11. Гипотенуза треугольника имеет длину 51, а один из катетов — 24. Найдите площадь треугольника.
12. На этом рисунке QR = 5, Р Р = 1 2 ,
R T = h, причем QR J_ R P и R T J_ PQ.
Найдите h.
13. Выразите длину h высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, через длины а и b его катетов.
14.Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 24 и 32. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
15.Каждая сторона ромба имеет длину 10 см, а одна из диагоналей— 12 см. Найдите площадь ромба. Найдите его высоту, проведенную к любой сто
роне.
16.Один угол ромба имеет меру 60, а длина его стороны равна 5. Найдите длину каждой диагонали.
17.□ А BCD — трапеция, причем А В | DC.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите |
|
площадь |
|
этой |
трапеции, |
если |
|
отрезки |
имеют |
длины, |
указан |
ные |
на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
18+ . а) |
На |
рисунке |
|
указаны |
прямые |
углы и длины некоторых отрезков. |
Найдите P B , |
P C |
|
и PD . |
|
|
|
Ь) |
Если вы продолжите |
то, |
что |
сде |
лано |
на рисунке, взяв т 2 |
P D E = |
= |
|
90 и D E = 1, то |
чему |
будет |
рав |
но |
РЕ7 |
Чему |
будет |
равна |
длина |
шестого |
отрезка, |
|
выходящего |
из |
точки |
Р? |
Вы должны |
обнаружить |
интересную закономерность. |
|
|
194 Одно |
доказательство |
теоремы |
Пи |
фагора, |
в |
котором |
используется |
этот |
рисунок, |
|
было |
найдено |
генералом |
Д . Э. Гарфильдом за |
несколько лет до |
того, |
|
как |
он |
стал |
президентом Сое |
диненных. Штатов. Оно было опублико вано приблизительно в 1875 г. в New
Englan d |
journal |
of Education. Д ока |
жите, что a2 + |
ö2 — с2, |
алгебраически |
выразив |
тот факт, что |
площадь трапе |
ции равна сумме площадей трех на ших треугольников. При этом нужно доказать, что і. Е В А — прямой угол.
Р |
1 |
А |
D а |
£ |
|
Г Г "~Л |
|
г |
/ \ |
|
! / |
\ |
\ |
1 / |
|
/ |
|
V |
|
|
\ |
|
S.C |
V |
|
Х |
\ |
П_
СЬ А
2 0 *. Дана трапеция A B C D , причем A B ||DC,
|
|
|
|
|
|
|
АС |
В С |
и В Ъ 1 ÂD. |
Чему |
равна пло |
щадь |
этой |
трапеции, |
если |
A B — 25, |
AD — 15 |
и В С = 15? |
|
|
2 1 *. В левом |
Д |
А В С имеем А С = 13, A B = 1 4 |
и |
В С = 15. |
|
|
|
а) |
Найдите |
высоту h c . |
|
|
Ь) Найдите высоту /г*, проведенную к стороне АС,
С
2 2 *. В |
правом |
Д PQR L Q — тупой, |
P Q = 1 1 , |
QR = 25 и P R = 30. Найдите |
высоту, |
проведенную к |
стороне PQ; |
найдите |
S ^ P Q J ?- |
23*. В |
Д |
MOQ |
имеем: |
МО _L OQ, МО = М |
|
= ОР = |
1 и |
M P = PQ. |
Найдите MQ. |
|
Найдите т Z.Q и m /1 QM О,
24*+ . A BCD есть тетраэдр, все ребра кото |
D |
рого конгруэнтны и имеют длину 2. |
|
Точки |
Р |
и S — соответственно середины |
|
ребер |
DC |
и AB . |
|
a) Докажите, что R S — общий перпенди
куляр ребер A B и DC.
B ) Найдите R S .
25*+ . Теорема Пифагора была |
известна |
древним грекам в следующей форме: |
П лощ адь квадрат а, |
построенного н а |
гипотенузе прямоугольного треуголь |
ника, равна сумме |
площадей |
квадратов, построенных на его катетах. |
5
|
Левый рисунок |
иллюстрирует теорему; правый используется в доказа |
тельстве. Следующие вопросы и ваши |
ответы на них приводят к доказа |
тельству теоремы |
Пифагора: |
|
a) |
Почему |
Z R A B ^ |
Z САМ ? |
|
B ) |
Почему |
А R A B s |
А САМ ? |
|
c) |
Почему |
S ARAB = S ACAM? |
|
d) |
Равна ли одна |
из |
высот A R A B длине АС? |
e) |
Почему. S D ЛС5/? = |
2 5 д /г д в ? |
|
f) |
Верно ли, |
что |
S nAM0P = 2SACAM? |
|
g) |
Почему |
S п ACSR = |
S р АМор? |
|
h) |
Верно |
ли, |
что |
S DBH0C = S aP()KB? |
|
i) |
Верно ли, |
что |
S aAMKB = S a p o K ß + |
S oA M oP ? Почему? |
Конкурсная задача |
|
D |
J |
С |
□ A BC D — квадрат; |
Н, I , J и |
К — се |
|
|
редины его сторон, как показано на рисун |
|
|
ке, и □ P Q R S — квадрат. |
Найдите |
отноше |
|
|
ние |
|
|
|
|
S O P Q RS
S 0 ABCD
§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Теорема Пифагора дает нам информацию о некоторых тре угольниках специального вида.
