окружности имеют общий конец с ее диа­ метром и пересекают ее по разные стороны от этого диаметра1, то они определяют с этим диа­ метром конгруэнтные углы.

444

§ 2. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ОКРУЖНОСТИ

Во всем этом параграфе речь будет идти об окружностях, при­ надлежащих некоторой фиксированной плоскости.

Определение

В н у т р е н н о с т ь ю окружности называется множество всех точек пло­ скости, расстояние которых от центра

Таким образом, каждая точка плоскости лежит или внутри окружности, или вне ее, или же она принадлежит данной окруж­ ности. (Мы говорим, что точка лежит внутри окружности, если она принадлежит внутренности этой окружности, и что точка лежит вне окружности, если она принадлежит ее внешности. На­ помним также, что 0 и, значит, центр окружности всегда лежит внутри ее.)

Определение

К а с а т е л ь н о й к окружности на­ зывается (принадлежащая той же пло­ скости) прямая, имеющая с окружностью одну и только одну общую точку. Эта точка называется то ч к о й к а с а н и я .

Мы будем говорить, что прямая и окружность касаются в этой точке.

Каждая окружность имеет касательную во всякой своей точке. В этом можно убедиться из следующей теоремы:

Теорема 14.2

Прямая, перпендикулярная радиусу окружности в его внешней точке, яв­ ляется касательной к этой окружности.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / —

перпендикуляр к радиусу PQ в точке Q. Нам нужно показать, что никакая дру­ гая точка прямой I не лежит на нашей окружности.

445

Пусть R — любая другая точка прямой I. По первой теореме о минимуме (теорема 7.7) кратчайший отрезок, соединяющий точ­ ку Я с прямой /, есть перпендикулярный отрезок. Поэтому PR>PQ. Следовательно, PR > г и точка R не лежит на нашей окружности;

Rлежит вне ее. Верно и обратное:

Теорема 14. 3.

Каждая касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

Д

Ѳ

'Q

радиусу PQ. Мы покажем, что это предположение приводит к про­ тиворечию.

Пусть F —основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности Р на прямую I. Тогда F ^ Q . Пусть R — точка на

так как / — касательная. Поэтому наше предположение было оши­

бочно и I _[_ PQ в точке Q, что и требовалось доказать.

Две окружности на левом рисунке касаются одна другой внут­ ренне, а на правом — внешне.

446

Определение

Говорят, что две окружности к а с а ю т с я , если они касают­ ся одной и той же прямой в одной и той же точке. Если две ка­ сающиеся окружности компланарны и их центры лежат по одну сторону от их общей касательной, то говорят, что они к а с а ­ ю т с я в н у т р е н н е . Если две касающиеся окружности компланар­

полните следующие утверждения.

Р В .)

5.Докажите, что касательные к окружности, про­ веденные в концах ее произвольного диаметра, параллельны.

6.На рисунке показано одно из возможных рас­ положений трех окружностей, имеющих раз­ личные радиусы, при котором каждая из этих окружностей касается двух других. Сделайте рисунки, показывающие, по крайней мере, еще три другие возможности.

7.Докажите следующую теорему:

Если две окружности касаются, то их центры коллинеарны с точкой их касания.

( У к а з а н и е . Проведите их общую касательную .)

447