Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 6239 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Таблица тригонометрических отношений

г°	sin г®	cos г°	Ч г°
1°	0,017	1,000	0,017
2°	0,035	0,999	0,035
3°	0,052	0,999	0,052
4°	0,070	0,998	0,070
5°	0,087	0,996	0,087
6°	0,105	0,995	0,105
7°'	0,122	0,993	0,123
8°	0,139	0,990	0,141
9°	0,156	0,988	0,158
10°	0,174	0,985	0,176
11°	0,191	0,982	0,194
12°	- 0,208	0,978	0,213
13°	0,225	0,974	0,231
14°	0,242	0,970	0,249
15°	0,259	0,966	0,268 .
16°	0,276	0,961	0,287
17°	0,292	0,956	0,306
18°	0,309	0,951	0,325
19°	0,326	0,946	0,344
20°	0,342	0,940	0,364
21°	0,358	0,934	0,384
22°	0,375	0,927	0,404
23°	0,391	0,921	0,424
24°	0,407	0,914	0,445
25°	0,423	0,906	0,466
26°	0,438	0,899	0,488
27°	0,454	0,891	0,510
28°	0,469	0,883	0,532
29°	0,485	0,875	0,554
30°	0,5	0,866	0,577
31е	0,515	0,857	0,601
32°	0,530 •	0,848	0,625
33°	0,545	0,839	0,649
34°	0,559	0,829	0,675
35°	0,474	0,819	0,700
36°	0,588	0,809	0,727
37°	0,602	0,799	0,754
38°	0,616	0,788	0,781
39°	0,629	0,777	0,810
40°	0,643	0,766	0,839
41°	0,656	0,755	0,869
42°	0,669	0,743	0,900
43°	0,682	0,731	0,933
44°	0,695	0,719	0,966
45®	0,707	0,707	1,000

г°	sin г°	cos г°	tg r°
46°	0,719	0,695	1,035
47°	0,731	0,682	1,072
48°	0,743	0,669	1,111
49°	0,755	0,656	1,150
50°	0,766	0,643	1,192
51°	0,777	0,629	1,235
52°	. 0,788	0,616	1,280
53°	0,799	0,602	1,327
54°	0,809	0,588	1,376
55°	0,819	0,574	1,428
56°	0,829	0,559	1,483
57°	0,839	0,545	1,540
58°	0,848	0,530	1,600
59°	0,866	0,515	1,664
60°	0,866	0,500	1,732
61°	0,875	0,485	1,804
62°	0,883	0,469	1,881.
63°	0,891	0,454	1,863
64°	0,899	0,438	2,050
.65°	0,906	0,423	2,145
66®	0,914	0,407	2,246
67°	0,921	0,391	2,356
68°	0,927	0,375	2,475
69°	0,934	0,358	2,605
70°	0,940	0,342	2,747
71°	0,946	0,326	2,904
72°	0,951	0,309	3,078
73°	0,956	0,292	3,271
74°	0,961	0,276	3,487
75°	0,966	0,259	3,732
76°	0,970	0,242	4,011
77°	0,974	0,225	4,331
78°	0,978	0,208	4,705
79°	0,982	0,191	5,145
80°	0,985	0,174	5,671
81°	0,988	0,156	6,314
82°	0,990	0,139	7,115
83°	0,993	0,122	8,144
84°	0,995	0,105	9,514
85°	0,996	0,087	11,430
86°	0,998	0,070	14,301
87°	0,999	0,052	19,081
88°	0,999	0,035	28,636
89°	1,000	0,017	57,290

388

Теорема 12.11

Для любого Д А	имеет место формула tg Д А = , ~~
В обозначениях	с градусной	COS Д* Аі
В обозначениях	с градусной	мерой теорема утверждает, что
для любого г		sin г°
	tg-г° =	sin г°
		cos г° '

Наконец, рассматривая наш прямоугольный треугольник с дру

гой точки зрения, мы замечаем, что
sin Д В = -	= cos Д А	в
и
cos Д В =	= sin Z А.

Так как острые углы прямоуголь ного треугольника дополнительны, то

s = т Д В = 90 — г.

Теорема 12.12

Если Д А и Д В — дополнительные углы, то sin Д В — cos Д А

cos Z ß = sin Z Л-

В градусной мере эти соотношения принимают вид

sin (90 —r)° = cos r°, cos (90 — r)° = sin r°.

