9. А Л ВС и А А 'В'С ' — равносто |
с ‘ |
ронние |
треугольники. |
Высота |
А А 'В 'С ' имеет |
ту же |
длину, |
|
что и |
сторона |
А А В С . |
Дока- |
Q |
жите, |
что |
|
|
» |
S A A ' B ' C ' ~ ~ 3 S & АВС- |
у |
|
|
|
А |
В |
10. Какую длину должна иметь сторона равностороннего тре угольника, для того чтобы его площадь была вдвое больше площади равностороннего тре угольника со стороной дли ны 10?
11. Д а н о : □ PQRS и □ P'Q'R'S’ с изображенными на рисунке пометками.
Z X s * L x', |
L y ^ L y ' r |
—— — k
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .
P ' Q ' R ' S '
P QRS
12*. Два куска проволоки равной длины согнуты, один в форме квадрата, а другой в форме равностороннего треугольника. Чему равно отношение пло щадей областей, ограниченных этими кусками проволоки?
13*. CD — высота |
А А В С , |
проведенная |
из вершины |
В . Требуется |
найти пря |
мую I, |
параллельную |
Ä B |
и |
отсекающую |
треугольник, подобный |
А АВС, |
площадь |
которого |
составляет |
половину |
площади |
А А ВС . Какой |
должна |
быть длина |
отрезка |
СМ, если М — точка |
пересечения I и CD и если CD = |
1? |
14+. Т е о р е м а |
П и ф а г о р а . Теорема |
12.8 |
позволяет доказать |
теорему |
Пи |
фагора |
еще одним способом. Вам нужно привести обооснования |
всех утвер |
ждений |
этого доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рисунке |
L |
А С В — пря- |
|
|
|
С |
|
|
|
мой и CD — высота, проведенная |
|
|
|
|
|
|
|
из |
вершины |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S A |
ЛВС = |
5 Д A C D + |
S & C B D - |
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 |
5 ДЛС£> |
, |
SA C B D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*. 1 |
О |
|
|
" Г о |
А В С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° Д А В С |
|
° Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
А ACD ~ |
|
А АВС ~ |
А CBD . |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
А В2= |
АС2 -\- ВС \ |
или |
с2— а2-\гЬг. |
|
|
|
|
|
|
15*. Дан тетраэдр A BCD с основанием А А ВС . Плоскость, параллельная основанию, пере
секает грани тетраэдра по Д R S T . DQ — пер пендикуляр, опущенный из D на плоскость
Л А В С ,и |
DQ' пересекает данную плоскость |
(параллельную плоскости Д А ВС) в точке Р. |
Доказать, |
что |
5А R S T |
|
\а |
|
|
S A |
A B C |
{ B Q / |
|
|
Конкурсная задача |
|
|
|
|
Треугольный |
участок |
земли, |
как |
указано, |
на рисунке, имеет |
стороны |
длиной |
39 |
ж, 42 м |
и 45 ж. Длина перпендикуляра, опущенного из
вершины С на 42-метровую |
сторону Ä B , равна |
36 ж. Забор, построенный |
перпендикулярно |
42-метровой стороне, делит площадь участка на две равные части. На каком расстоянии от вер
шины А |
должен находиться принадлежащий |
A B конец |
забора? |
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
Рассмотрим два |
прямоугольных тре |
|
угольника, имеющих по |
конгруэнтному |
|
острому углу. Из УУ--следствия мы |
|
знаем, |
что Д |
АВС |
1QгС*, |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
В' |
|
|
а __ |
b __ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
är ~ ~ V ~ c r‘ |
|
|
|
|
Из этих равенств легко вывести, |
что |
|
|
а |
__а ' |
b ___ 6' |
а |
а' |
|
|
|
b |
6' ’ |
с |
с' ’ |
с |
с' |
' |
|
|
Таким образом, отношения а/с, |
bjc и |
а/b не зависят от размеров |
треугольника; |
они |
определены, |
как |
только известна мера |
А. |
Эти отношения называются тригонометрическими отношениями. (Тригонометрия—греческое слово; тригон — т&чт «треугольник», так что тригонометрия—это измерёние треугольников).
Отношение а/с называется синусом /_ А, что записывается так:
sinz. А = ~ .
