Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем рас
сматривать AD и BD как основания Д ADE и Д BDE. Тогда эти тре угольники имеют одну и ту же вы соту. (Почему?) Следовательно, по теореме 11.7 отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е.
’двоя |
BD |
|
’ A A D E |
ÄD' |
^ |
nLJ |
'Точно так же будем рассматри
вать АЕ и СЕ как основания Д ADE и A C D E . Так как эти треугольники
|
имеют одну и ту же |
высоту, то, как |
|
и выше, заключаем, |
что |
|
|
J A C D E |
С Е |
( 2) |
|
'ÄË' |
|
S&ADE |
|
|
Д BDE и Д CDE имеют одно и то же основание DE (см.
первый из наших трех рисунков). Поскольку прямые DE и ВС параллельны, эти треугольники имеют и одну и ту же высоту. Следовательно, по теореме 11.6
5 д в с в = |
5 д |
C D E - |
|
(3) |
Сопоставляя равенства |
(1), (2) |
и |
(3), получаем |
|
|
Д О _С£ |
|
|
(4) |
|
A D ~ |
А Е ' |
|
|
|
|
Прибавляя к обеим частям равенства (4) по |
1, имеем |
|
B D + AD |
С Е + А Е |
|
A B |
АС |
(5) |
AD |
АЕ |
|
ИЛИ A D ~ ~ |
А Е ’ |
|
|
что и требовалось доказать.
Обратную теорему доказать гораздо легче.
Теорема 12.2
Если прямая, пересекающая две стороны треугольника, отсе
кает от них |
отрезки, пропорциональные |
этим двум сторонам, |
то она параллельна третьей сто- |
д |
роне. _ |
|
ф о р м у л и р о в к а . |
|
Д р у г а я |
|
|
Дан А АВС. |
Пусть D — точка ме |
|
жду А и В, |
а |
Е — точка между А |
|
и С. Если |
АВ |
АС |
|
|
|
|
AD |
А Е ’ |
|
то DE ЛВС.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
прямая ВС*, |
проходящая |
через |
В и параллельная DE, пересекает прямую АС |
в точке C'. |
По |
предыдущей теореме |
__ А С |
|
|
А В |
|
|
AD |
~ |
АЕ ' |
|
|
Так |
как по предположению |
|
|
|
|
|
|
|
|
А В _ |
АС |
|
|
|
|
|
|
AD ~~ АЕ • |
ТО |
|
|
|
|
|
АС' |
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЕ ~~ ~АЕ |
и |
АС' = АС. Следовательно, |
С = С и DE || ВС. |
З а д а ч и к § |
3 |
|
|
|
|
|
1. |
В |
Л А В С имеем |
D E || А В . |
|
|
С |
|
a) |
Найдите |
СЕ, |
если |
дано, |
что |
ЛС = |
12, |
|
|
CD = 4 |
и В С = 24. |
|
|
|
|
|
B ) |
Найдите |
B E , |
если |
дано, |
что |
АС = |
15, |
|
|
ЛО = 3 |
и ßC = 25. |
|
|
|
|
|
c) |
Найдите |
ВС, если |
дано, |
что |
AD — 6, |
|
|
CD = 4 |
и CD = 7. |
|
|
|
|
|
d) |
Найдите |
С £ , |
если |
дано, |
что |
CD = |
8, |
|
|
ЛС = 18 |
и ß C = 6. |
|
|
|
|
|
e) |
Найдите |
ЛС, если |
дано, что AD = СЕ, |
|
|
CD = 4 и Е В — 9. |
|
|
|
/? |
2.Дано, что S T ||PQ в А ßQD. Дополните следующие утверждения:
|
а) |
R P |
? |
|
|
R S |
? |
’ |
|
с) |
? |
S P |
|
|
? |
R P ’ |
|
|
|
е) |
R S |
? |
|
|
R T |
? |
' |
|
Ь) |
R S |
|
? |
|
|
S P ~ |
У |
’ |
|
|
|
|
R T |
|
? |
|
|
d) RQ |
|
? |
’ |
|
0 |
RQ |
|
p |
|
|
R P |
= |
У * |
|
|
|
|
3.В каждом из изображенных здесь треугольников проведен отрезок, парал
лельный основанию, и указана длина |
некоторых отрезков. Во всех слу |
чаях найдите х, считая остальные буквы |
известными. |
4. В |
Д УМ К |
имеем т L |
М = |
т L H G K = x . |
J |
a) |
Дано, |
что J H = 7, J K |
— 21 и GK = 1 0 . |
|
|
Найдите M G . |
|
|
|
|
B ) |
Дано, |
что H K = M G, |
М К = 6 |
и J H = 8. |
|
|
Найдите GK- |
|
|
|
|
c) |
Дано, |
что G K = 7 , |
H K = 2 M G |
и Л / = 1 4 . |
|
|
Найдите УК . |
|
|
|
|
d)Дано, что КУ = 24, Я К = М К и KG = 4. Найдите /ИК.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Будет ли PQ || A B , |
если |
отрезки |
на рисунке |
|
имеют указанные длины? |
Объясните, |
почему |
|
ваш ответ |
правилен. |
|
|
|
|
|
6. |
Будет ли |
UV |] R T , |
если |
отрезки на |
рисун |
|
ке имеют указанные длины? Объясните, |
|
почему |
ваш |
ответ |
правилен. |
|
|
|
7. |
Д ля каких |
|
из следующих наборов длин бу |
|
дет FG ИВС- |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
AB = |
14, |
ЛУ = |
6, |
ЛС = |
7, |
AG = |
3; |
|
b) |
AB = |
12, |
£ ß = |
3, |
ЛС = |
8, |
Л б = |
6; |
|
c) Л £ = 6, £ ß = 5, ЛС = 9, G C = 8 ; |
|
d) |
ЛС = |
21, |
GC = |
9, |
Л ß = |
24, |
Л £ = 5? |
8. Дан рисунок (внизу слева) спометками. Най дите все значения х, при которых D£ \\ AB.
