«2
Например, если R x= 12 |
и R 2= 6, |
то R = |
4; если |
# j = 1 0 |
и R 2 = 1 0 , |
то R = |
5. |
a) Найдите R , если дано, |
что /?х = |
4 и |
= 1 2 ; /?х = |
6 и R |
2 = 3; /?, = 7 |
и R 2= |
7. |
b)Пользуясь следующим рисунком, объясните, почему описанная выше схема дает правильный результат.
Следующая теорема удобна и легко доказывается.
Это сразу вытекает из определений конгруэнтности и подобия.
Теорема 12.5 (СУС-теорема о подобии)
Д ано |
соответствие м еж ду |
двумя |
т реугольниками. |
Если две ст ороны одного |
т реугольника пропорциональны |
соответствующим двум |
ст оронам |
другого т ре |
угольника |
и заключенные м еж ду |
ними |
углы конгруэнтны, то это |
соответствие |
является |
подобием. |
|
|
|
|
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Д аны Д А ВС и & D E F и соответствие |
А В С -<r+D EF. |
Если |
|
|
A B |
АС |
DE |
DF |
и |
|
|
L |
А |
|
то |
|
|
Д АВС ~ |
A D EF . |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
1°. |
Пусть |
Е' и Д' — такие |
точки лучей Â B и А С, |
что |
AE' = D E и AF' = DF. |
|
|
|
|
|
На |
основании С У С |
имеем |
Д AE'F' ^ |
A D E F . |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЕ' |
~ |
A F " |
|
|
2°. По теореме |
12.2 |
(обратной к |
основной теореме |
о пропорциональности) |
Ш '\\ ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Следовательно, / |
|
S 9 ^ |
/ |
AE'F'. (Почему?) |
|
|
4°. Так |
как |
/. А ^ |
/. А, |
то |
из УУ-следствия вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
Д A E'F'. |
|
|
5°. Так |
как |
Д |
A E'F ~ |
Д D E F , из теоремы 12.4 вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
A D E F , |
|
аэто нам и требовалось доказать.
Взаключение мы докажем теорему, в известном смысле обратную У У У - теореме о подобии.
Теорема 12 .6 (ССС-теорема о подобии) |
|
|
Д ано |
соответствие |
м еж ду двумя |
т реугольниками. |
Если |
соответствующие |
стороны |
т реугольников |
пропорциональны, то это соответствие является подо |
бием . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д р у г а я |
ф о р м у л и р а в к а . |
Д аны Д А В С и |
& D E F |
и соот вет ст вие |
A B C * - * D E F . |
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
АС |
= |
ВС |
|
|
|
|
D E ~ |
D F |
~ |
E F |
’ |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
Д D E F . |
|
|
|
|
2. |
Для каких из следующих теорем о подобии нет аналогичных теорем о кон |
|
|
груэнтности: С У С , |
ССС, |
У У У , |
У У 7 |
|
|
3. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
|
|
|
Л ю бы е две соответствующие м едианы подобных т реугольников относятся |
|
|
как |
соответствующие стороны. |
|
|
|
4. |
Дан |
рисунок, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А Е |
Б Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е С |
ED |
' |
|
|
|
|
|
Докажите: 1°. Л А Е В ~ |
А CED . |
|
|
|
|
|
|
2о. |
A B II DC. |
|
|
|
|
|
5. |
Докажите, что если два равнобедренных тре |
|
|
|
угольника |
имеют конгруэнтные |
углы при |
|
|
|
вершине, |
то они подобны. |
|
|
0 |
|
6. Могут ли |
два |
треугольника быть подобны, |
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) два угла |
одного |
из |
них |
имеют меры 60 |
|
|
|
и 70, а два угла |
другого |
имеют меры 50 |
|
|
|
и 80; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) два угла одного |
из них имеют меры 45 |
|
|
|
и 75, |
а два |
угла |
другого |
имеют меры 45 |
|
и60;
c)один из них имеет угол с мерой 40 и две
|
стороны |
длины |
5, а |
другой |
имеет |
угол |
|
|
с мерой 70 и две стороны длины 8; |
|
о |
d) |
один из |
них |
имеет |
стороны длины |
5, 6 |
|
и 9, а другой— периметр 8 420 |
000? |
|
|
7. Докажите, что PQ ||A B |
(рис. второй снизу). |
|
8. На |
рисунке |
х, |
у |
и |
г — длины |
отрезков |
|
М В, Ш и MC. |
|
|
|
|
|
|
a)Какой должна быть длина отрезка M D, чтобы треугольники были подобны?