Слово косинус объясняется этими соотношениями: оно является сокращением латинских слов complementі sinus, означающих синус дополнения-. Фактически косинус угла есть синус дополнения, этого

угла.
Задачи к		§ 9
	С помощью		основных формул, установленных в теоремах 12.10, 12.11 и
12.12, докажите			следующие тождества:
1.	tg г°	sin Г	COS S"
	tg Sc	sm s	cos r
2.	tg/-° +	t g s'	sin r° cos s°-f-cos r° sin s°
2.	tg/-° +	t g s'	cos r cos s°
			cos r cos s°

389

tgr®

sin r

V T = smJ r

1 — (cos r° — sin r ) 2 — 2 sin r° cos r°.

5. К от ангенс

угла есть

единица,

деленная

на тангенс этого угла, т. е

ctg

А '

tg L

Докажите,

что

tg (90 — r ) ° = c t g r ° .

b) Докажите,

что

ctg (90 — f f

— tg r°.

1 — sin r°

cos r°

1 +

sin r° '

2 sin r° cos r°

2 tg r°

cos2 r° — sin2 r°

1 — tg2r°

sin r°

1 +

cos r°

— cos r°

sin r°

С еканс

угла

есть единица, деленная

на

косинус

этого угла, іг, е.

sec Z А ■

L А '

'co s

Докажите,

что tg К =

sin г° ■sec г°.

10.

1 +

tg2 г° — sec2 г°

(см. задачу

9).

11.

sec г° — cos r° — tg r° sin г°

(см. задачу

9).

jo *

1 _ to2 г°

— 1 __9 sin2 г °

- l + t g * r °

Z S n r '

13*

1 — tg r° tg s°

cos r° cos s° — sin r° sin s®

tg r° +

tg s°

sin r° cos s° -f- cos r° sin s °'

14*.

see r0

2 c o sr°

„

ZTZ~~K -

' = tg r° -

ctg r°.

sm r

Конкурсные задачи

Покажите,

что

(cos2 r° — sin2 r0)2

1 — tg2 r°

Покажите,

что

cos4 r° — sin4 r°

l + t g 2 r°-

tgr®

c tg r0

: l + t g r ° +

ctgr°.

1 — ctg r°

1 — tg r°

Вопросы и задачи для повторения

1. Дополните каждое утверждение:

Если

5х =

8у,

то — =

, .

„

, то

B )

Если

28*

с)

Если

а-\-Ь

Т2- Т°

а =?

Если

4 8 = 1 6 й ,

то ^r-

= ?

390

2. Последовательности 2, а , 6, 5, Ь и 5, 10, с, d, 9 пропорциональны. Най дите а, Ь, с и d.

3. Найдите среднее геометрическое и среднее арифметическое каждой из сле дующих пар чисел:

а)	6 и	24:	Ь)	12	и 20;
с)	7 ,3	и 21, 3;	d)	4 ~	и 6 - \| .

4о

4.Нарисуйте две фигуры, соответствующие стороны которых пропорциональны

икоторые тем не менее не являются подобными.

5.Нарисуйте две фигуры, соответствующие углы которых конгруэнтны и ко торые тем не менее не являются подобными.

6. В	А А В С имеем Н К \|\| A B .								С
a)	Если	Л Я =	3,	В К = 5	и С /С = 1 2 ,		то	С Я =	?
B )	Если	АС = 14,		Л Я =	6 и С Я =	12,	то	ВС =	?
c)	Если	С Я =	9,	А Н — 4 и Я К =		3, то Л В =			?
d)	Если	Л Я =	4, CH — В К и ßC =			48, то С Я =			?

7.Стороны треугольника имеют длину 5, 8 и 11. Подобный треугольник имеет периметр 60. Ка кую длину имеют его стороны?

8.Отрезки АС и BD пересекаются в точке Е,

причем A B |j CD и A B = 3CD. Чему равны АЕ

и ЕС , если АС — 21?

9.Стороны треугольника имеют длину 7, 9 и 14. Чему равен периметр подобного треугольника, наибольшая сторона которого имеет длину 21?

10. В A PQR имеем AB\\QR и ВС [| Я Я .

a)	Если	РА = 4,A R =		6	и PQ = 25, то		BQ — 0
B )	Если	R C = 3,CQ =		5	и PQ — 24, то		ß ß =	?
c)	Если	РА = 2,ЛЯ = 8			и	RC = 3, то CQ =		?
d)	Если	Р В = 4,	ÖQ =		5,	P R = 15 и	Я < 3 = 1 8 ,
	то РА — ? и CQ = ?
И. На этом		рисунке	□	A E FD — параллелограмм.
Перечислите все			подобия			между имеющимися
на	рисунке треугольниками					и покажите, что
		A E - A D
		B E ■CD ~				'

391

12. На	рисунке		Z MGN ^ /. ЯО Д,
GH = 8,	G K =	12,	G A 4=10	и Д Я = 3.
Докажите, что		А Я /CG ^		Z N.

