|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Если |
СМ — медиана |
стороны |
A B в |
|
|
|
Д А В С , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АС12+ ВС2= |
~ А В * + |
2СМ2. |
|
|
|
|
( У к а з а н и е . |
За |
точку |
(0, |
0) |
примите |
|
|
|
середину стороны |
A B .) |
|
|
|
|
|
|
10. |
В любом треугольнике |
квадрат стороны, противоположной острому углу, |
|
равен |
сумме квадратов |
двух других сторон минус удвоенное произведение |
|
одной из этих сторон на проекцию второй |
стороны на |
эту сторону. (Т ре- |
|
б у е т с я д о к а з а т ь . |
АС2 = |
А В 2 + В С 2 — 2А В ■D B . |
В каком месте вы |
|
числений вам |
потребуется |
предположение, |
что t В — острый?) |
11. Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диа
гоналей. |
|
12*. Сумма квадратов |
сторон любого четырехугольника равна сумме квадра |
тов его диагоналей |
плюс учетверенный квадрат длины отрезка, соединяю |
щего середины диагоналей.
13+. Докажите, что все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда1 конгруэнтны и имеют общую середину.
§ 9. УСЛОВИЕ И ЕГО ГРАФИК |
|
Под графиком мы понимаем |
некоторую |
фигуру, принадлежа |
щую данной плоскости, т. е. |
некоторое |
м н о ж е с т в о точек . |
Таким образом, углы, треугольники и полуплоскости являются графиками; это же относится и к отрезкам, лучам и пря мым.
Термин «график» обычно употребляют, когда хотят описать данную фигуру условием, которому удовлетворяют все точки этой фигуры и только они 2. Вот несколько примеров.
|
|
Условие |
1. |
у > |
0. |
2. |
X > |
0. |
3. |
х = |
0. |
4. |
X > |
0 и у > 0. |
5. |
X= |
1. |
6. |
х = |
3. |
7. |
1 < |
X < 3. |
График
Полуплоскость, лежащая над осью х. Полуплоскость, лежащая справа от оси у. Ось у.
Первая четверть.
Вертикальная прямая, проходящая через (1, 0). Вертикальная прямая, проходящая через (3, 0). Бесконечная полоса, заключенная между пря
мыми, описанными условиями 5 и 6.
1 Определение прямоугольного параллелепипеда |
см. |
на стр, 555. |
2 В |
нашей литературе вместо термина «график» |
часто |
употребляется выра |
жение |
«геометрическое место точек». |
|
|
В каждом из этих случаев мы говорим, что данная фигура яв ляется графиком условия, которое ее описывает. Таким образом, каждая из этих семи фигур является графиком соответствующего условия.
П о в т о р я е м : график некоторого условия — это множество всех точек, удовлетворяющих этому условию.
Чаще всего этим термином пользуются, когда данное условие, как в наших примерах, выражено алгебраически, на языке системы координат. Когда условие сформулировано в виде некоторого урав нения, естественно говорить, что рассматриваемая фигура является графиком этого уравнения. Например, вертикальная прямая, про ходящая через точку (1, 0), является графиком уравнения х =1 . Подобным же образом первая из наших семи фигур служит гра фиком неравенства у > 0 .
Задачи к |
§ 9 |
|
|
1. |
В одной и той же системе координат нарисуйте графики следующих условий: |
|
а) |
х = 5; |
Ь) |
х < — 2; |
с) |
у ^ 4; d) у = 0. |
2. |
В |
одной |
и той же системе координат нарисуйте множество точек, описывае |
|
мых следующими условиями: |
|
а) |
| * | = 2; |
Ь) \у\ < |
1; |
с) |х\ 2s 3. |
3.Нарисуйте объединение графиков уравнений х = 3 и у = 2. Какое они имеют пересечение?
4.Даны условия:
Is. X — положительное число; 2‘ä. у — положительное число.
a) |
Нарисуйте |
объединение графиков |
условий 1° и 29. |
B ) |
Нарисуйте |
пересечение графиков |
этих условий. |
5.Нарисуйте пересечение графиков сле дующих четырех условий:
* Э = 0; |
у'З? 0; у sg 4 . |
Опишите это пересечение словами.
6. Сформулируйте условия, описываю щие область, изображенную на ри сунке.
7.Нарисуйте график и найдите площадь пересечения множеств всех точек, удовлетворяющих условиям:
— 1sS X sS 3 и — 2 ^ у ^ 5 .