9. Докажите следующую теорему:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам смежных с ними сторон.
Другая формулировка. Если |
AD— |
С |
биссектриса |
/. |
Л А А В С |
и точка D лежит |
|
н а стороне |
В С , |
то (рис. внизу справа) |
|
|
BD _ В А |
|
|
|
|
CD ~ С А ‘ |
|
|
|
(Указание. |
Проведите прямую С Е , |
па- |
|
раллельную |
стороне A D . |
Покажите, |
что |
|
А С = А Е .) |
|
|
|
|
|
10. С помощью теоремы задачи 9 ответьте на следующие вопросы:
|
|
|
|
|
a) Стороны |
треугольника |
имеют длину |
15, |
20 и 28. |
Какую длину имеют отрезки, на |
которые делит противоположную |
сторону |
биссектриса наибольшего угла? |
биссек |
триса наименьшего угла? |
|
|
B ) Стороны |
треугольника |
имеют длину |
12, |
18 и 24. |
Найдите длину |
отрезков, на |
ко |
торые биссектриса каждого угла делит противоположную сторону.
11. На этом рисунке PS \ AD, SR \\DC,
RQ II ВС. Докажите, что PQ || ЛД. 12. Докажите следующую теорему:
Если три или более параллельных пря мых пересекаются двумя секущими, то от секаемые на этих двух секущих отрезки про порциональны.
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . |
Если |
секущие |
tj |
и |
t2 |
пересекают параллельные |
прямые Іѵ |
/а и |
Ія |
соответственно в |
точках |
А, В, С |
и D, |
Е, |
F, то |
|
AB_DE
ВС EF ■
( У к а з а н и е . Проведите DC или A F.)
13. Как показано на схеме, три участка земли простираются от Мэйнстрит до Бродвея. Боковые части их границ перпендикулярна Мэйн-стрит. Найдите длину границы каж дого участка по Бродвею, если общая длина границы всех этих трех участков по Брод вею составляет 108 м.
14+ . Д а н о . Параллельные |
плоскости Е, F и G |
и секущие Тг и Т2, как |
на |
рисунке. |
т |
, |
|
AB |
PQ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
|
= щ - . |
( У к а з а н и е . Проведите отрезок ЛД .)