13. На рисунке (второй сверху) помечены

длины отрезков. Докажите, что луч АС является биссектрисой L DAB.

14.Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного тре угольника, делит гипотенузу на от резки длины 15 и 5. Найдите длину этой высоты и катетов треугольника.

15.Дан рисунок с пометками (третий свер ху). Найдите v, w, х, у и г.

16.Каким свойством обладает A DEF,

если A AB C ~ A D E F и A D E F ~

АА С В ?

17.Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над самой сеткой, высота которой 90 см. На каком рас стоянии от сетки мяч ударится об землю, если он был подан от черты, находящейся в 12 м от сетки, и летит по прямолинейному пути?

18. Даны		A PQR и A S T V ,					изображен
ные на рисунке (второй снизу).									Чему
равно		отношение их			площадей?					С

19. А А ВС — равнобедренный прямоуголь
ный треугольник с прямым L								А.	Е и	R
D — точки,				лежащие		по	противопо-

ложные стороны от прямой АС,									при
чем	Е	лежит по ту				же	сторону от
АС,	что		и вершина		В,	и	такие,		что
A ACD			и	A BCD	являются			равно
сторонними.				Определите			отношение
площадей A ACD и А ВС Е .
20. Сторона			равностороннего				треуголь
ника конгруэнтна высоте другого рав
ностороннего треугольника. Чему рав
но отношение площадей этих треуголь
ников?
2 1 *. Дан		рисунок, где			отрезки AD,				HG

и ВС перпендикулярны отрезку AB. Докажите:

a)АН ■GB = H B ■DG;

b)АН - GC = H B - AG;

c)АН ■BC = H B ■AD.

392

2 2 *. Дано,

что

никакие

три

из точек

Р,

R и X не коллинеарны и что X

лежит вне

А PQR. Проведем отрезки

Х Р ,

XQ и X R . Пусть Л — произволь

ная

точка

отрезка X R

и пусть

прямая,

проходящая

через А и параллель

ная

PR ,

пересекает отрезок Х Р

в точке В, а прямая,

проходящая

через В

и параллельная

PQ,

пересекает

отрезок

XQ в

точке С. Проведем

отрезок

ÄC. Докажите,

что

А А ВС ~

А RPQ.

23.

А АВС

с прямым

L В

т L А — 54 и АС = 1 1 .

Найдите

и ВС.

24.

Найдите с точностью до градуса

меру

острых

углов

треугольника 7-24-25.

25.

Реактивный

самолет

взлетел

аэродрома и поднимается

под

постоянным

углом в

8° до тех пор, пока не достигнет

высоты 7500 м.

На

каком рас

стоянии

по земле от аэродрома

он находится (с

точностью

до

1 км)?

Конкурсная задача

Объясните, каким образом два треугольника могут иметь по 5 конгруэнт ных элементов (сторон и углов) и все же не быть конгруэнтными.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

нН! ІІІІ..КІІ іиіііпіі ми iilllt шіis

аю н н ш ю м ітііі HI
.......	ни1 Ш Д Н Н . К Ш Д І Уьж.
	'V&r'-"'"’
	ш і п І І
F" х	jinn шт
1*3--W . : : ^	ІІІНІ МІГ

9 І І І І І І Н І І І І І М І І І І І І І І І І І І І Я І І І І І н и

§ 1. ВВЕДЕНИЕ


Математика	в одном отношении совершенно не похожа на дру
гие науки: она	является единственной наукой, в которой практи
чески ничего не выбрасывается. Конечно,		математики —это люди,
и, будучи людьми, они делают ошибки.		Но ошибки отдельных

людей обычнодовольно быстро обнаруживаются. В результате, когда одно поколение делает в математике какое-либо открытие, следующее поколение может идти к дальнейшим открытиям, не за держиваясь для исправления того, что уже было сделано ранее.

Один из удивительных примеров этого доставляет нам тот факт, что в то время, как физические представления древних греков кажутся нам детскими и мало кому известными, развитая теми же древними греками геометрия сегодня представляется столь же пра вильной, как и две тысячи лет назад.

Первым большим шагом вперед в геометрии после греков яви лось создание нового метода, называемого аналитической (коорди натной) геометрией. Этот метод был открыт в семнадцатом веке Рене Декартом (1596—1650)J). Что же сделал Декарт? Как мы увидим, он исследовал связи между геометрией и алгеброй и пока зал, что каждая из них может пролить дополнительный свет на другую. Из этой главы, представляющей собой краткое введение в аналитическую геометрию, вы сможете увидеть, что представляет собой этот метод и как он работает.

