книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Эти соображения позволяют легко понять, почему верна

408

Теорема 13.1

Все отрезки, принадлежащие данной (невертикальной) прямой, имеют один и тот же подъем.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если прямая горизонтальна, то это утверждение очевидно, потому что все принадлежащие ей отрезки имеют нулевой подъем. Более содержательные случаи изобра­ жены на рисунках.

В случае 1 мы имеем

A P ß P ^ A P i R ’P,,

так что

Следовательно, отрезки РгР2 и РjPâ имеют один и тот же подъем.

В случае 2 мы также имеем

A P 1RP2r ^ A P ’lR'Pi.

Это дает, как и раньше,

Но отсюда сразу следует требуемое утверждение, так как подъемы наших двух отрезков равны этим двум отношениям, в з я т ы м со з н а к о м м и н у с .

После того как мы доказали теорему 13.1, мы можем гово­ рить не только о подъемах отрезков, но и о подъемах прямых.

409

надлежащего этой прямой отрезка.

Так, угловой коэффициент прямой I на этом рисунке равен

Задачи к § 4

1.Для каждого из этих рисунков ответьте на следующие вопросы:

a)Какие координаты имеют точки А, В и С?

B ) Чему равно ВС? Чему равно Л В?

c)Чему равен подъем отрезка АС?

2.Нарисуйте систему координат. Изобразите четыре точки А, В, С и D пло­ скости, имеющие х-координату 3. Изобразите четыре точки Р , Q, R и S плоскости, имеющие «/-координату — 2. Выпишите около каждой точки ее координаты.

410

У

411

14.Прямая, имеющая подъем — 1, содержит точку (— 2, 5). Какую (/-коор­ динату имеет точка этой прямой с «-координатой 8?

15.Нарисуйте систему координат. Проведите через начало координат прямую,

жат на прямой с подъемом — О содержащей точку ( — 3, 1).

§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Зная подъемы двух (невертикальных) прямых, можно довольно легко сказать, будут ли эти прямые параллельны.

1 °. Если две (невертикальные) прямые параллельны, то они имеют один и тот же подъем.

412

Так как знаменатели здесь одинаковы, а числители различны, то

т = £ т ' .

Соединяя эти два утверждения, получаем следующую теорему:

Допустим теперь, что мы имеем две п е р п е н д и к у л я р н ы е прямые, пересекающиеся в точке Р (причем ни одна из них не вер­ тикальна).

На одной из этих прямых выше и правее точки Р возьмем точку Q и построим прямоугольный /\P Q R- Затем на другой пря­

Но угловой коэффициент прямой I равен

т _RQ

P R ’

а угловой коэффициент прямой I'

Значит,

т ' = — т ‘

413

Иными словами, подъемы перпендикулярных прямых обратны по ве­ личине и противоположны по знаку.

Тот же рисунок годится и для обратного рассуждения.

Если дано, что т '— — \/т, то, как и раньше, построим A P R Q . Затем возьмем точку R’, для которой R'P — RQ, и достроим пря­ моугольный Д Q'R’P с вершиной Q', лежащей на прямой I. Тогда, как и раньше, имеем

A P R Q ^ A Q ’R’P-

Следовательно, /_ 1 и /, 2 дополнительны и В результате этого обсуждения мы приходим к следующей

теореме:

Теорема 13.3

Лее (не вертикальные) прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если их подъемы обратны по величине и противоположны по знаку.

Обе последние теоремы не применимы к тому случаю, когда одна из двух данных прямых в е р т и к а л ь н а . Но для верти­ кальных прямых все ясно. Если прямая I вертикальна, то параллельными ей будут просто другие вертикальные прямые. А перпендикулярны вертикальной прямой все горизонтальные прямые.

Какие из них перпендикулярны?

2.Рассмотрим точки А ( — 1,5), В (5,1), С ( 6 , - 2 ) и D (0,2). Найдите подъемы

прямых A B, ВС, CD и AD. Является ли четырехугольник □ AB CD параллелограммом?

414

3. Не рисуя точек, определите, какие из четырехугольников с заданными вер­ шинами являются параллелограммами:

коэффициент, могут быть и не параллельны.)

9.Докажите, что треугольник с вершинами # ( — 12,1), К (9,3) и М ( 1 1 , - 1 8 ) является прямоугольным.

10.Покажите, что прямая, проходящая через точки (3п, 0) и (0, 7п), парал­

лельна прямой, проходящей через точки (0,21л) и (9л, 0).

12.При каком значении k прямая, содержащая точки (k , 3) и ( — 2,1), будет параллельна прямой, проходящей через точки (5, k) и (1,0)?

13. При каком значении k прямые задачи 12 будут перпендикулярны?

иR ( x , 0).

§6 . ФОРМУЛА РАССТОЯНИЙ

Если мы знаем координаты двух точек Рх и Р2, то эти точки вполне определены. Следовательно, определено и расстояние между ними (гл. 2, аксиома расстояния). Теперь мы установим способ, позволяющий в ы ч и с л и т ь расстояние Р ХР2 по координатам (*ь У\) и (хь уі) этих точек.

415

Пусть, как указано на рисунке, основания перпендикуляров, опущенных из точек Р, и Р.2 на оси координат,—это точки М и N 1 , ЛТ> и ІѴ2, далее, Р — точка, в которой пересекаются горизон­ тальная прямая, проходящая через Ри и вертикальная прямая, проходящая через Р.,. Тогда по теореме Пифагора

(ЛЛ)* = (ЛЯ)' + (ЯЛ)*.

Так как противоположные стороны прямоугольника конгруэнтны,

РіР = МіМа. По той же причине и РР2 =

Следовательно,

(Р^гУ = ( М , М ^ + (Ы^,у.

Но из аксиомы линейки мы знаем, что

— I х%—Xi j

и

N — I у.2—yt

Поэтому

{Р\Рз)2—\хі Х\ |2-(- Iу-і—г/, [3.

Так как квадрат числа совпадает с квадратом его абсолютной ве­ личины, это равенство можно переписать так:

(ЛЛ)® = (х9 —Хі)2+ (y-i—y i f .

Теперь уже почти все сделано. Поскольку Л Л 5 * 0 , мы полу­

чаем

ЛЛ= Л(хг—Хі)14- (у.г—у,)2.

Это и есть формула, которую мы хотели вывести. Таким об­ разом, мы доказали следующую теорему:

416

ргр г=, у а* + Ъ* =

—Y 52 4 - з2= ]/зТ .

Однако для того чтобы это увидеть, нам пришлось проделать все то же, что нужно для вывода нашей формулы. Основное достоинство вывода общих формул как раз и состоит в том, что мы проводим некоторое рассуждение лишь один раз, а при­ менять результат можем много раз, всегда, когда это нам по­ надобится, не повторяя каждый раз наше рассуждение снова и снова.

Задачи к § 6