книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

Восставим перпендикуляр в точке оси х, имеющей координату х —а. Сделаем то же самое в точке оси у, имеющей координату

3°. положительное направление на каждой из этих осей.

Как только мы это сделаем, на обеих осях будут определены системы координат, которые, в свою очередь, определят координаты

вать различие между точками и парами чисел. Это позволит нам употреблять такие удобные выражения, как «точка (2 , 3)» и «точка Р = (3, 4)».

Задачи к § 2

1. а) Укажите координаты каждой точки на этом рисунке.

B) Какие три точки коллинеарны? Какие они имеют координаты?

c) Назовите точки, лежащие в четверти I;

вчетверти IV.

2.Какие координаты имеет начало коорди­ нат?

3.Какую ординату имеет точка (3,-5)? точка (5,—3)? точка (— 5, 3)?

4.Рассмотрим точку С (4, 7). Какие коорди­ наты имеет ее проекция А на ось х? Какие

координаты имеет ее проекция В на ось у?

5. Ответьте на вопросы, поставленные в за­ даче 4, для точки D (— 4, 7).

398

9.Дополните: р-координата каждой точки оси х равна ... .

10.Рассмотрим точки

Л (5, 2), В (4, — 3), С (— 4, 4) и D ( — 3, — 5).

a)Запишите эти точки в том порядке, в котором идут (слева направо) их проекции на ось х.

B ) Расположите их в том порядке, в котором идут (снизу вверх) их про­ екции на ось у.

11.Прямые, проходящие через точку Р (5, 7) и перпендикулярные оси х и оси у, образуют вместе с этими двумя осями прямоугольник. Найдите его цериметр.

12.Найдите периметр прямоугольника, образованного осями координат и пер­

14.Расстояние между какими из следующих пар точек меньше: (3, 0) и (7, 0) или (3, 0) и (— 2, 9)?

15.Расстояние между какими из следующих пар точек больше: (2, 1) и ( 1, 2) или (2, 1) и (2, 0)?

каждой оси, а изображенные пункти­ ром прямолинейные отрезки— это пер­ пендикуляры, проектирующие каждую точку Р на соответствующую ось. Про­ екция данной точки на ось задает ее

координату, соответствующую этой оси: х-координату; (/-координату или г-координату. Таким образом, точка полностью определяется своими тремя

17+ . Если любая точка Р записывается в виде Р (х, у, г), то какой оси при­ надлежит каждая из точек:

Л (0, 3, 0), В ( - 2 , 0 , 0 ) , . С (0 , 0, 5)?

399

400

был одним из нескольких великих математиков-любителей. Он был государственным служащим и занимался математикой в свободное время. О своих открытиях он сообщал в письмах своим друзьям

иникогда не публиковал их в другой форме. Но многое из того,

очем сообщал в письмах Ферма, теперь включается во все учеб­

ники теории чисел.

Введение системы координат послужило основой для создания вскоре после этого Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Таким образом, Декарт являлся одним из тех, кого имел в виду Ньютон, когда он сказал, что своими заслугами обязан гигантам, на плечах которых он стоял.

§ 3. КАК ИЗОБРАЗИТЬ СИСТЕМУ КООРДИНАТ НА БУМАГЕ В КЛЕТКУ

Систему координат удобно изображать на бумаге в клетку. На такой бумаге отпечатаны вертикальные и горизонтальные линии,

- 2 - 3

Напомним, что мы вольны делать рисунки в каком угодно масштабе. Например, каждая из следующих фигур является «точ­ ным» изображением квадрата со стороной 1 .

401

необходимо указать, какой выбор мы сделали, выписав у осей

координат, нужно провести оси и указать масштаб.

Заметим, что мы можем провести оси на листе бумаги в любом из тех (или других) положений, что указаны на следующей странице.

Ни в одном из этих чертежей нет логической ошибки. Однако гораздо легче привыкнуть «читать» графики, если с самого начала условиться проводить ось X горизонтально, так, чтобы координаты

402

возрастали слева направо, а ось у —вертикально, так, чтобы координаты возрастали снизу вверх.

У

Заключительное предостережение. Вероятно, вы неоднократно встречали графики, где масштабы в горизонтальном и вертикаль­ ном направлении были выбраны независимо друг от друга.

Например, если мы захотим начертить график, показывающий рост цены на сыр (в долларах за фунт) за период от 1900 до 1960 г., то ни в какой связи между масштабами на горизонталь­ ной и вертикальной осях нет необходимости. (Ведь здесь масштабы служат для измерения совершенно разных вещей.)

Но иногда мы применяем систему координат для решения геометрических задач. В таких случаях, если масштабы на осях

403

Так, на этом рисунке цифры указывают, что PQ = 2 и PR = 2 . Следовательно, Д PQR должен быть равнобедренным. Но он, ко­ нечно, не выглядит равнобедрен­ ным, а Z Q и /_ R вовсе не ка­ жутся конгруэнтными. Это значит, что рисунок мы исказили. Чтобы избежать таких искажений, мы бу­ дем на каждой оси брать один и тот же масштаб.

b)ABCD-

3. Изобразите каждую из точек Р (0, 0), Q (3, 0) и R (0, 4). Найдите

a) периметр А PQR-,

b ) S A PQR .

4. Изобразите каждую из точек F (0 , 0), G (8, 0) и Я ( 8, — 6).

a) Найдите S A F G H .

b) Какую длину имеет отрезок К Я ?

b) Какую длину имеет отрезок Л Х?

9. Треугольник имеет вершины (0, 0), (0, 12) и (10, 0). Найдите длину медианы, проведенной к наименьшей стороне.

10. Изобразите каждую из точек А (— 3, — 4), В (— 3, 6) и С (4, 6). Найдите координаты такой точки D , что □ ABCD — прямоугольник.

404

13+. «Когда квадрат не является квадратом?» На этих рисунках масштабы вдоль оси X и вдоль оси у в каждом случае намеренно выбраны различными, чтобы получился искаженный рисунок предполагаемой фигуры. Какую фигуру предполагалось нарисовать в каждом случае?

14+ . Найдите периметр Q 4 B C D , изображенного на левом нижнем рисунке.

возьмите масштаб, составляющий 0,7 масштаба на других двух осях. Нане­

405

§ 4. ПОДЪЕМ (НЕВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПРЯМОЙ

Ось X и все параллельные ей прямые мы будем называть гори­ зонтальными; ось у и все прямые, ей параллельные, — верти­ кальными.

У ,

п

а, так как общим основанием перпендикуляров, опущенных из

Подъем первого отрезка равен 2; подъем второго равен — 2;

подъем третьего равен а подъем четвертого равен 0. Точнее:

1 Можно употреблять также термин н ак лон

406

Некоторые факты, касающиеся подъема отрезка, очевидны из определения.

1°. Если поменять местами точки Рх и Р2, то подъем отрезка останется прежним, так как

Иными словами, подъем отрезка не зависит от порядка, в кото­ ром берутся концы отрезка.

2°. С другой стороны, важно координаты в числителе и в зна­ менателе дроби брать в одном и том же порядке. Отношение

У х —У 2

мулы подъема всегда равен нулю, так что эта формула никакого числа не определяет. Такой вещи, как подъем вертикального отрезка, не существует1.

407