Если т Z А — г, то можно также |
писать |
л |
О |
Sin r ° = |
— , |
|
с |
Эти записи имеют смысл, поскольку отношение а]с определено, если мы знаем Z А или г.
Аналогично, отношение Ь/с |
называется косинусом Z А, и мы |
пишем |
|
cos Z . A - —, |
или cosг° = —, |
с |
с |
Отношение alb называется тангенсом Z А, что записывается так:
|
tg Z A = j , |
или tg r° = ~ . |
Итак, |
|
|
|
|
sin Z А = |
sinr° = —, |
|
|
с |
’ |
|
|
L |
|
|
cos Z A = cos r° = —, |
|
t g Z A = |
tgr° = | . |
|
Для некоторых углов и некоторых |
чисел |
г тригонометрические |
отношения |
легко |
подсчитать. |
Пусть, |
например, |
г — 45. |
Так как тригонометрические от |
ношения от размеров треугольника не зависят, то мы можем взять любой прямоугольный Д АВС с углом в 45° при вершине А. Этот треугольник будет
равнобедренным, |
причем а = 6. |
Если мы |
примем, |
что |
a — b= 1, |
то |
по |
теореме |
Пифагора |
с = 1/2, |
как это показано на |
рисунке. |
Теперь мы имеем |
|
|
|
* . |
ц |
- |
j г - 0 |
й |
|
1 |
1^"2 |
|
sin,/ ^4 = sin45 |
с |
у |
2 |
2 |
’ |
|
|
|
|
cos Z A = cos 4 5 °= — = - ^ - = ^^-, |
|
|
|
|
с |
у |
2 |
2 |
|
tg Z A = t g 4 5 ° = f = 1 = 1 .
(Вопрос. Изменились ли бы тригонометрические отношения, если бы мы взяли а = 6= 3? Почему да или почему нет?)
Случай г = 30 почти столь же прост.
Из теоремы 9.27 мы знаем, что а = ~ . Так как размеры тре
угольника роли не играют, мы можем, как показано на рисунке, считать, что с= 2 и й = 1 . Тогда по теореме Пифагора Ь2 = с2 —а2= = 4 —1=3. Мы можем теперь выписать значения:
( П р е д о с т е р е жение . В выражениях sinг°, cos/-°, tgr° мы пользуемся знаком 0 градуса. Мы это делаем по той причине, что позднее вы будете пользоваться другой единицей измерения углов, называемой радианом. Чтобы знать, чему равен синус данного числа, надо знать, в каких единицах измеряется угол.)
Задачи к § 7
1.Даны прямоугольные треугольники с указанными на рисунке длинами сто рон. Найдите следующие тригонометрические отношения:
a)sin Z A;
e)sin z N ;
i)cos z P ,‘
b)cos Z А\ f)cos Z D; j)cos z N ;
с) tg z |
A; |
d) sin |
Z D ; |
g) tg z |
Я ; |
h) tg |
Z P ‘, |
k) tg z |
£>; |
1) sin |
z E . |
2. Даны треугольники |
с пометками. |
Найдите |
следующие тригонометрические |
отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
cos Z |
G; |
b) |
sin |
Z |
Я ; |
с) |
tg |
Z |
Т; |
d) |
sin |
Z |
W\ |
e) |
cos Z |
Д ; |
Ü |
tg |
z |
G; |
g) |
sin |
z |
X\ |
h) |
cos Z |
Y. |
3. Гипотенуза A B прямоугольного А А В С |
имеет длину 25 см. |
— |
4 |
a) Какую длину имеет катет В С , если |
sin А A = -jr? |
b) Чему равен tg Z А , выраженный в десятичной дроби, если cos Z /4 = 0,60?
c) Какую длину имеют катеты А С и В С , ёсли tg Z Л = 3 у ?
