Аргументы? (Для некоторых из этих шагов вам может потре боваться не один аргумент.)
Из этой теоремы мы можем вывести формулу для площади любого треугольника. Когда мы это сделаем, теорема 11.2 нам больше не будет нужна, так как общая теорема будет включать ее в качестве частного случая.
Теорема 11.3
Площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и h —основание и |
высота тре |
угольника |
и S —его площадь. |
Нужно рассмотреть |
три случая. |
R |
R |
R |
|
1°. Если нижний конец высоты лежит между концами основания, то высота разбивает наш треугольник на два прямоугольных тре угольника с основаниями а1 и а.2) причем а1-\-а.2 = а. По предыду-
щей теореме площади этих треугольников равны ауг и ^ a2h.
Согласно аксиоме сложения площадей
S = у a-Ji + у aji.
Следовательно,
S = y (a1-\-ai)h = ~ah.
что и требовалось доказать.
2°. Если нижним концом высоты служит один из концов основа ния, то наш треугольник является прямоугольным и по предыду
щей теореме S = у ah.
3°. Если нижний конец высоты лежит вне основания, как на
третьем |
рисунке, то |
|
~2 аі^ + *5 = у (аі "Ь а) |
и, как |
и прежде, |
|
S = ^ ah. |
(Аргументы?)
Заметим, что теорему 11.3 можно применить к любому тре угольнику тремя способами: любую из трех сторон мы можем выбрать в качестве основа ния, умножить ее на соответ ствующую высоту и разделить на два. Каждое из произве дений
~п а Л , |
1 |
2 aJh |
|
|
о ^2^2 |
|
|
должно давать одно и то же |
|
|
число, потому что все они |
|
|
равны площади треугольника. |
площадь |
любого тре |
Теперь, когда мы знаем, как находить |
угольника, остается |
немногое: чтобы найти |
площадь |
многоуголь |
ной области, нужно |
разбить эту область на |
треугольники и сло |
жить площади этих треугольников. Этот прием особенно прост для трапеций.
Теорема 11.4
Площадь трапеции равна половине сумму оснований.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Пусть S — площадь трапеции. Р Любая диагональ делит тра пецию на два треугольника с основаниями аг и а2 и одной
и той же высотой h. (Поче му /4P = CQ?) В силу аксио мы сложения площадей
произведения высоты на
S= -jh(a1*Ü2)
S = ja1h+ Y aih= Yh(a1+ a2),
что и требовалось доказать.
Отсюда мы сразу же получаем формулу для площади парал лелограмма.
Теорема 11.5
Площадь параллелограмма равна произведению любого его основания на соответствую щую высоту.
Д о к |
а з а т е л ь с т в о . Пусть S —площадь параллелограмма. |
Каждый |
параллелограмм является трапецией, у которой аг = а2 —а. |
Следовательно,
S = у h (а + а) = ah.
Из формулы для площади треугольника вытекают два простых,
но полезных |
следствия. |
|
Теорема 11.6 |
|
|
Если два |
треугольника |
имеют одно и то же основание а и |
одну и ту же высоту h, |
то они имеют и одну и ту же пло |
щадь. |
|
|
|
R |
R1 |
Это очевидно, потому что площадь каждого из них равна
і ah.
Теорема 11.7
Если два треугольника |
имеют одну и ту же высоту h, то |
их плошриди относятся, как их основания. |
А |
R |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ах и |
а2 — основания наших тре |
угольников. Тогда |
|
|
<; |
аih |
OlS |
ABC _ |
_£______ |
S A P O R |
a 2h |
a a i |
Задачи к § |
2 |
|
|
|
1. В А АВС |
основание А С —8 |
и высота из вершины |
В равна 3. В |
Л DEF |
основание |
ЕЕ = 6. Найдите |
высоту из вершины D, |
если S ^ ABC = |
S ^ DEfi |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
А Р — прямой угол в |
Л PQR, PR — 16, PQ— 12 и RQ = 20. |
|
a) |
Найдите площадь |
Д PQR. |
|
|
B ) |
Найдите высоту, опущенную из вершины Р. |
3. |
На |
этом |
рисунке В — середина |
отрез |
|
ка |
АС и |
ED ИАС. |
Докажите, |
что |
S A A B E ~ S A B C D -
А В С
4. □ KM PR — параллелограмм. |
Дано, |
что т £ К — 30, К М = 1 1 и |
K R = 8 . |
Найдите S nKMPR. |
'30° |
М
б.Длина стороны ромба равна 12 и мера одного из его углов равна 150. Найдите площадь ромба.