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Расстояние от точки |
Р (х, у) до |
А (1 , |
0) равно расстоянию |
от Р до В (7, 0). |
|
Напишите уравнение, выражающее его условие. Сколько таких точек суще |
|
ствует? Нарисуйте множество всех таких точек Р. |
|
9. |
Напишите уравнение |
для множества |
всех точек Р (*, у), |
равноудаленных |
|
от точек А (0, 6) и 5 ( 6 , 0). Нарисуйте график. |
|
10*. Нарисуйте |
график |
уравнения |
у = \х\. |
|
11*. Нарисуйте |
график |
уравнения |
у — — ( * ( , |
|
12+. Точка Р ( х , |
у) лежит между точками Л( 1, |
3) и В (8, 6). Пользуясь |
фор |
мулой расстояния и определением понятия |
«между», |
напишите уравнение, |
выражающее это условие, наложенное на точку Р. |
|
|
13*+. Пусть Р = |
(х, у), Л = (а, с) и В = ф , d). Какое условие выражается |
урав |
нением |
Ѵ(х-а)* + (у-с)* + Ѵ (х-Ь? + ( у - ф |
= |
|
|
|
= V ( a - f c )2+ ( c - d ) 2 ?
14*+. В одной и той же системе координат нарисуйте множества всех точек
Р (X, у), удовлетворяющих условиям:
a) V (*-3)2 + (y+ 2)2 + / ( x - 7 ) 2 + G /-l)2 = 5;
|
|
|
|
|
|
|
|
b) V |
J x - 8 )2+ (r/ + |
2)2= |
V (х-7)2 + ( ! /- т |
J 5 * +. На |
этом рисунке |
плоскость Е |
па |
раллельна плоскости хОг, а плоскость |
F — плоскости уОг. |
Плоскости Е |
и F |
пересекаются |
по прямой |
A B . |
Прямая |
CG |
лежит в |
плоскости |
Е , а |
прямая |
СН — в |
плоскости F , и обе они лежат |
в плоскости |
хОу. |
|
|
|
|
a) Какие координаты имеет точка С?
B ) Графиком какого уравнения яв ляется плоскость £ ? плоскость F ?
c)Графиком какого условия является прямая Л В?
d)Графиком какого условия являет ся точка С?
І 6* +. Дана система координат в трехмерном |
пространстве. |
Какие множества |
точек являются графиками следующих условий: |
|
а) |
г = |
0; |
|
Ь) х= 0; |
с) |
£/ = 0; |
d) |
г/= |
3; |
|
е) г = |
5; |
0 |
\У 1 - 2 ; |
g) х = 0 и у — 0; |
h) л: = 3 и 2= 0; |
|
|
i) I г/1= 2 и г = 0; |
j) лг = -3 и у = 2? |
|
|
§ 10. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ |
|
|
Легко описать уравнением вер |
|
|
тикальную прямую. |
|
|
|
|
Если |
эта |
прямая |
пересекает |
|
|
ось X в |
точке |
(а, 0), |
то она |
яв |
|
|
ляется графиком уравнения
х — а.
Для невертикальной прямой нужно воспользоваться понятием подъема. Допустим, что прямая /
проходит |
через точку Р1 — (х1, уг) |
и имеет |
подъем т. |
Если Р = {х, у) — любая другая точка прямой /, то
так как все отрезки, принадлежа щие I, имеют подъем т.
Конечно, этому уравнению не удовлетворяет точка Рѵ так как
при х —хх и у = уг дробь превращается в бессмысленное выраже ние 0/0, которое не равно т (и вообще ни чему в точности не равно). Но это легко исправить. Умножая на х —xlt мы получим
у — і/1 = т(х — х1).
Эта операция добавляет к графику одну точку, любая точка пря мой I, отличная от Рѵ удовлетворяет новому уравнению, потому что она удовлетворяла старому. Но ему удовлетворяет и точка Рѵ так как при х —хх и у = уг мы получаем 0 = т • 0, а это равенство, конечно, верно. Запишем этот результат в виде теоремы:
Теорема 13.7
Пусть I —прямая с подъемом т, проходящая через точку (х{, Уз). Тогда каждая точка (х, у) прямой I удовлетворяет уравнению
у — у1 = т (х— х1).
Заметим, что эта теорема не у т в е р ж д а е т , что / есть график выписанного выше уравнения. А последнее мы еще фактически и не доказали: мы доказали лишь половину этого утверждения. Когда мы говорим, что прямая / есть график уравнения, то мы подразумеваем две вещи:
1°. Каждая точка прямой / удовлетворяет этому уравнению. 2°. Каждая точка, удовлетворяющая этому уравнению, принад
лежит I.