4. В Л GKM имеем СУМ = |
3 0 , G/C = 50 |
и cos z G = 0,80. Найдите высоту, про |
веденную из вершины |
М, и площадь |
А GKM . |
5. |
В трапеции A BC D сторона |
DC\\AB, AD = 20 и В С = 26. Чему равна высота |
|
трапеции |
и |
чему |
равен |
sin Z В , если |
sin Z Л = 0 ,5 ? |
|
6. |
Найдите |
sin 60°, cos 60°- |
и tg 60°. |
|
|
|
|
|
7. |
Покажите, |
что sin 30? = |
cos 60°, |
|
|
|
|
|
|
8. |
Как |
связаны |
tg 60° и tg 30°? |
|
|
|
|
|
|
9. |
В |
А |
PQR имеем sin Z Р — ~ Ѵ |
2 |
и cos Z Q = ^ - V 3 . Найдите m Z R- |
10. |
В |
А A B C |
имеем |
tg Z A = |
1^3 |
и tg z С = |
1^3/3. Найдите m L B . |
11. |
В A G H K |
имеем |
tg Z |
// = |
2 cos Z G = l . |
Найдите m z K . |
12. Диагональ BD параллелограмма A BC D перпен |
|
|
дикулярна стороне A B . |
Чему |
равна S Q .4BCD, |
|
|
|
если |
А В = Ъ и tg Z Л = |
1? |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Докажите следующую |
теорему: |
|
|
|
|
|
|
|
Синус |
|
ост рого |
угла |
равен |
косинусу его до |
|
|
|
полнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
|
|
|
|
|
П роизведение т ангенса ост рого |
угла |
н а |
т ан |
|
|
|
генс его дополнения равно 1. |
|
|
|
|
|
|
15+. Покажите, |
что tg Z Л = |
sin Z Л |
для |
любого |
острого |
z Л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos Z Л |
|
|
|
|
|
16+ . Покажите, |
что (sin Z |
Л)2+ (cos Z Л)а= 1 |
для |
любого |
острого Z Л. |
17+ . Покажите, что площадь равностороннего треугольника со стороной длины 1
равна (sin 60°) (cos 609). |
|
Конкурсная задача |
|
Докажите следующую |
теорему: |
Д ан А А В С с острым |
Z Л. Тогда а2 = й2 -f- с2— 2bc cos Z Л. |
§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ
В предыдущем параграфе мы вычислили синус, косинус и тан генс углов в 30°, 45° и 60°. Они были выражены через ~\f2 и
]/3 . Разложения в десятичную дробь (с тремя верными десятич ными знаками) этих чисел и чисел, им обратных, имеют вид:
V 2 — 1,414; Л -* = Ц - = 0,707;
1/3 = 1,732; . p L = ^ = 0,577.
Поэтому
|
Sin 30° = |
|
|
0,500, |
|
C |
опо |
S |
] / 3 |
1,732 |
п о с г |
30O = |
|
— |
0,866, |
|
t g з о ° = |
|
|
= 0 ,5 7 7 . |
Подобным же образом можно подсчитать тригонометрические отно шения для углов в 45° и в 60°. Так мы получаем следующую таб лицу:
Угол |
Синус |
Косинус |
Тангенс |
30 |
0,500 |
0,866 |
0,577 |
45 |
. 0,707 |
0,707 |
1,000 |
60 |
0,866 |
0,500 |
1,732 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это —все |
тригонометрические |
отношения, |
которые мы |
пока |
умеем |
вычислять. С помощью более сложных методов можно вы |
числить |
синус, |
косинус |
и тангенс л юб о г о |
угла с какой-угодно |
точностью. (Фактически |
такие таблицы составляли еще древние |
греки, которые использовали эти таблицы |
в астрономии.) На |
стр. 411 |
вы |
найдете таблицу значений тригонометрических |
отно |
шений |
для |
углов, |
мера |
которых |
составляет |
целое число граду |
сов. В этой |
таблице |
значения приведены с точностью до трех де |
сятичных знаков, что вполне достаточно для наших целей. |
|
Такие |
таблицы |
имеют много важных приложений. Допустим, |
например, |
что землемер хочет определить расстояние между двумя |
точками, |
лежащими |
на |
противоположных сторонах пруда. Изме |
рить расстояние |
ВС непосредственно он не может. Но он |
может |
измерить |
расстояние |
AB |
и меру угла г. Предположим, он нашел, |
что AB = 305 м и г = 32, |
|
|
|
|
sin г°
ВС A B ’
то
ВС = AB sin r°.