B ) Если г = 2х, то будет ли т /_ D — Ъп Z А?
9. На этом рисунке А ADC ~ Д P S R , CD
и R S — медианы. Докажите, что Л А ВС ~
~Л PQR.
10.Три прямые, имеющие общую точку Р,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекают |
параллельные плоскости |
Е |
|
и F |
соответственно |
в |
точках |
R |
и К., |
S |
Н |
и М, Т и Н. |
Докажите, |
что |
А Н М К ~ |
|
~ |
А |
T S R , если Д Р = |
4, AfP = |
6, |
Я Р = |
7, |
|
Я Р = 1 0 , S P = 15 и Т Р = 1 7 ,5 . |
|
|
|
|
11+. |
Если |
следующее |
утверждение |
верно, |
|
то докажите его; если оно неверно, то |
|
приведите |
контрпример. |
|
|
|
|
|
|
Д ано соответствие м еж ду двумя т ре |
|
угольниками. |
Если длины |
двух ст орон |
од |
|
ного |
т реугольника |
пропорциональны дли |
|
нам |
соответствующих |
ст орон |
другого |
|
т реугольника, |
а угол, |
прот ивополож ный |
|
одной из этих |
ст орон, |
конгруэнт ен соот |
|
ветствующему углу, |
т о т реугольники по |
|
добны . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12+. |
На |
этом |
рисунке |
PQ — P R |
и PQ || АС. |
|
Какие из следующих утверждений |
верны: |
|
Конкурсная задача
D — середина стороны AB в А А ВС, |
а Е — такая |
точка стороны АС, |
что |
4Е > |
ЕС . Прямые DE и В С |
пересекаются в точке F . Докажите, что F B - C E |
= |
= |
•ЕА . (У к а з а н и е. Пусть прямая, |
проходящая |
через С и параллельная |
A B , |
пересекает отрезок E F |
в точке Р .) |
|
|
|
§ 5. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 12.7
Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два треугольника, подобных друг другу и исходному треугольнику.
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
с |
Пусть Д АВС — прямоугольный |
|
треугольник с прямым углом С и |
|
пусть CD — высота, опущенная из |
|
С на ÄB. Тогда |
|
Д ACD ~ Д АВС ~ Д CBD. |
|
(Заметим, что в данном случае вторая формулировка является более полной, чем исходная формулировка теоремы, так как здесь объ ясняется, какие именно соответствия между треугольниками явля ются подобиями. Заметим также, что из рисунка легко усмотреть (и запомнить), какими должны быть эти соответствия. В соответ ствии между Д ACD и Д АВС мы должны иметь А ■<-+А, по скольку /_ А — общий угол этих двух треугольников. Мы должны
также иметь |
потому что D и С — вершины прямых углов |
этих треугольников. |
Наконец, мы должны иметь С*-*-В, так как |
вершине С больше не во что переходить. Таким образом, мы полу
чаем соответствие A C D ^ - АВС. Аналогично и для |
второго соот |
ветствия ABC^-CBD .) |
/_ d ^ |
Z. с, |
так |
как |
оба эти |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, |
угла —прямые. Кроме того, Z |
Д- |
Таким |
образом, |
в соот |
ветствии ACD ■*-»■АВС два угла одного треугольника |
конгруэнтны |
соответствующим углам другого. На основании УУ-следствия имеем
/\A C D ~ /\А В С .
Вторая половина теоремы доказывается точно так же: поскольку
L d' |
L |
с и L B ^ /_В, то УУ-следствие дает |
|
|
Д A B C ~ A C B D . |
|
Теорема |
12.8 |
|
Даны |
прямоугольный треугольник и высота, |
проведенная из |
вершины его прямого угла. |
|
1°. Высота есть среднее геометрическое отрезков, на которые |
она делит |
гипотенузу1'*. |
|
J) Разумеется, здесь речь идет о длине этих отрезков, |
как и о длине кате |
тов, гипотенузы и высоты (см. замечание перед теоремой |
11.1). |
2°. Каждый |
катет |
есть среднее геометрическое |
гипотенузы |
и отрезка гипотенузы, смежного с этим катетом. |
|
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Пусть Д АВС —- прямоугольный |
треугольник с прямым углом С и пусть |
CD — высота, |
проведенная |
из вершины С. Тогда |
|
|
|
с |
|
А Р |
_ |
с р _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD |
~ |
BD • |
|
|
|
|
А Р |
_ |
АС_ |
|
|
|
|
|
АС |
~ |
A B |
' |
|
|
|
|
BD |
|
ВС |
|
|
|
|
|
В С |
~ |
ВА |
' |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
На основании |
теоремы 12.7 |
имеем |
|
|
|
Д |
ACD ~ |
Д CBD, |
(1) |
|
|
|
Д ACD ~ |
Д АВС, |
(2a) |
|
|
|
A C B D ^ & A B C . |
(26) |
Соотношения, выписанные выше, — это просто пропорциональ ности пар соответствующих сторон подобных треугольников.