6. Один прямоугольный |
треугольник имеет катеты в |
18 см |
и 14 см, а дру |
гой— в 12 см и 24 см. |
Как относятся площади этих |
двух |
треугольников? |
7. Две стороны треугольника имеют длину 15 см и 20 см, а высота, прове денная к первой стороне, равна 8 см. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
С
8. В |
Д |
АВС |
отрезок |
CD является вы |
|
сотой, |
проведенной |
к стороне |
AB, |
|
а |
А Ё — высотой, |
проведенной |
к |
сто |
|
роне ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
Найдите |
ВС, если |
АВ = 8, |
CD = 9 |
и |
АЕ — 6. |
B ) |
Найдите |
CD, если |
A ß = l l , |
АЕ = |
5 и ß C = 1 5 . |
cj |
Найдите |
АЕ, |
если |
C D = h , |
A B — с и ВС = а. |
d) |
Найдите |
АЕ, |
если |
A ß = 1 5 , |
С £ > = 14 |
и ßC = 21, |
9.Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 50 см, длина одного
катета— 14 см, и площадь треугольника равна 336 кв см. Чему равна высота, проведенная к гипотенузе? Чему равна высота, проведенная к дан ному катету?
10. Треугольник и параллелограмм имеют равные площади и равные основа ния. Как относятся их высоты?
11. □ |
A B C D — параллелограмм, Е Й J J ) C , |
C F ± A B и B G ± T M . |
|
|
|
|
a) |
Чему |
равно |
A D , |
если |
Л В = |
18, |
_ E H = 10 и B G = 15? |
|
|
|
|
b) |
Чему |
равно |
DC, |
если |
AD = 2 2 , |
|
BG = 7 и E H = |
14? |
|
|
|
|
c) |
Если |
CF = 12, |
|
SG = 1 6 |
и В С = 1 7 , |
|
то AB = ? |
|
|
|
|
|
|
d) |
Если |
BG = 24, |
AD = 28 |
и |
AB = |
32, |
|
то EH = ? |
_ |
|
|
|
|
|
e) |
Если |
A B = y r',50, C F = |
6 |
и GB |
= |
=>/18, то BC = ?
12.□ TlfiCD на этом рисунке является квадратом и все отрезки, образующие границу звезды, конгруэнтны. Найди
те площадь звёзды, если заданы S и Ь.
13. Докажите, что две области, на которые медиана треугольника разбивает определяемую им треугольную область, имеют равные площади.
14. |
На правом рисунке □ M P R T является параллелограммом и T S = S R — RQ. |
|
Чему равно отношение |
|
|
а ) ^ A P B S и ^ Д Р Д о ? |
^ A P M O И ^ O M P R T * |
|
с) |
S ДРМО и S APOS? |
d) S A P Q R и S Q/HPSr? |
15. |
□ |
ABCD — трапеция с параллельны |
|
ми сторонами |
AB |
и CD. |
|
|
a) |
Если Л5 = |
18, |
DC = 1 2 , |
h = 9, то |
A B C D ~ ^
B ) Если S а ABCD = 84, A B = \ 7 , CD =
=И , то А= ?
c) |
Если |
S Q дВСд = 375, А = 1 5 , A B = |
= |
38, то |
CD = 7 |
d) |
Если |
ЛЯ = 1 5 , |
D C — 8, ß C = |
10 |
и |
|
m z |
ß = 30, то |
5 рЛВСО= ? |
|
|
e) |
Если |
Л Я = 1 3 , |
h — 5, 5 а |ЛВС£) = |
65, |
то |
|
CD = |
? |
|
|
|
16. Чему равна площадь трапеции, если ее
высота равна 6, а средняя линия 12?