Землемер смотрит в таблицу и на ходит, что sin 32° = 0,530. Поэтому
ВС = 305 0,530= 161,65 м.
Землемеры, которым приходится решать такого рода задачи, решают их описанном методом.
Эти таблицы можно применять и для других типов косвенных измерений. Один способ, позволяющий измерить высоту флагштока, не влезая на него, состоит в том, чтобы отмерить какое-либо рас стояние, скажем 30 м, от основания флагштока, а затем измерить
угол, обозначенный |
на рисунке |
буквой А. На нашем рисунке |
отрезок |
ВС изображает флагшток, |
а т /_ А = 22. |
|
|
Так |
как |
|
|
|
д |
|
+о 22° = — |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
ВС = АС tg 22° = 30 |
-0,404= 12,12 |
м. |
30 |
м |
|
|
|
|
Заметим, что в такого рода задачах мы всегда можем быть уверены, что арифметические действия, которые потребуется про извести, будут очень простыми. От основания флагштока мы можем отмерить какое угодно расстояние, и таким образом выбрать точку А, для которой расстояние АС будет равно целому числу метров.
1. Пользуясь таблицей тригонометрических отношений, запишите следующие числа в виде десятичных дробей:
а) sin 129: е) sin 50°; О tg 32;
b) |
cos 359; |
c) |
tg 20°; |
d) |
cos 66°; |
f) |
cos 40°; |
g) |
tg 822; |
h) |
sin 3a; |
j) |
cos 602. |
|
|
|
|
Найдите т Z А , если дано, что
а) |
sin |
|
Z |
А == 0,309; |
с) |
t g z |
|
л = |
0,306; |
е) |
tg |
Z |
А = |
2,904; |
g) |
sin |
|
д |
А == 0,454; |
і) |
tg L |
A — 8,144: |
b)cos L А = 0,208;
d)cös Z А = 0,961;
f)sin Z А == 0,961;
h)cos Z А = 0,731;
j)tg Z А = 0,554.
3. |
Дано, |
что гипотенуза A B в Д А В С |
имеет дли |
|
ну 20 |
м и что т L |
Л = 3 8 . Найдите |
В С и Л С. |
4. |
L С — прямой угол |
в |
Д A B C , т L А — 42 и |
|
А С — 7. Найдите длину |
катета ВС. |
|
5. В Д PQR имеем: т /_ Р — 54, P R = 15 и PQ =
=18. Найдите длину высоты, проведенной из
|
вершины |
R ; |
высоты, |
проведенной |
из вер |
|
|
шины Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
В A G H R |
имеем: |
т L G — 70, |
G K = 12 |
и |
|
|
GH = 20. |
Найдите высоту, проведенную |
из вер |
|
|
шины К , и площадь Д GHK- |
|
|
|
|
7. |
Вычислите |
площадь |
А А В С , если |
дано, |
что |
А |
|
А В = 30, |
В С = 16 и и |
/ |
В = 47. |
|
|
|
|
8. Найдите с точностью до градуса меру острых углов треугольника 3—4— 5.
9. Найдите с точностью до градуса меру острых
углов треугольника 8 — 15— 17.
/
10. Основание равнобедренного треугольника имеет длину 8 ж, а угол, противоположный основа нию ,— меру 30. Вычислите длины трех высот этого треугольника.
И . L |
С — прямой угол в |
Д А В С |
и Л В = 9. Най |
дите В С |
и А С , если, |
кроме |
того, дано, что |
tg |
/_ Л = |
1,111. |
|
|
12f . Внимательно посмотрите в таблице тригонометрических отношений на зна чения sin 53°, sin 54°, sin 55° и sin 56°. Объясните, почему хорошим прибли женным значением sin 54°30' служит 0,814. Каким было бы хорошее при ближенное значение sin 55°30'? Хорошим приближенным значением sin 54° 12' является 0,811. Почему? Найдите приближенное значение sin54?6 '. Объяс ните, почему каждое из следующих чисел дает хорошее приближенное зна чение:
sin |
30°30' = |
0,508; |
sin |
76°30' = 0 ,9 7 2 ; |
sin |
30220' = |
0,505; |
sin |
7 6 4 5 ' = 0,973/. |
Этот метод нахождения приближенных значений, в явном виде не содержа щихся в таблице, называется инт ерполяцией.