Задачи к § 5
( З а м е ч а н и е . |
Выражения, содержащие радикалы, следует приводить к на |
иболее простому |
виду.) |
1.На этом рисунке CZ>J_ Ä B и □ C FD E — прямоугольник. Выпишите все подобия для треугольников, подобных А А В С . (Не забудьте, что соответствие между тре угольниками должно правильно указы вать пары соответствующих вершин.)
2.На этом рисунке CD — высота, проведен ная к гипотенузе А А ВС .
С
a) |
Дано, |
что г — 4 |
и s — 9. |
Найдите h. |
b) Дано, |
что г = |
7 |
и s = |
28. |
Найдите А. |
c) |
Дано, |
что г = |
9 |
и s = |
3. |
Найдите а. |
d) |
Дано, |
что г — 7 |
и s = |
21. |
Найдите Ь. |
e) |
Дано, |
что г= У 3 |
и |
s — 12. Найдите |
|
А, а и |
А. |
|
|
|
|
3. |
На |
этом |
рисунке R S — высота, |
проведенная |
R |
|
|
к гипотенузе PQ в А PQR. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
Дано, |
что |
т |
= |
27 |
и |
я = |
|
3. |
|
Найдите |
|
|
|
|
|
а, |
р |
в |
q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) |
Дано, |
что |
гп = |
24 |
|
и |
|
п — 6. |
|
Найдите |
|
|
|
|
|
а, |
р |
и q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
Дано, |
что |
m — \RІ8 |
и |
я = |
К в . |
Найдите |
|
|
|
|
а, |
р |
в |
q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
Дано, |
что р — 15 |
|
и п — 9. |
|
Найдите m |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
Дано, |
что |
а = |
8 |
|
и |
т |
= |
|
16. |
|
Найдите |
|
|
|
|
|
я, |
р |
в |
q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
4*. На |
этом |
рисунке Ä K —высота, |
проведен |
|
|
|
ная к гипотенузе А АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Дано, |
что |
е = |
|
5 |
|
и h = 1 5 . |
Найдите |
|
|
|
|
f, |
b |
в |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) |
Дано, |
что |
6 = |
|
4 ^ 3 |
и |
е = 4 . |
|
Найдите |
|
|
|
|
/, |
h |
и |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
Дано, |
что |
с — 6\^2 |
и |
|
е — 4. |
Найдите |
|
|
|
|
f, |
Ъ |
в |
h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
Дано, |
что |
6 = |
3 УТО |
и / = 1 3 . |
Найдите |
|
|
|
|
е, |
h |
и |
с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
Дано, |
что |
6 = / = |
8. |
Найдите е, |
h и с. |
|
|
|
5. Высота, проведенная из вершины |
прямого |
угла прямоугольного |
треуголь |
|
ника, делит гипотенузу на два отрезка длин г и s. Докажите, что площадь |
|
треугольника |
равна |
произведению |
среднего |
геометрического чисел |
г и s на |
|
их |
среднее |
арифметическое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 6. Найдите площадь прямоугольного |
треугольника, если дано, что высота, про |
|
веденная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длин 9 и |
|
16; длин 7 и 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Т е о р е м а |
П и ф а г о р а , |
|
В |
|
§ |
3 |
гл. |
11 |
мы доказали теорему Пифагора, |
|
опираясь |
на формулы |
для |
|
площадей. Теорема 12.7 наводит на мысль о дру |
|
гом доказательстве этого важного соотношения. |
|
|
|
|
На |
этом рисунке |
Д ЛСД — прямой |
угол и CD — высота. По теореме 12.7 |
|
a — \^cs |
|
в |
b — \Rcr. |
Считая |
это |
первым пунктом доказательства |
того, |
что |
|
а2+ |
Ь2 = |
с2, |
доведите |
доказательство |
до |
конца. |
|
|
8. |
Дан |
Д А В С , |
у |
которого |
CD |
|
есть |
высота, |
проведенная к гипотенузе |
A B . |
|
Докажите, |
что |
|
|
|
ДС2 — ЛС2= Д 0 2— AD\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
А |
0 с |
В |
G |
Р |
к |
|
|
|
9 *. Пусть □ |
PRH Q — прямоугольник |
и H P J_ GK- Докажите, |
что |
|
S 0PRHQ= V |
G Q - Q H . H R - R K . |
|
10. А А В С — прямоугольный |
треугольник, |
причем С — вершина прямого угла. |
Биссектриса д В пересекает катет АС в точке D, а биссектриса внешнего
угла с вершиной В пересекает прямую АС в точке Е. Чему равны длины сторон А ЛДС, если B D = 15 и В Е = 20?