( У к а з а н и е . См. задачу 4 к § 8 гл. 9.)
17. Землемер |
должен |
был |
найти |
площадь |
участка земли |
|
A B C D E : |
Он |
провел |
ли |
нию |
север — юг |
через точку |
Е, |
а |
также |
и |
линии |
восток — запад |
|
через |
точки |
А, |
В, |
С, |
D и |
установил, |
что ЛО = |
37 |
ж, |
B R = 47 |
ж, |
CQ = |
42 |
ж, |
|
D P = 28 |
ж, |
P Q = 1 3 ж, QE = 7 ж, £7? = 1 9 ж и |
£ 0 = 1 8 ж. Затем он вычислил |
искомую |
площадь. Найдите эту площадь. |
|
|
|
18. Докажите следующую теорему: |
|
|
|
Если |
диагонали |
выпуклого |
четырехуголь |
ника перпендикулярны, то его площадь |
равна |
половине |
|
произведения |
длин |
диаго-А |
налей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Останется ли эта теорема верной, если не требовать, чтобы четырехуголь ник был выпуклым?
19. □ PQ R S — выпуклый четырохугольник и
P R ± Q S - |
|
a) Чему равна площадь |
S OPORS, если |
P R = 12 и Q S = 1 6 ? |
|
B ) Чему равно QS, если |
S Q PoRS= 1 5 3 и |
P R = 17? |
|
N
\
Д ок а за т ь:
SaAßCE=f(AC)(BD)
О
20. Длина диагоналей ромба равна 15 и 20. Чему равна его площадь? Если высота этого ромба равна 12, то чему равна длина стороны? ( У к а з а н и е . Применима ли здесь задача 18?)
21. Докажите, что если d и d' — диагонали ромба, то площадь ромба равна dd'/2.
22. Площадь ромба равна 348, а одна из диагоналей— 24. Найдите другую диагональ.
23. В |
□ ABCD имеем АС J_ BD. Можете |
ли вы найти S QABCD, если ЛС = 13 |
и |
S D = |
8? |
|
24*. |
В |
□ |
ABCD диагональ BD делится |
пополам диагональю АС. Докажите, |
чтS А А0 В С ~ S A A D C -
25*. Дано, |
что □ ABCD — параллелограмм и |
что точки Р, Q, R и S — сере |
дины его |
сторон. Докажите, что 5 Q p o p s = |
^aABCD- |
26*. Дан произвольный A MQR с двумя |
R |
|
медианами RS |
и МТ, |
пересекающи |
|
мися в точке |
Р. |
Докажите, что |
|
S A P M S = = S A P R T -
27*. □ ABCD — трапеция с DC\\AB, Е —
середина |
основания AB, F — середина |
отрезка |
D E и |
G — середина |
отрезка |
СЕ. Докажите, |
что S AAFD = |
S ABQC. |
28*. Пусть AB — данный отрезок в плоскости Е. Для любого положительного числа k существует по крайней мере одна такая точка Р, что S AABp — k.
Существует ли больше одной такой точки? Сколько? Опишите множество всех точек Р в плоскости Е, для которых SAAßp —k. Опишите множество таких точек в пространстве.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29*. |
□ PQRS — параллелограмм |
J — точка |
стороны |
RS, |
для которой |
RJ < |
< |
у |
RS, К — точка стороны |
RQ, для |
которой |
R K < |
RQ- Прямая, про |
ходящая через S и параллельная РК, пересекает |
прямую, проходящую |
через |
К и параллельную PJ в точке М . Прямая |
PJ пересекает отрезок S /И |
в точке L. Докажите, что |
S a P Q p s — S QPKLM. ( У к а з а н и е . |
Пересе |
каются ли прямые RQ и SM?) |
|
|
|
|
|
3 0 *+ . Докажите, что если |
прямая I раз |
|
|
|
|
бивает область, определяемую |
некото |
|
|
|
|
рым параллелограммом, на две части |
|
|
|
|
равной площади, то I содержит точку |
|
|
|
|
пересечения диагоналей |
этого |
парал |
|
|
|
|
лелограмма. |
|
|
|
|
|
|
§ 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теперь, когда мы знаем, как вычисляются площади, теорему Пифагора доказать довольно легко.