15+ . Доказать. Диагонали трапеции пересе каются в такой точке, что длины отрезков одной диагонали пропорциональны длинам отрезков другой.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16+. Типограф |
хочет |
сделать |
пригласительный |
12 |
|
билет |
длиной |
12 |
см и такой |
ширины, |
чтобы, |
|
|
|
когда |
он |
сложит |
этот билет |
пополам, |
как по |
|
|
казано |
на |
рисунке, |
билет имел ту же |
форму, |
|
что и в |
начале. Какой |
должна |
быть |
ширина? |
|
|
|
|
|
т |
17*+. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
Дан |
произвольный |
А АВС. |
Если |
биссектрисы внутреннего и внешнего |
углов с вершиной А пересекают прямую ВС соответственно в точках D и |
D ', |
то |
|
BD |
_ С Р |
|
|
|
|
|
|
BD’ ~ C D " |
( У к а з а н и е . |
Проведите |
прямую |
СЁ, |
параллельную AD', и воспользуй |
тесь теоремой 12.1 и задачей 9.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18*+. |
а) |
Чему |
в |
задаче |
17 |
равны |
|
BD, DC |
и CD', |
если |
АС = |
9, |
АВ = |
15 |
|
и |
ВС = 1 6 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
Чему в |
задаче |
17 |
равны |
BD, |
DC и |
CD', если т L ВАС — 90; ЛС = |
6 |
|
и ЛВ = 8? |
|
|
|
|
|
|
|
|
силе, если AB < АС? Проиллюстри |
19*+ . Остается ли теорема из задачи |
|
17 в |
|
руйте |
и объясните. Как изменится теорема, если |
AB — АС? |
|
|
|
2 0 *+ . Треугольник |
имеет стороны |
6, |
12 и |
16. |
Биссектрисы |
наибольшего внут |
реннего угла и наименьшего |
внешнего |
угла пересекают |
прямую, |
содержа |
щую |
противоположную |
сторону, |
соответственно |
в |
точках Л и |
Y. |
Найдите |
расстояния |
точек |
X и |
К от вершины наименьшего |
угла |
треугольника. |
|
К о н к у р с н а я задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дан |
А ЛВС, |
у которого |
Л В > Л С . |
Биссектрисы |
внутреннего |
и внешнего |
углов с |
вершиной А |
пересекают прямую |
ВС |
соответственно в точках |
D и Е. |
Докажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
V AD2+ AE3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}/'AD* + |
AE* |
|
|
|
|
|
CD BD
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ
Теорема 12.3 (УУУ-теорема о подобии)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если соот ветствующие углы треугольников конгруэнтны, то это соответ ствие является подобием.
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . |
Дано соответствие АВС*-+ DEF |
между двумя |
треугольниками. |
Если |
Z. A SÉ L D, Д В ~ Д Е и |
L C c ^ ^ F , |
то Д АВС ~ Д DEE. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как соответствующие углы треуголь |
ников конгруэнтны по предположению, то нам остается |
лишь до |
казать, что соответствующие |
стороны |
пропорциональны, |
т. е. что |
|
A B |
_ |
А £ |
__ |
ВС_ |
|
|
D E |
~ |
D F |
~ |
E F ' |
|
Мы покажем, что выполняется п е р в о е из этих соотношений. Точно такое же рассуждение, в котором нужно только изменить обозначения, показывает, что выполняется и второе соотношение.
Перейдем к доказательству того, что
Пусть Е' и F '—такие точки лучей AB и АС, что АЕ' — DE и AF' = DF. На основании СУС имеем
A A E ’F’ g z A D E F .
Следовательно, Д АЕ'F' ^ |
Д Е . Так как Д Е ^ Д В , то |
Д AE'F' |
Д В . |
Рассмотрим два случая. |
AE'F' и Д АВС совпадают. В этом |
1°. Если Е' —В, то Д |
случае ДЛДС — ДА ЕЕ и |
|
|
|
|
А В |
_ |
АС |
|
DE |
~ |
DF ’ |
ибо каждое из этих отношений равно единице. (Почему?)
2°. Если точка Е' отлична от В, то прямые E'F' и ВС па раллельны. (Почему?) По основной теореме о пропорциональности
А В АС
А Е’ ~ AF' '
Так как АЕ' = DE и AF' = DF, то отсюда следует, что
АВ _ АС DE ~ DF ’
а это нам и требовалось доказать.
Напомним, -что в силу следствия 9.13.1 конгруэнтность двг/л: углов одного треугольника соответствующим углам другого тре угольника влечет и конгруэнтность третьего угла первого треуголь ника третьему углу второго треугольника. (Разумеется, это свя зано с тем фактом, что сумма мер углов любого треугольника равна 180.) Отсюда вытекает
Следствие 12.3.1 (УУ-следствие)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим углам другого треугольника, то это соответствие является подо бием.
Теперь мы можем доказать более сильный вариант основной теоремы о пропорциональности, оправдывающий замечание, сделан ное в начале предыдущего параграфа (на стр. 373).
Следствие 12.3.2
Если прямая, параллельная одной стороне треугольника, пере секает две другие его стороны в различных точках, то она отсекает треугольник, подобный данному треугольнику.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д ADE |
|
и /, В являются соответственными |
А |
углами, образованными |
секущей |
|
АВ с параллельными прямыми DE
и ВС\ потому они конгруэнтны. Итак, /_ ADE ^ /, В. Поскольку L Л = L А, то из УУ-следствия вытекает, что
& A D E ~ |
АВС. |
Задачи к § 4 (часть 1) |
1. Д а н о : Рисунок, где |
АС ||S D - |
Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . 1°.
ДАСЕ ~ Д BDE.
2». АЕ • ED — CE <ЕВ.
2, Д а н о : |
Трапеция |
PQRS, где Si? |j PQ; |
середины U и V |
сторон SR и PQ; диа |
гональ |
SQ. |
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . U S -M Q = = VQ •MS.
