книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 1. ИДЕЯ ПОДОБИЯ. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Грубо говоря, две геометрические фигуры подобны, если они имеют точно одну и ту же форму, но не обязательно одни и те же размеры. Например, любые две окружности подобны, любые два квадрата подобны, любые два равносторонних треугольника подобны и любые два отрезка подобны.

Иначе это же можно выразить так: две фигуры подобны, если одна из них является неискаженным изображением другой.

Пометки на следующем рисунке указывают, что изображенные здесь два треугольника подобны.

Первый из них можно «растянуть», удвоив его размеры, но не меняя формы, так, что получится второй. Эту схему «растяже­ ния» можно записать как соответствие

А В С ^ А 'В 'С .

Конечно, это соответствие не является конгруэнтностью, потому что каждая сррона второго треугольника вдвое длиннее соответ­ ствующей стороны первого. Такого рода соответствие называется подобием. Точное определение подобия будет дано в этой главе позже.

Подобие может не растягивать фигуры, а сжимать их. Напри­ мер, соответствие

А 'В 'С '^ А В С

сжимает второй треугольник в первый.

349

Заметим, что длины сторон наших двух треугольников обра­ зуют две последовательности положительных чисел: а, Ь, с и а', b', c'. Между этими последовательностями существует особого рода связь: каждое число из второй последовательности ровно вдвое больше соответствующего числа из первой последователь­ ности. Таким образом,

Можно и наоборот сказать, что каждое число из первой последо­ вательности вдвое меньше соответствующего числа из второй:

Таким образом,

а' __ b' _ c'

так как каждое из этих отношений равно 2, и

а__ Ь __ с

НЕ ~ V ~ V •

ности, связанные таким образом, называются пропорциональными.

Определение

п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и .

Очевидно, это определение не зависит от порядка, в котором перечисляются две данные последовательности: если

а _ Ь __ с __

р ~ q ~ Т —

ТО И

Р _ ± _ г_ _

а Ь с

инаоборот.

Кпропорциональным последовательностям мы будем применять обычные методы алгебры. Проще всего иметь дело с пропорцио­ нальными последовательностями, содержащими лишь две пары чисел. Такие 'последовательности мы будем часто называть про­ порциями. Вот несколько примеров, показывающих, какие можно

360

сделать заключения, если дано, что числа а, Ь и р, q пропорциональны. Дано:

по определению пропорции. Умножая обе части равенства на pq, получаем

Деля обе части на bq, находим

а __ р

( 3)

Поскольку все числа в пропорции должны быть положительными, никакой опасности', что придется делить на нуль, здесь нет. При­ бавляя затем к обеим частям по 1 и упрощая, получаем

А вычитая из обеих частей равенства (3) по 1, имеем

Это только наиболее полезные из соотношений, которые можно вывести из (1); существует и много других. Запоминать эти соот­ ношения не стоит. Если вы попытаетесь такого рода вещи выучить наизусть, то в тот момент, когда они вам будут больше всего нуж­ ны, в половине случаев вы вспомните их с ошибками. Что нужно запомнить — это (алгебраический) прием, с помощью которого мы выводим одно соотношение из другого.

Определение

Если а, Ь, с ~ положительные числа и

Легко вычислить, что b — Y^ac.

Задачи к § 1

1.Подберите числа, при которых каждая цепочка равенств становится про­ порциональной последовательностью:

351

последовательности а) и Ь) пропорциональны, так как каждое число после­ довательности Ь) в три раза больше соответствующего числа последователь­ ности а). Но сравнить а) и с) или Ь) и с) уже не так просто. Один из эффективных способов,, позволяющих это сделать, состоит в том, чтобы

352

счего начать доказательство.)

§2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теперь мы дадим определение подобия треугольников. Допу­ стим, что нам дано соответствие АВС — А'В'С' между Д АВС и Д А 'В 'С . Как обычно, а —это длина стороны, противополож­

ной вершине А, b—длина сто­ роны, противоположной В, и т. д. Если соответствующие углы треугольников конгруэнтны и

то мы говорим,что соответст­ виеАВС ■*-* А'В'С' является подобием и пишем •*

Д А В С ~ Д А 'В ’С'.

Определение

Дано соответствие между двумя треугольниками. Если соот­ ветствующие углы треугольников конгруэнтны, а соответствую­ щие стороны пропорциональны, то это соответствие называется п о д о б и е м , а треугольники —п о д о б н ыми , треугольниками.

Определение подобия содержит два требования:

1°. Соответствующие углы должны быть конгруэнтны.

2°. Соответствующие стороны должны быть пропорциональны. , .

354

нения 1° и 2°. И это правильно, потому что треугольники—един­

2. Вырезан кусок картона, как на рисунке, где внутренняя и внешняя гра­ ницы области являются подобными четырехугольниками. Чему равны г, s и t, если длины сторон указаны на рисунке.

=15?

6. Джон может получить хорошее приближенное значение высоты большого

точно закрывать от него дерево над полутораметровой отметкой. Пользуясь

С'

8. Докажите, что треугольник, вершины которого являются серединами сто­ рон данного треугольника, подобен данному треугольнику.

356

X

R

§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотрим Д АВС с поперечной полоской DE, параллельной

Если прямая, параллельная од­ ной стороне треугольника, пересе­ кает две другие его стороны в раз­ личных точках, то она отсекает от этих сторон отрезки, пропор­ циональные самим сторонам.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть D u Е —точки сторон AB и АС Д АВС такие, что DE \\ ВС. Тогда

AB _ ЛС

AD ~7 А Е ’

3 5 7