Теорема 11.8 (теорема Пифагора)
Квадрат гипотенузы любого прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Возьмем квадрат, длина стороны кото |
рого равна а-\-Ь. В |
этом |
квадрате мы построим четыре прямо |
угольных треугольника с катетами а н о . |
|
1°. На основании СУС каждый |
ь |
а |
из этих |
четырех |
треугольников |
конгруэнтен любому |
|
другому. По |
|
|
этому, |
как |
указано |
|
на |
рисунке, |
|
|
у всех |
этих |
треугольников |
гипо |
|
|
тенуза |
равна с. |
|
|
образо |
|
|
2°. |
Четырехугольник, |
|
|
ванный |
четырьмя |
гипотенузами, |
|
|
является |
квадратом. |
В обозначе |
|
|
ниях, указанных на рисунке, имеем |
|
|
|
|
|
г + s — 90, |
|
|
|
|
потому |
что |
острые |
|
углы |
|
прямо |
|
|
угольного |
треугольника |
дополни |
|
|
тельны. Так |
как |
|
r + s-M = |
180, |
|
|
|
|
|
|
|
то t = 90. |
Точно так же доказывается, что и остальные |
углы на |
шего четырехугольника —прямые. |
площадей площадь |
большого |
3°. Согласно аксиоме |
сложения |
квадрата равна площади маленького квадрата плюс сумма пло щадей четырех конгруэнтных треугольников. Таким образом,
(а + by = с2+ 4 • ~ ab.
Следовательно,
а2 + 2а6 + Ь2 —с2+ 2аЬ и а2 + 62 = с2,
что и требовалось доказать.
Верна и теорема, обратная теореме Пифагора.
Теорема 11.9
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квад- ратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямо угольный, причем прямой угол лежит против наибольшей сто роны.
|
С |
ь |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2+Ьг=сг |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан Д АВС, у которого, как на рисунке, |
а2-\-Ь2 = с2. |
Пусть |
Д А 'В ’С — пр я моу гол ьный |
треугольник |
с катетами |
а и Ь и |
гипотенузой d. Тогда |
c = d, |
поскольку d2 = |
— a2-\-b2 = c2. Вейлу |
ССС |
Д А В С ^ Д А'В'С'. |
Следовательно,- |
и |
С. |
Так как |
/ . С |
—прямой угол, |
то прямым является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПИФАГОР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пифагора |
обычно |
рас |
|
|
|
|
|
сматривают как первого из |
|
|
|
|
|
великих |
греческих матема |
|
|
|
|
|
тиков, но о нем как о че |
|
|
|
|
|
ловеке |
|
известно |
лишь |
|
|
|
|
|
очень немногое. Он родился |
|
|
|
|
|
около |
582 года |
до |
нашей |
|
|
|
|
|
эры и жил сначала на ост |
|
|
|
|
|
рове |
Самос |
в |
Эгейском |
|
|
|
|
|
море, |
а |
позднее |
на |
юге |
|
|
|
|
|
Италии. |
|
|
и его ученики |
|
|
|
|
|
|
Пифагор |
|
|
|
|
|
посвятили |
себя |
математи |
|
|
|
|
|
ке, |
астрономии |
и |
филосо |
|
|
|
|
|
фии. |
Считается, |
что |
они |
|
|
|
|
|
превратили |
геометрию |
в |
|
|
|
|
|
науку; они |
доказали |
тео |
|
|
|
|
|
рему Пифагора |
и открыли |
|
|
|
|
|
существование |
иррацио |
|
|
|
|
|
нальных |
|
чисел. |
Больших |
|
|
|
|
|
успехов |
достигли |
они |
и |
|
|
|
|
|
в |
астрономии: |
в |
шестом |
веке до нашей эры они знали, что Земля круглая и что она дви жется вокруг Солнца. Пифагор и его ученики не оставили ни каких письменных свидетельств о своей работе, и поэтому никто не знает, как они это установили и какие из сделанных ими открытий принадлежат лично Пифагору.