С
3. Дан |
рисунок, где |
A D - 1 4 , |
E D — 12, |
ВС = |
15 и ЕВ = 4. |
Найдите |
АС, АЕ и |
AB. |
|
|
|
4. В Д G H R имеем ОК = Яі<\ PR 1 G R и PQ !_ НК- Докажите, что
GR ■PQ — P R ■HQ.
5. Докажите следующую теорему:
Любые две соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
6. Z С — прямой угол |
в |
Д АВС |
и |
CD — |
С |
высота, проведенная |
к |
гипотенузе. |
|
a) |
Назовите |
хотя бы |
|
один угол, |
конгру |
|
|
энтный L АС В. |
|
|
|
|
|
B) |
Назовите |
угол, конгруэнтный |
L г. |
|
c) |
Назовите |
треугольник, |
подобный |
|
ДАВС.
Запишите подобие между ними.
Т
7. На этом рисунке RQ 1 P Q , P Q l .P T и ST J L PR . Докажите, что
ST • RQ — PS ■PQ.
8. Дан рисунок. Выразите х через а, |
L |
Ъ и с. |
|
9. На этом рисунке □ DEFG — квадрат |
|
и /. С — прямой угол. |
С |
Докажите: 1®. |
Д ADG ~ Д GCF. |
2®. & A D G ~ & F E B . |
|
3®. |
AD ■ ЕВ —DG ■ FE. |
|
4». |
DE = V A D -EB. |
|
10. Докажите следующую теорему:
Любые две соответствующие бис сектрисы подобных треугольников от носятся как соответствующие сто роны.
11*. |
Дан |
рисунок, где |
||/2 |
и отрезки |
A P , |
BQ, |
CR пересекаются в |
точке К- |
a)Назовите три пары подобных тре угольников и запишите три соот ветствия подобия.
B) Докажите, что
AB АС ВС
PQ ~ PR ~ RQ ‘
12*. Дан рисунок с помеченными на нем |
В |
перпендикулярами. |
|
|
|
a) Докажите, |
что Д |
BFC ~ |
Д ADC. |
|
B) Докажите, |
что |
|
|
|
|
BF |
A D -B C |
|
|
|
АС |
* |
|
|
|
|
|
|
с) Докажите, |
что |
|
|
|
BE |
CD |
АС |
AD |
ВС |
|
AB ~ |
АС |
‘ А В + |
АС ' |
AB * |
|
13*. Дан параллелограмм ABCD с диагональю АС. Прямая, проходящая че рез В, пересекает диагональ АС в точке Е, сторону DC в точке G и пря
мую AD в точке F. Докажите, что
1®. |
& A E F ~ |
& С Е В \ |
2®. |
ЕВ есть |
среднее геометрическое EG и EF. |
14*Д На этом рисунке каждый из отрезков РА,
QB и RC |
перпендикулярен |
отрезку |
АС. |
|
а) Дополните. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
РАС ~ Д |
... и |
|
|
|
|
|
ДЛВ<3~ Д ... . |
|
|
|
Ь) |
Что правильно: |
|
|
|
|
|
|
г |
_ п |
или |
«І+ П |
|
|
|
X |
~~ т |
|
|
|
c) |
Что правильно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
_ |
т |
или — = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У ~ |
п |
|
У |
т-{;П |
d) Покажите, |
что |
|
|
1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
У ~ 2 |
15*+. «Первый человек может выполнить работу за 6 часов, а второй ту же ра боту может выполнить за 3 часа. За сколько часов они выполнят работу, если будут работать вместе?» На этот вопрос можно ответить, решив урав нение
Решите это уравнение геометрически. ( У к а з а н и е . |
См. задачу 14.) |
Конкурсная задача |
|
|
Вот часто встречающаяся задача об электрических |
цепях. Цепь состоит |
из двух проводов с сопротивлениями |
и R 2, соединенных параллельно. Чему |
равно общее сопротивление цепи? |
|
|
|
|
|
YR |
|
|
|
J |
Сопротивление R цепи определяется из равенства |
|
1= 1+ 1 |
|
|
R |
R ^ R s ' |
|
Пользуясь этим равенством, выразите R через |
и R 2. |
Для |
нахождения R по известным /Ц и Р 2 пользуются .следующей схемой1). |
На трех |
лучах, проведенных, как |
показано ниже, |
нанесены числовые шкалы. |
Кзначениям R t и R2 на двух внешних шкалах прикладывают линейку,
ив точке пересечения этой линейки с третьей шкалой читают значение R.
1)Геометрические схемы такого рода, позволяющие геометрически опреде лять значение неизвестной величины по данным, известным нам, называются
номограммами.