Пока мы доказали лишь утверждение 1°. Докажем теперь утвер ждение 2°.
jf'
/ ж Р(х,у)?
Допустим, что Р (х, у) — точка, для которой
у — у1 = т(х — х1).
Если х = х{, то у —Ух и точка |
Р принадлежит I. Если же хфХх, |
то отрезок PjP не вертикален |
и его подъем равен |
Следовательно, прямые РгР и / имеют один и тот же подъем, т. е. они или параллельны, или совпадают. Но параллельными они быть не могут, так как обе они содержат точку (хъ Ух). Таким обра
зом, РгР и есть прямая /, а значит, точка Р принадлежит /. Это дает нам теорему, которая звучит проще и утверждает
больше, чем предыдущая теорема.
Теорема 13.8
Графиком уравнения
у — У х ^ т ( х — Хх)
является прямая, проходящая через точку (х1г Ух) и имеющая подъем т.
Уравнение, о котором говорится в этой теореме, называют
уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном на правлении.
Если мы знаем координаты двух точек какой-либо прямой, то легко найти ее уравнение.
Допустим, например, что прямая проходит через точки
Рх (2,1) и |
Р%(5,3). |
Тогда |
ее подъем |
равен |
т- |
3 - 1 |
2 |
■ |
|
5 — 2 |
3 |
Подставляя в уравнение прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении, Р1(2,1) 2
и т — -д, получаем
Это уравнение можно упростить, заменив его эквивалентным первоначальному уравнением
|
|
3у — 3 ~ 2х —4, |
|
|
|
или |
|
2х—Зу= 1. |
|
|
(2) |
|
|
|
|
Заметим, однако, что хотя уравнение (2) «проще» |
уравнения |
(1), его не так легко |
истолковать. Пользуясь |
теоремой |
13.8, |
мы |
сразу |
можем сказать, |
что графиком уравнения |
(1) является |
пря- |
мая, |
проходящая через точку (2,1) и имеющая подъем |
2 |
Для |
у . |
упрощения уравнения (2) все это далеко не так очевидно. Если дано уравнение в том
виде, как в теореме 13.8, то легко нарисовать его график. Возьмем, например, уравнение
У—3 = 2 {х-\-1).
Сразу видно, что график содер жит точку (— 1,3). Чтобы нари совать прямую, остается только узнать еще одну ее точку. (По чему?) Полагая х = 0, нахо дим
У—3 — 2(0-f 1),
или
г/= 5.
Следовательно, точка (0,5) принадлежит нашему графику. Поскольку мы с самого начала знаем, что графиком является прямая, мы можем теперь ее провести с помощью линейки. Однако на прак тике не плохо проверить себя, подсчитав координаты какой-либо третьей точки. Полагая, например, у = 0, получаем
0 — 3 = 2 (х + 1),
откуда
Следовательно, точка (— oj лежит на нашем графике, что и
показывает рисунок.
Следующая теорема легко вытекает из теоремы 13.8.
Теорема 13.9
Графиком уравнения
у = тх-\-Ь
является прямая, проходящая че рез точку (О, Ь) и имеющая подъем т.
В самом деле наше уравнение можно записать так:
у — Ь — т (х—0).
Уравнение у — тх-\- b называют «уравнением прямой с подъемом» (или «уравнением с угловым коэффициентом»). Для многих целей оно наиболее удобно.
Мы можем теперь нарисовать график уравнения
У = \х\,
пользуясь следующим методом. Сначала мы нарисуем (см. слева) графики уравнений у —х и у = — х.
Вспомним теперь, что абсолютная величина | х | определяется следующими условиями:
1°. |
при |
х ^ О |
\х\ = х; |
2°. |
при |
х ^ О |
Iл;I = — X. |
Это значит, что |
правее оси у |
наш график принадлежит |
прямой /ъ но не прямой /2; левее же оси у наш график, напротив, принадлежит прямой /2, но не Іх. Таким образом, график выглядит так, как изображено на правом рисунке.
Легко видеть, что два луча на этом рисунке перпендикулярны. Следовательно, графиком уравнения у = \х\ является прямой угол.