Теорема 11.10 (теорема о равнобедренном прямоугольном треугольнике)
Длина |
гипотенузы |
равнобедренного |
|
прямоугольного треугольника равна: дли |
|
не любого из его катетов, умноженной |
|
на \f2. |
|
|
|
Доказательство вы должны провести |
|
самостоятельно. |
|
|
Верна |
ли и обратная |
теорема? |
с=а/2 |
Теорема П .11
Если длина основания равнобедрен ного треугольника равна длине любой из его конгруэнтных сторон, умноженной
на У 2, то угол, противоположный ос нованию, является прямым.,
Доказательство начинается |
с замечания, что й2 + а2 = (а У й )2. |
В § 7 гл. 9 мы выяснили, |
что |
в треугольнике 30-60-90 сто |
рона, противоположная углу в 30°, |
имеет длину вдвое меньшую |
длины гипотенузы; мы знаем также, |
что верна и обратная теорема; |
С помощью теоремы Пифагора мы получим теперь соотноше ние между гипотенузой и б о л ь ш и м из двух катетов в треуголь нике 30-60-90.
Теорема 11.12
ts>|c>
В треугольнике 30-60-90 длина боль шего катета равна длине гипотенузы,
умноженной на 1/^/2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть с—длина гипотенузы, а Ь—длина большего катета. Тогда длина меньшего катета равна с/2. По теореме Пифагора
откуда находим
Ь = Ѵ±2 с.
(Вопрос. Верно ли, что в треугольнике 30-60-90 длина боль шего катета равна длине меньшего катета, умноженной на КЗ?)
Задачи к |
§ 4 |
|
|
|
|
|
1. |
Какова |
длина диагонали |
квадрата со стороной 6? 9? |
78? |
J^ 6 ? |
2. |
Найдите |
больший катет |
в треугольнике |
30-60-90, |
гипотенуза которого |
|
равна 4; 18; 89; 2 ] / 3 ; 13. |
|
|
|
|
з. |
А А В С — равносторонний |
треугольник, |
каж |
|
С |
|
|
|
дая из |
сторон которого |
имеет длину |
8 см. |
|
|
|
Какую длину имеет высота, проведенная |
из |
|
|
|
вершины С? Чему равна площадь Л А В С ? |
|
|
4.Острые углы прямоугольного треугольника конгруэнтны, и одна из конгру
энтных сторон имеет длину 15. Какую длину имеет третья сторона?
5 . В А PQR |
имеем |
m Z . P = 30, |
P R — 8 |
и |
|
/? |
P Q = 1 1 . |
Найдите |
высоту, |
проведенную из |
|
|
вершины R, и площадь A PQR. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
- 1 1 |
Q |
6. Мера |
каждого из |
углов |
при |
основании |
равнобедренного |
треугольника |
равна |
30, |
а каждая |
из двух |
конгруэнтных |
сторон имеет длину 14. Какую |
длину |
имеет основание? Чему |
равна площадь треугольника? |
|
7.Две стороны параллелограмма имеіЬт длину 18 и 8, а мера одного из его углов равна 30. Найдите площадь параллелограмма.
8.Какую площадь имеет равнобедренный треугольник, конгруэнтные стороны которого имеют длину по 20, а мера каждого из углов при основании кото рого равна 30? 45? 60?
9. |
£. А — прямой угол в |
А А ВС , |
а т А В = т а С = 45. |
Найдите A B , если |
|
дано, что В С = 6. |
|
|
|
|
|
10. |
Докажите, |
что |
если |
гипотенуза |
равно |
С |
|
бедренного |
прямоугольного |
треугольника |
|
|
имеет длину |
т, |
то длина каждого |
из его |
|
|
катетов равна у |
т У~2.1 |
|
|
|
11. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, каждая из конгруэнт
ных сторон |
которого |
имеет длину 12 см, а углы при основании имеют меру |
а) 45; |
Ъ) 30; |
с) 60? |
12. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, основание которого
имеет длину |
12 см, |
а углы при основании имеют меру |
а) 45; |
|
Ь) |
30; |
с) 60? |
|
|
13. Меры |
углов |
при основании |
трапеции |
D 5 С |
A B C D |
равны, |
как |
показано, |
45 и 30. |
|
Кроме того, |
В С — 16 и DC — 5. Най |
|
дите |
|
|
|
|
|
|
S O AB C D ’
14. Высота равностороннего треугольника равна 12. Найдите длину стороны и площадь треугольника.
