книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

c)* Найдите площадь треугольника.

418

§ 7. ФОРМУЛА СЕРЕДИНЫ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Рассмотрим отрезок РгР2, принадлежащий оси х. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют координаты,

указанные на рисунке. Будем считать, что х1 < х 2. Тогда довольно легко сообразить, как выразить х через хг и х2. Мы хотим, что­ бы было

РгР = РР2.

Так как

РР2= I *„ ■• Х | = Х 2 — X,

то наше первое равенство означает, что

х —х1 = х2~ х , или X =

Эта формула годится и в случае, когда х2 < х ѵ (Доказательство? Если мы поменяем местами хх и х2, то не изменится ни задача, ни ее ответ.)

1 Близкую к этой схеме планировку имеет Нью-Йорк (см. «карту» на стр. 394). 2 В связи с содержанием этой задачи см. брошюру: Ю . А. Ш р е й д е р .

Что такое расстояние? М ., Физматгиз, 1963.

После того как мы нашли формулу для середины отрезка, принадлежащего оси х, легко перейти и к общему случаю.

Если точка Р является серединой отрезка РХР2, то точка М является серединой отрезка М ХМ2. (Почему?) Следовательно,

„ _* 1 +

2 '

Точно таким же образом мы получим, что

____ У і + У і

У — 2 *

Все это мы объединим в следующей теореме:

Теорема 13.5 (формула середины)

Даны точки Рх (хх, у х) и Р2 (х2, у 2). Серединой отрезка РХР2 является точка

Р — (х і + х * л НКуЛ

*г ~ \ 2 * 2 )•

динату точки Р, делящей отрезок РХР2 в отношении г к 1. Иными словами, требуется, чтобы было

или РхР = г РР 2.

Если ххс х 2, как на нашем рисунке, то это означает, что х — хх==

= г (х2— х), или х-\~гх—хх-\-гх2. Отсюда

_ Х у + П С з

1 + г *

420

мхм

мм , Г,

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема 13.6

Если точка Р лежит между точками Рх и Р2 и

1. Найдите координаты середины каждого из отрезков на этом рисунке:

421

2.Пользуясь формулой середины, найдите координаты середины отрезка, соеди­ няющего следующие точки:

9. Даны точки G ( — 5, 8), К (2, а) и Н (b, 1). Найдите а и Ь так, чтобы К

была серединой отрезка GH.

10. Прямолинейный отрезок имеет серединой точку М (3, — 5) и одним из своих концов точку А (2, — 4). Какие координаты имеет другой его конец ß?

11. Дан четырехугольник с вершинами Л (3, — 2), ß ( — 3, 4), С( 1, 8) и 0 ( 7 , 4 ) .

Точки W , X, Y и Z являются соответственно серединами отрезков A B, ВС,

CD и DA.

a) Найдите координаты точек W, X, К, Z.

B ) Найдите периметр □ WXY Z .

c) Найдите угловые коэффициенты отрезков W X и YZ.

422

c)Найдите координаты точек P ' , Q ', А и К-

d)Найдите координаты точек В, С, Н и М ' .

e)Найдите координаты середины М отрезка PQ.

423

17+ . Установите общую формулу для координат середины М отрезка, соеди­ няющего точки Р (хі, уі, Zj) и Q (*2, Уг, z2), опираясь на наблюдения, сделанные вами при решении задачи 16.

18+. Найдите координаты середины отрезка, соединяющего точки

d) ( З У Х 2 у Т б , - 5 ѴТ) и ( - К 2Г 0, ^ 2 7 ) .

§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

В этом параграфе мы увидим, как можно использовать коорди­ наты для доказательства геометрических теорем. Главная цель параграфа состоит в том, чтобы проиллюстрировать один момент доказательства теорем. Этот метод будет легче понять, если наши первые примеры будут простыми. По этой причине вначале мы применим его к нескольким уже известным нам теоремам.

С

Теорема А

Середина гипотенузы прямо­ угольного треугольника равноуда­ лена от его вершин.

Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и начала координат, при котором алгебраичес­ кие выкладки становятся возможно более простыми. Для нашей задачи удачный выбор системы координат показан на следующем рисунке. Таким образом, начало координат мы помещаем в точку

дины D ~(a(2, bl2). Теперь

424

координат и по-другому. Не менее простые схемы видны из рисун­ ков.

Если, однако, выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную.

Чтобы начать доказательство исходя из этого рисунка, нужно найти способ, позволяющий выра­ зить алгебраически, что Д АВС

имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень-то просто и не особенно приятно.

Пользуясь системой координат для доказательства каких-либо утверждений относительно парал­ лелограммов, мы почти всегда вы­ бираем оси так, как показано здесь. Если дан параллелограмм ABCD, то мы помещаем начало коорди­

нат в вершину А, а оси проводим так, чтобы вершина В при­ надлежала положительному лучу оси х, а вершины С и D —верх­

ней полуплоскости. Тогда подъем отрезка ÄB равен 0 и AB j| CD. Поэтому и подъем отрезка CD равен 0, или

425

Следовательно, мы можем на ри­ сунке заменить е на с. (Почему?) Мы также утверждаем, что

d = а + Ъ.

Если стороны AD и ВС не верти­ кальны, то они имеют подъемы и эти подъемы одинаковы. Таким образом,

с—0 с —О

Ь — 0 d—а ’

То есть b — d —а и d —a + b.

Если стороны AD и ВС верти­ кальны, то и

Ѵ(а + Ь — 0)2 + (с—0)2 = ѴѴ —b f + (0 — cf,

или

(іа-f b f + с2 = (а — b f + с2,

или, наконец, а2 + 2аЬ + Ь2+ с2 = а2 — 2ab-\-b2-\-c2.

426

Приведенные ниже задачи дадут вам возможность немножко попрактиковаться в применении метода координат. Поэтому, ре­ шая эти задачи, вы должны стараться переложить большую часть работы на алгебру, пользуясь иллюстративными примерами из этого параграфа как Моделями.

Задачи к § 8

Докажите следующие теоремы, пользуясь методом координат.

1.Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (иными словами — имеют общую середину).

2, Диагонали прямоугольника на рисунке слева имеют равные длины.

4. Диагонали ромба перпендикулярны. ( У к а з а н и е . Пусть ромб имеет вер­ шины (0, 0), (а, 0), (а + 6, с) и (6, с). Проверьте, что подъемы диагоналей обратны по величине и противоположны по знаку.)

5.Средняя линия трапеции парал­ лельна ее основанию, а длина сред­ ней линии равна полусумме длин оснований.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований.

7.Отрезки, соединяющие по порядку середины смежных сторон произ­

вольного четырехугольника, обра­ зуют параллелограмм. ( З а м е ч а ­ н и е . Как бы ни был «наклонен» четырехугольник, мы можем вы­ брать наши оси так, чтобы одной его вершиной была точка (0, 0), а одна его сторона шла по оси х.)

8. Отрезки, соединяющие по порядку середины смежных сторон равно­ бедренной трапеции, образуют ромб.

427