§ 6. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если даны квадрат со стороной а и квадрат со стороной 2а, то легко видеть, что площадь второго квадрата в четыре раза больше площади первого: (2а)2 = 4а2. (Это легко усмотреть также и геомет рически, не пользуясь никакими формулами для площадей.) Вообще, если первый квадрат имеет сторону а, а второй —сторону ka, то отношение их площадей равно k2, так как
Оk a f _ |
k2a 2 _ |
, 2 |
а2 |
а2 |
К ' |
Для подобных треугольников имеет место аналогичный результат.
Теорема 12.9
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения любых двух соответствующих сторон.
В'
В
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано, что Д АВС ~ Д А'В'С . Пусть пло щади этих треугольников равны Sx и S2. В обычных обозначениях
имеем
д _ ѵ_ = д
аb с
Пусть k — общее значение этих трех отношений. Мы хотим показать, что
Si = k2.
Пусть BD и B'D' — высоты этих двух треугольников, проведен
ные из вершин В и В ', a h и h' — их длины. Поскольку Д |
А В С ~ |
~ Д |
А'В'С', |
то |
/ _ А ^ / _ А ' . Кроме того, Д ADB ^ |
A'D'B', |
так |
как оба |
эти |
угла — прямые. Поэтому из УУ-следствия выте |
кает, что |
|
AABD~AA'B'D', |
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
подобия имеем |
|
(ведь соответствующие стороны подобных треугольников пропор циональны). Отсюда следует
b '^ k b , |
h'*=kh. |
Но |
|
S ^ b h , |
S2 = ~b'h'. |
Поэтому |
|
S2 = ~ b’h' = J |
(kb) (kh) - J k2bh |
что и требовалось доказать. Задачи к § 6
1. Чему равно |
отношение площадей двух подобных |
треугольников, наиболь |
шие стороны |
которых имеют соответственно длины |
3 см и 4 см? |
2. На этом рисунке L A ^ с А' и С В = .
^Z. В ' . Чему равно отношение площа
дей изображенных треугольников, если
х = 5 |
и |
х ' — 7? если |
і/ = 4 и г/' = 3]Аз? |
если |
* = |
6, y — 2 Y § |
и у ' = х ? |
3. Сторона одного из двух подобных тре угольников в 5 раз больше соответст вующей стороны другого. Чему равна площадь большего треугольника, если площадь меньшего равна 6 кв. см?
4. G — середина стороны P R , а Н — середина
стороны QR в |
Л PQR. Чему |
равно отно |
шение SA G H R |
к S ^ p Q R ? |
S A G H R к |
PQHG^ |
|
|
5.Площади двух подобных треугольников равны 16 и 25. Чему равно отноше ние длин любых двух соответствующих сторон?
6.Площадь большего из двух подобных треугольников в 9 раз больше пло щади меньшего. Чему равна длина стороны большего треугольника, если соответствующая сторона меньшего имеет длину 5 см?
7.Площади двух подобных треугольников равны 144 и 81. Чему равно осно вание меньшего треугольника, если соответствующее основание большего равно 30?
8. D — такая точка стороны АС в Л А В С , что AD — 2CD, а Е — такая точка сто
роны |
ВС , что |
D E II A B . |
Сравните площади Д CD E и Д А ВС . Чему равна |
^ Д А |
В С ’ есл и |
ЛВ££> = |
40? |