15. Докажите, |
что |
площадь |
равностороннего треугольника, сторона которого |
имеет длину |
а, |
равна |
ß2 |
і/'Т |
|
у 3 . |
16. Сторона одного равностороннего треугольника равна высоте второго. Чему равно отношение их площадей?
17. Площадь равностороннего треугольника равна 25 У 3 . Определите длину его стороны и высоты.
18. Квадрат, площадь которого равна 81, имеет периметр, равный периметру некоторого равностороннего треугольника. Чему равна площадь этого тре угольника?
19. А А В С |
на |
этом рисунке |
плоскости |
Е |
и |
PA J_ Е. |
|
Р В = |
В С = |
8, |
|
P C = |
4 ] / б |
, |
т £. Б Р А = 30.
Найдите меры как можно большего числа других углов и длины как можно
большего числа отрезков. Найдите также S ^ P B C -
20. Ребра куба конгруэнтны, и если они пересекаются, то перпендикулярны друг другу. Найдите S n A C Q E K S A A C F > если ребро куба имеет длину 6.
2 1 *. В Д А В С имеем т L А — 30, АС = 4,
А В = 3 / 3 . |
|
|
|
Найдите ВС. |
Является |
ли Z С |
пря |
мым? Откуда вы это знаете? |
|
2 2 *. L Q — тупой угол в Д |
PQR, т L Р — |
- = 4 5 , P Q = 10, |
P R = 3 . |
Найдите |
RQ и |
S APQR-
23+. На этом рисунке т L K — PQ — M =
|
|
|
|
|
|
= |
60. |
Квадрат ABCD лежит в |
одной |
из |
граней |
данного |
двугранного |
угла, |
причем |
AB I! PQ и |
проекцией |
этого |
квадрата |
на другую грань служит |
D E F G H . |
Найдите |
S Q E E G H’ |
если |
ЛЯ = 26. |
|
|
|
Q
24*+ . |
На этом рисунке т Z |
K — PQ — |
— Л4 = |
45. |
Квадрат |
ABCD |
лежит в |
одной |
из |
граней |
этого двугранного |
угла, |
|
<~> |
< —>■ |
проекцией |
причем BD |
J . PQ и |
этого квадрата на другую грань слу жит □ EFG H . Найдите S d E F G H ,
если ЛЯ = 8,
2 5 *К Плоскости |
Е |
и |
F |
пересекаются |
по |
прямой |
A B |
и |
образуют |
двугранный |
угол. Прямая |
CD |
в |
плоскости |
F |
яв |
ляется |
медиатрисой |
отрезка Ä B . Найдите |
т L C — A B — K |
и |
Яд л в /с* |
если |
Дано> |
что АС |
1 В С , |
|
Ш |
і Е |
, m Z C B K = |
30 |
и В С = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы и задачи для повторения
1. |
Д о п о л н и т е : Многоугольной областью |
называется ... |
некоторого |
числа |
|
на плоскости при условии, что если |
две |
из них |
то |
их ... есть |
либо .. |
|
либо . . . . |
|
|
|
|
|
2. |
На этом рисунке АС _L D B . Чему |
равно |
|
|
|
отношение S ^ ACD к S ^ ABC, если D E — 8
и B E — 12?
3 . Во сколько раз площадь одного квадрата больше площади другого квадрата, если длина стороны первого квадрата втрое больше длины стороны второго? (Постарайтесь ответить на этот вопрос, не пользуясь никакими формулами для площади.)
4. Р Т |
и R S — высоты |
в Д PQR. Найдите |
Р Т , |
если дано, что |
P R — 13, P S — 5 и |
m Z Q = 45. |
|
5.Какую длину имеет сторона квадрата, если длина диагонали равна 18 м? Чему равна площадь квадрата?
6 . Длины сторон треугольника равны 25, 25f*“k 48. Найдите его площадь
7.Медиана равностороннего треугольника имеет длину 15 см. Чему-равна его площадь?
А
8 . □ |
A BCD — параллелограмм, |
C K ± |
A B и |
Z М — прямой угол. |
|
|
|
|
a) |
Найдите |
DC |
и |
СМ, |
если ß C = 1 2 , |
|
D M = 15 |
и К С = |
9. |
|
|
__ |
B ) |
Найдите |
AD |
и DM, |
если |
К С = |
У 24, |
А К = Ѵ І8 и К В = Ѵ ~8.