§ 2. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Из главы 2 мы уже знаем, как. вводится система координат на прямой. Если на прямой установлена система координат, то каждой точке прямой соответствует некоторое число, а каждому

числу соответствует	некоторая	точка.
			Р
-*-------1------------ г------------ +----- '------1-----•=------1------- -
- 2	-/	О	X	1	I/5	2

Теперь подобную же конструкцию мы осуществим на плоско сти, где, однако, каждой точке будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается так. Выберем сначала на плоскости прямую, которую обозначим через Ох (О —точка этой прямой, о которой будет ска-*

■ 11 Одновременно с Декартом (и независимо от него) методы аналитической геометрии были разработаны современником Декарта и его научным оппонен том Пьером Ферма (1601— 1665).

395

зано	ниже;		смысл буквы х также станет ясным из дальнейшего)
и введем на			ней систему координат. Эта прямая будет называться
осью	X.	На	рисунке обычно на оси х рисуют стрелку, чтобы ука
зать	ее	положительное направление.

Пусть		теперь 0 У— прямая, перпендикулярная оси х и		прохо
дящая	через точку О прямой Ох, имеющую координату 0.			Уста
новим	на	Оу	систему координат і таким образом, чтобы	точка
с координатой			0 совпала с точкой О. (В силу аксиомы прикла

дывания линейки сделать это можно.) Прямая Оу будет назы-" ваться осью у. Как. и прежде, положительное направление на ней укажем стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей

координат ) называется началом координат . Принята для обозна

чения	начала	координат буква		О для того, чтобы напомнить, что
эта точка служит нулевой точкой каждой из осей.
	У.			4'
	3-			3
	2-			2	Р
	2-			У<'N	Р
	1-			1 Г ™	т
I	I I Л	1 2 3	* .		ім
-3 -2 -1 0		1 2 3	* .	-У -3 -2 -1 0 1 2 x 3 4 X
	-1-			-1•
	-2-			-2'
	- 3-			- 3'
				- 4

Теперь следующим образом можно охарактеризовать каждую точку плоскости некоторой парой чисел. Если дана точка Р, то мы опустим из нее перпендикуляр на ось х. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х —координата точки М на прямой Ох. Тогда число х называется х-координатой, или абсцис

сой, точки Р. (На нашем рисунке х = 2 ^ \

Затем опустим из точки Р перпендикуляр на ось у. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и пусть у — ко ордината тбчки N на прямой Оу. Тогда число у называется

у-координатой, или ординатой, точки Р. (На рисунке */=1^--)

Для краткости мы указываем, что точка Р имеет координаты х

и у так! Р(х, у) в нашем случае имеем

396

Рассмотрим еще не сколько примеров. На рисунке мы можем про читать:

РЛ 1 . 3),

РЛ - 2, 4),

РЛ - 4, 2 ),

РЛ - 3. - 2 ),

Р5 ( - 1 , - 4 ) ,

Л.(3, - 2 ),

Р7 (3, 1).

		Г '
	«1 ? >	I
	«1 ? >	1
	" *
	1
	1	-i
.	і .	-i	;T	о
- 5	- 4 -\? \|	■	;T	о
	1		I -1
	1		I	-2
	і -		I	-2
	і -
	Р« - -		t -	4

1
!	Pi
- Л - - - Л
-1—	4 —
1 2	j.3	и 5

_____ - 1

Заметим, что порядок, в котором записываются координаты,

очень	существен.	Координаты		(1,	3) имеет точка		Р1г а коорди
наты	(3, 1) —о т л и ч н а я от			нее	точка	Р7. Итак,		координаты
точки образуют упорядоченную				пару действительных				чисел,	и вы
не можете сказать,		где	находится точка, если не				знаете,		какое
число в паре чисел (х , у) стоит первым.
Резюмируем сказанное в следующих определениях:
Определение
х-коо р д и н а т о й ,			или а б с ц и с с о й ,			точки	Р	называется

координата основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось X. у-коо р д и н а т о й , или ор д и н а т о й , точки Р назы вается координата основания перпендикуляра, опущенного из точ ки Р на ось у.

Если точка Р имеет координаты х и у, то мы пишем Р (х, у). Подобно тому как одна прямая разбивает плоскость на две части (каждая из которых является полуплоскостью), две оси ко

ординат разбивают плоскость на четыре части,	называемые чет
вертями. Четыре четверти нумеруются в таком порядке:
	Ук
и	I
	о
III	IV

S97

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 6239 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