Задачи к § 10
1. Ниже записаны уравнения прямой, проходящей через данную точку в дан ном направлении. Для каждого уравнения определите подъем прямой и две ее точки и нарисуйте прямую:
а) |
у - |
3 = 2 (X — 4); |
|
Ь) |
у - 1= | - (де — 6); |
с) |
і/ + 6 = — ~ ( х — 8); |
|
d) |
у — 5 = 3х; |
|
е) |
у = — 2 ( * + |
3). |
|
|
|
|
2. Напишите уравнение прямой, |
проходящей |
через точку Р и имеющей подъем |
т, |
если |
дано, |
что |
|
|
|
|
а) Р = ( 4 , 1 ) и m = 3 ; |
|
b) P = ( ^ - t — 4^ и т = — 2; |
с) |
Р = |
(8,2) |
и |
/я — І |
; |
d) |
Р = ( - 4,0) |
и т = | - ; |
е) |
Р = |
(— 6,5) |
и т = |
0. |
|
|
|
3.Для каждой пары точек сначала найдите подъем содержащей эти точки прямой, а затем напишите уравнение прямой:
a) (5,2) и (2,8);
B ) (2,4) и (4,5);
c)(0,0) и (1,5);
d)(2,7) и (— 8,5);
e)( - 6 , 0 ) и (0,4);
f) |
(9, - 1 5 ) и |
(12, - 1 8 ) ; |
|
|
g) |
( - 4 , |
- 1 3 ) |
и |
(19,33); |
|
|
h) (| /2 , У 8 ) и ( - К 8 , - Ѵ Т ) . |
|
|
4. Джоан и Эл |
сравнили свои решения задач из домашней работы. Была |
задана |
такая задача: |
|
|
|
«Напишите уравнение прямой, проходящей |
через точки (2, — 5) и (8,7)». |
Джоан |
получила |
уравнение (/ + 5 = |
2 (х — 2), |
а у Эла получилось у — 7 = |
= |
2 ( х — 8). Чей |
ответ был правильным? Объясните. |
5. Для каждого |
из приведенных ниже уравнений прямой с подъемом найдите |
подъем и точку пересечения прямой |
с осью у и нарисуйте прямую: |
а) |
у = 22* + 6; |
|
b) у — — 2* + 6; |
|
|
с ) ( / = - д Х ; |
|
d) j/ = 2x — 6; |
|
|
е) |
y = |
j x |
— 6. |
|
|
|
|
6. Напишите уравнение прямой с подъемом — 5, содержащей точку (0,4).
7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (7, — 6) и парал лельной прямой с уравнением
У ~ ~ 2 x - j - 1.
8. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку ( — 2,0) и перпенди кулярной прямой с уравнением
У = - ^2х , +0 6.
9. В одной системе координат нарисуйте графики уравнений
У = 3, У= х + 3, |
у — 3 = |
~ (х 8). |
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти пря мые?
B ) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими тремя пря мыми.
10*. В одной системе координат нарисуйте графики уравнений
y = — - j x + 4, |
у = -j X + 4, |
у + 1 = — I (JC— 10). |
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти пря мые?
B ) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими тремя пря мыми.
11*. Нарисуйте график уравнения х = \ у |.
12*. Нарисуйте график уравнения \х\-\-\у\ — ^.
І3+ . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки (а, 0) и (0, 6) можно записать в виде
|
|
|
І |
+ |
1 - І |
( а . Ь ф 0). |
|
Объясните, |
почему |
уравнение в такой |
форме называется «уравнением |
пря |
мой в отрезках на осях (координат)». |
|
|
|
14+. Пользуясь |
задачей |
13, |
напишите уравнение |
прямой, пересекающей |
ось х |
при х = 5 и ось у при у = |
3. |
Проверьте |
свое уравнение с помощью уравне |
ния прямой |
с подъемом |
или |
уравнения |
прямой, проходящей через данную |
точку в данном направлении. |
|
|
|
|
15*+. |
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Злг-f- 6у-\ -2г— 12 |
|
|
в |
системе координат |
в |
пространстве является |
уравнением некоторой |
пло |
скости, пересекающей каждую из осей координат. Какие координаты имеют точки пересечения этой плоскости с осями?
16*+. На этом рисунке |
плоскость |
К |
пересекает |
оси в |
указанных |
точках. |
Вот |
уравнение плоско |
сти |
К '■ |
|
|
|
|
|
6 * + 4г/-(-9г = |
36. |
a) Напишите |
|
уравнения пря |
|
мых, |
по которым плоскость |
|
К пересекается с каждой ко |
|
ординатной |
плоскостью. |
B ) |
Покажите, |
|
что |
уравнение |
|
плоскости |
К |
можно перепи |
|
сать |
в виде |
|
|
X
6