Задачи к § 3 |
|
|
|
|
|
1. с — длина |
гипотенузы |
прямоугольного Д А В С , а и 6 — длины его катетов. |
a) |
Если |
а = 12 и 6 = 1 6 , |
то |
с = |
? |
B ) |
Если |
а — 24 и с — 25, |
то |
6 = |
? |
c) |
Если |
а = 1 |
и 6 = |
2, |
то |
с = |
? |
d) |
Если |
6 = 1 8 |
и с = |
20, |
то |
а = |
? |
e) |
Если |
а — 7 |
и 6 = 7 , |
т о с = |
? |
f) |
Если |
а — 6 |
и с — 12, |
то |
6 = |
? |
2. |
Человек прошел 8 |
км на |
север, затем |
3 км на восток и затем 3 км |
на юг. |
|
Насколько |
далеко |
находится он от |
начальной точки своего пути? |
|
3. |
Человек прошел 1 |
км на |
север, 2 |
км |
на |
Н |
G |
|
|
|
восток, 3 км на север и 4 км на восток. |
|
|
|
Насколько |
далеко |
находится он |
от |
на |
|
|
|
чальной точки своего пути? |
|
|
|
|
4.Каждые два пересекающиеся ребра этого прямоугольного тела перпендикулярны.
Дано, что |
А Е = 3, AB — 4 и |
В С = 1 2 . |
Найдите длину диагонали |
B E ; |
диагона |
ли В Н . |
|
|
|
5. Гипотенуза |
прямоугольного |
треугольника имеет длину 17, а один из кате |
то в— 15. Найдите плоіЦадь треугольника.
6.Длины сторон треугольника равны 6 см, 9 см и 11 см. Является ли он прямоугольным? Если да, то какая сторона является гипотенузой?
7.а) Доказать. Если т и « — положительные целые числа, удовлетворяющие
|
|
условию т > п , |
то |
т 2+ п2— длина гипотенузы некоторого прямоуголь |
|
|
ного треугольника,- а яг2 — я2 и Ъпп — длины его катетов. Какой теоремой |
|
|
вы |
воспользовались? |
|
|
|
|
|
|
B ) |
Сделайте таблицу, |
озаглавив ее |
столбцы следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
I |
т I п I т2— я2 12тп |яг2+ я2 1 |
|
|
|
Пользуясь |
методом задачи |
а), |
запишите в этой таблице целочисленные |
|
|
длины сторон прямоугольных треугольников с длиной гипотенузы, не |
|
|
превосходящей 25. Имеется шесть таких «пифагоровых троек». |
8. |
Покажите, |
что если |
р |
|
и q — длины катетов некоторого |
прямоугольного тре |
|
угольника, |
а г — длина |
его гипотенузы, |
то каково бы |
ни было положитель |
|
ное число k, числа kp, kq и kr также являются длинами сторон некоторого |
|
прямоугольного треугольника. |
|
|
|
9. |
Какие из следующих троек чисел |
могут |
быть длинами сторон прямоуголь |
|
ного треугольника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
30; |
40; |
60; |
Ь) |
16; |
30; |
34; |
с) |
10; 24; 26; |
|
|
d) |
- J ; |
1; |
I - } ; |
е) |
1,4; |
4,8; |
5,0; |
|
|
С |
|
|
|
9 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f> ! т : 2Т : 3І |
? |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
L С — прямой |
угол в Д |
АВС, А С = 20 |
|
|
|
и ß C = 1 5 . |
Найдите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ^AABC’ b) AB’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
высоту, |
опущенную |
|
на |
гипотенузу. |
|
|