М
9. |
Сторона |
ромба равна |
13, |
а одна из |
его |
диагоналей — 24. Найдите площадь |
|
ромба. |
|
|
|
|
|
10. |
Длина |
медианы CD |
Д |
А В С равна |
8, |
A B — 14 и т А ЛИС = 60. Найдите |
5 д л в с -
11.Выведите формулу, выражающую пло щадь этой фигуры через a , b и с.
12. Параллельные стороны трапеции имеют длину 13 см и 21 см. Длина боль шей из непараллельных сторон равна 17 см, а меньшая перпендикулярна параллельной стороне. Чему равна площадь трапеции?
13. |
М — середина |
стороны |
AD, |
а |
К — середина стороны A B |
параллело |
|
грамма A BCD . Докажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
^ПАКСМ — ~2 ^ Q A B C D - |
|
|
14. |
AG и Е С — диагонали этого прямоуголь |
И |
G |
|
|
|
ного тела. Найдите |
AG |
и |
ЕС, |
если |
|
|
|
А В = 9, BF = |
12 и |
/Ш = |
8. |
|
|
|
|
15.Чему равна длина диагонали куба с ребром 6?
16.Биссектрисы А А и А С параллело
грамма пересекают диагональ |
D B |
соот |
ветственно в |
точках |
Е |
и F . |
Докажите, |
что области |
A B C F E |
и |
AEFC D |
имеют |
одну и ту же |
площадь. |
|
|
|
17. Данный отрезок является стороной квадрата и, кроме того, гипотенузой некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь квадрата в 4 раза больше площади этого треугольника. (Постарайтесь сделать это, совершенно не пользуясь никакими формулами для площади.)
|
18. Площадь равностороннего треугольника равна |
1 0 0 ^ 3 . Какую длину имеют |
|
его сторона и высота? |
.—_ — |
0 / ———VС |
|
19. □ A B C D — трапеция, |
|
причем AB\\CD, |
/ |
\ |
|
т А А = т А В — 60 и |
<40 = 12, 6 С = 8 . |
/ |
\ |
|
Найдите S Di4ßCD. |
|
/ |
\ |
|
|
|
60 |
60 ‘ а |
2 0 *. П ABCD — квадрат. Точка |
Е лежит на |
|
0 |
с |
Р |
AD, |
а _ то ч к а |
|
F — на |
|
DC; |
|
при |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ß_L F B . |
Найдите CF, |
если |
S □ |
A B C D — |
|
|
|
|
= |
256 |
и S A E B P ==200. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 *. □ P Q F S — трапеция, |
причем |
P Q H S / 7, |
|
|
|
|
т /. Р = 45 и |
т Z .Q — 120. |
Чему |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
если |
^ 5 = 1 2 |
У 2 |
и PQ — 27? |
|
|
|
|
2 2 *+. Две |
стороны |
треугольника |
имеют длины |
а |
и Ь. |
Высота, проведенная |
к |
третьей |
стороне, |
разбивает |
эту |
сторону на отрезки |
соответственно длин |
c a d . |
Докажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а + |
Ь) (а — Ь) = (с + d ) (c — d). |
|
|
2 3 *+ . |
Д а н о : |
□ |
A BC D — трапеция, |
причем |
|
D |
С |
|
A B [I CD. Точки |
М |
и |
К |
соответственно |
|
|
|
|
|
|
являются |
серединами сторон |
AD |
и ВС. |
|
|
|
|
Кроме |
того, PK\\AD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я |
|
д о к а з а т ь . |
|
S ^ APD = |
|
|
|
|
— ^ a P B C D = 2 |
|
A B C D • |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 *> . Даны два произвольных параллелограмма |
на |
плоскости. Объясните, |
как |
можно провести прямую, одновременно делящую каждую из ограничиваемых этими параллелограммами областей на две области равной площади.
Конкурсная задача
Фигура на |
рисунке |
состоит из |
А |
четырех |
прямоугольных |
треугольни |
|
ков, четырех прямоугольников и квад |
|
ратной |
«дыры» со |
стороной 1. |
|
a)Найдите сумму площадей восьми областей. (Площадь дыры не счи тать!)
B ) Найдите основание D E и высоту,
проведенную из вершины А на DË. Вычислите половину произведения этих двух чисел.
c)Можете ли вы объяснить, почему результаты вычислений в пунктах а) и Ь) совпадают, хотя в а) пло
щадь дыры не учитывается? |
К |
В |