13+ . С помощью интерполяции определите из таблицы приближенные значения следующих тригонометрических отношений (см. задачу 12):
а) |
sin 37s30'; |
b) |
sin 65°30'; |
c) |
sin 63,5°; |
d) |
sin 56,3S; |
e) |
sin 47s20'; |
f) |
sin 45°40'; |
g) |
sin 73,42; |
h) |
sin 20,5°; |
i) |
sin |
17°30'; |
j) |
sin 41° 15'. |
|
|
|
|
|
13 |
Геометрия |
|
|
|
|
385 |
I4+. С помощью интерполяции определите из таблицы приближенные значения следую щих тригонометрических отношений (см. задачу 12):
а) |
cos 33°30'; |
|
b) cos 36,6°: |
|
с) |
cos 18°24'; |
d) |
tg 31°30'; |
|
е) |
tg 42°20'; |
f) |
cos61°40'; |
g) tg 58,5°; |
h) |
cos 67°15'; |
|
|
|
i) |
tg 66°30'; |
|
j) tg 63°45'. |
|
15. При прокладке нового шоссе инженер вбил на противоположных берегах реки два столба Л и В , чтобы отметить место, где будут расположены бере
говые опоры моста. Затем, исходя из точки О, находящейся на расстоянии
Ч—► >
30 м от-точки В |
и такой, что OB J_ A B , он |
измерил L А О В. Чему равно |
расстояние от А |
до В , если т L АОВ — 73? |
|
16. Лестница на пожарной машине может быть выдвинута до максимальной длины 20 м, а максимальный угол ее наклона может составлять 70°. Осно вание лестницы находится на грузовике на высоте 2 м над землей. Какой высоты над землей достигнет лестница?
17. Лесничий следит за пожарами с наблюдательной вышки, построенной на высоком холме. Основание вышки расположено в 726 м над большей частью окружающей территории, а высота самой вышки равна 24 м. Если лесни чий заметил огонь под углом 7° к горизонту, то на каком (с точностью до 1 км) расстоянии от вышки возник пожар?
18. Самолет приближается к аэропорту на |
высоте 7000 м. (Предполагается, |
что аэропорт находится почти на уровне |
моря.) |
Пилот имеет |
предписание |
производить |
снижение |
для посадки под |
постоянным углом 6°. |
На |
каком |
(с точностью |
до 1 км) |
расстоянии от посадочной |
полосы должен он |
начать |
снижение?
D
19*. Высокая радиомачта укрепляется длин-, ными тросами, как трос Ä B на рисунке.
Какую длину |
имеет трос, если точка А |
находится на |
расстоянии 75 м от осно |
вания мачты |
и если т L В А С — 59? На |
каком расстоянии от земли трос при креплен к мачте? Какова высота мачты
D C, если т /. D A C = 71?
Конкурсная задача
CD — высота А А В С , ' проведенная из вер шины С, и A B — с.
a)Покажите, что высота h определяется из формулы
/, |
. tg q° tg 6° |
|
\ga° + tg b ° ■ |
b) Вычислите h, |
если дано, что с = 68, а = 35 |
и 6 = 45. |
|
§ 9. ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ
В прямоугольном треугольнике |
(см. рисунок) имеем; |
в |
|
а2 + Ь2= с2. |
|
Деля на с2, получаем |
|
Так как |
|
sin £ А — — |
/ л Ь |
и cos £ А = - , |
С
то мы приходим к следующей теореме:
Теорема 12.10
Для любого £ А имеет место формула (sin £ А )2-(- (cos £ А)2= 1.
Обычно квадрат синуса мы обозначаем символом sin2 ^,A, по скольку так писать легче, чем (sin Л)2, и подобным же образом поступаем в случае косинуса. В этих обозначениях последняя формула принимает вид
sin2 £ А -fcos2 £ А = 1 или sin2/"°-t-cos2r0= 1,
если т £ А — г. Это три различные записи одной и той же фор мулы.
В нашем треугольнике мы имеем
tgZ/l=f
Так как
а __а/с
6 6/с'
то мы приходим к следующей теореме:
