6. На этом рисунке А М \ \ В К |
и |
В К _]_ Е. |
|
Точка |
D является |
серединой |
отрезка |
|
Ш и |
AC = AD. |
|
|
|
|
Найдите меру каждого угла на этом |
|
рисунке. |
|
|
|
|
|
7. Если на рисунке к задаче |
2 |
точки Т и R лежатв медиатрисе-плоскости |
отрезка М К , точка |
S является серединой отрезка М К и m A R S T — ПО, |
то чему равна мера Z T — M K — R ? Чему равна сумма |
|
m Z T - M K — R + m Z R — M K — P ? |
8. Каждый из отрезков А Р , В Р |
и |
С Р пер |
А |
|
пендикулярен двум |
другим, |
АС = ВС и |
|
точки D, Е и Р являются серединами |
|
соответствующих отрезков. |
Докажите, |
|
что |
Z D E F ^ |
Z Р А В , |
|
|
|
|
|
|
|
и найдите меру этих углов.
9.Дайте определение внутренности двугранного угла.
10.Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений. Если данное утверждение верно, то проиллюстрируйте его маленьким рисунком; если же
оно неверно, то проиллюстрируйте рисунком противоречащий утверждению пример.
a) Каждая грань двугранного угла содержит общее ребро.
B) Если плоский угол одного двугранного угла конгруэнтен плоскому углу другого двугранного угла, то эти два двугранных угла конгруэнтны.
c)Если плоскость и прямая перпендикулярны, то каждая плоскость, содер жащая данную прямую, перпендикулярна данной плоскости.
d)Две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости, парал лельны.1
11. Для куба, изображенного на этом ри |
и |
а |
сунке, найдите: |
|
|
|
m Z D H E , |
m L D E H , |
|
|
m z HGD, |
m Z EGD. |
|
|
(Можно пользоваться следующими свой ствами куба:
1°. Все егодвенадцать ребер конгруэнтны.
2°. Любые два пересекающиеся ребра куба перпендикулярны.)
12. Если |
А , |
В , С |
и D — четыре некомп |
D |
ланарные |
точки, |
никакие три из кото |
|
рых не |
коллинеарны, то объединение |
|
отрезков AB, В С , CD и DA назы вается к о с ы м ч е т ы р е х у г о л ь н и к о м . До кажите, что фигура, получающаяся, если соединить середины смежных сторон косого четырехугольника, есть параллелограмм.
13*. Докажите следующее утверждение: |
|
|
|
Е с л и |
к а ж д а я |
и з |
д в у х |
п е р е с е с е к а ю - |
|
|
|
щ и х с я |
п л о с к о с т е й , |
|
п е р п е н д и к у л я р н а |
|
|
|
т р е т ь е й |
п л о с к о с т и , т о |
и |
л и н и я |
п е |
|
|
р е с е ч е н и я э т и х д в у х |
п л о с к о с т е й |
п е р |
|
|
п е н д и к у л я р н а т р е т ь е й |
п л о с к о с т и . |
|
|
|
( У к а з а н и е . |
Проведите |
|
в |
плоскости |
.£ прямую P A _L Afft |
и прямую |
QA 1 RS* воспользуйтесь |
теоремами |
10.8 |
и 8.2.) |
|
14*+. Докажите следующее утверждение: |
|
|
|
Е с л и т р и |
|
п л о с к о с т и Е ъ |
Е г и Е 3 п е |
|
|
|
р е с е к а ю т с я |
п о |
т р |
е |
м |
п р |
я м |
ы |
м |
/12, /23 |
|
|
и |
113, |
т о |
л и б о |
э т и |
|
т р |
и |
п р я м ы е |
п р о |
|
|
|
х о д я т ч е р е з о д н у т о ч к у , л и б о к а ж д а я |
|
|
|
и з н и х п а р а л л е л ь н а д в у м д р у г и м . |
|
|
|
|
( У к а з а н и е . |
На |
|
рисунке изображены плоскости Е х и £2, пересекающиеся |
по прямой |
/12. Рассмотрите |
для плоскости £ 3 две возможности: |
|
і°. ЯзНі*; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°. £ 3 пересекает |
прямую |
(12.) |
|
|
|
|
Конкурсная задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Дезарга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д а н ы |
д в а |
|
т р е у г о л ь н и к а , |
|
л е ж а щ и е |
в н е п а р а л л е л ь н ы х п л о с к о с т я х и т а к и е , |
ч т о |
п р я м ы е , |
с о е д и н я ю щ и е с о о т в е т с т в у ю щ и е в е р ш и н ы т р е у г о л ь н и к о в , |
п р о х о д я т |
ч е р е з |
о д н у |
т о ч к у . |
Е с л и |
п р я м ы е , с о д е р ж а щ и е с о о т в е т с т в у ю щ и е с т о р о н ы э т и х |
т р е у г о л ь н и к о в , |
п е р е с е к а ю т с я , |
т о |
|
т о ч к и и х п е р е с е ч е н и я к о л л и н е а р н ы . |
|
О
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Д а н ы А А В С и Д А ' В ' С , л е ж а щ и е в н е п а
р а л л е л ь н ы х п л о с к о с т я х |
и т а к и е , ч т о п р я м ы е |
AÄ , В В ' и С С ' п е р е с е к а ю т с я |
в н е к о т о р о й т о ч к е D. Е с л и п р я м ы е AB и А В ' |
п е р е с е к а ю т с я в т о ч к е X, п р я м ы е |
В С и В ' С ' — в т о ч к е |
Y и п р я м ы е А С и А С ’ —в т ю ч к е Z, т о т ю ч к и X, Y и Z |
к о л л и н е а р н ы . |
|
|
§ 3. ПРОЕКЦИИ
Определение |
|
П р о е к ц и е й точки на плоскость называется |
основание пер |
пендикуляра, опущенного из этой точки на данную |
плоскость. |
В силу теоремы 8.9 существует один и только один перпен дикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость. На каждом из рисунков точка Р' служит проекцией точки Р на плос кость Е. Мы не исключаем возможности, что точка Р лежит в в плоскости Е —в таком случае проекцией точки Я будет она сама.
Определение |
|
П р о е к ц и е й прямой на |
плоскость называется множество |
точек, являющихся проекциями |
точек этой прямой. |
t |
этом |
рисунке |
точка Р служит проекцией точки |
Р, точка |
Q |
проекцией точки Q,точка 5 —проекцией точки 5 и т. д. Рисунок |
наводит на |
мысль, |
что проекция прямой всегда есть |
прямая, и |
действительно, так всегда и бывает, исключая лишь случай, когда прямая и плоскость перпендикулярны, как на этом рисунке:
Здесь точка А является проекцией каждой точки Р прямой /, и, следовательно, А есть проекция всей этой прямой. Чтобы получить верную теорему, нужно исключить эту возможность.
Теорема ІО .9.
Если прямая и плоскость не перпендикулярны, то проекция этой прямой на данную плоскость есть прямая.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано, что прямая / не перпендикулярна плоскости Е,
Пусть Р и Q— любые две точки прямой /, а F и Q' —их прое
кции. Тогда Р' Ф Q'. (Почему?) Кроме того, прямые РР’ и QQ’ ком планарны, потому что обе они перпендикулярны одной и той же плоскости (теорема 8.7). Пусть F— плоскость, содержащая прямые
РР' и QQ', а Г—прямая, по которой пересекаются плоскости F u E . Тогда прямая I лежит в плоскости F, так как F содержит две точки прямой /. Покажем, что I' есть проекция прямой / на пло скость Е. Поскольку Г есть прямая, то тем самым доказательство теоремы будет закончено.
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
F _L Е. Это верно сразу |
по двум причинам: каждая |
плоскость, |
содержащая |
|
< > |
|
перпендикулярна плоскости |
прямую РР', |
|
Е, и это же справедливо для каждой |
плоскости, содержащей пря |
мую QQ (теорема 10.7). |
|
|
|
|
Мы докажем два утверждения: |
|
|
1°. Если R — точка прямой /, то ее проекция R' принадлежит /'. |
2°. |
Если |
Т — точка |
прямой /', то |
|
Т является проекцией неко |
торой точки |
прямой /. |
1°. Пусть Т —основание перпендикуляра, |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
опущенного из точки R на Г в плоскости F. По теореме 10.8 RT _\_ |
_]_ Е. |
Ввиду |
единственности перпендикуляра отсюда следует, что |
Т — Rr. Поэтому точка R' |
принадлежит Г. |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
2°. Пусть |
Г —точка прямой Г и пусть |
TW — перпендикуляр к |
прямой /' в точке Т, проведенный в плос |
кости F. По теореме 10.8 |
TW А_Е. Следовательно, прямые TW и |
/ не параллельны. (Почему?) Пусть |
R — точка, в которой прямая |
TW пересекает I. Тогда Т = R'. |
|
|
Мы показали, что каждая точка проекции прямой I принадле |
жит прямой Г и что |
каждая точка прямой /' принадлежит этой |
проекции. |
Следовательно, |
I’ и проекция —это одно и то же мно |
жество точек. Таким образом, |
проекция есть прямая, что и требо |
валось доказать. |
|
|
|
го |
Понятие проекции можно обобщить и определить его для любо |
множества точек. |
|
|
|
Определение |
|
|
|
|
Е с л и А — п р о и з в о л ь н о е м н о ж е с т в о |
т о ч е к в п р о с т р а н с т в е и Е — п л о с к о с т ь , |
т о |
п р о е к ц и е й м н о ж е с т в а |
А |
н а п л о с к о с т ь Е |
н а з ы в а е т с я м н о ж е |
с т в о |
в с е х т о ч е к , я в л я ю щ и х с я п р о е к ц и я м и т о ч е к м н о ж е с т в а |
А н а п л о с к о с т ь Е . |
Заметим, что проекция отрезка обычно является отрезком, хотя в некоторых случаях она может оказаться точкой. Аналогично,
проекция треугольника обычно является треугольником, хотя иногда она может оказаться и отрезком.
Вторая возможность осуществляется в том случае, когда плоскость тре угольника, как на рисунке справа, перпендикулярна плоскости Е.
Задачи к § 3
1, На этом рисунке плоскости F и Е пер пендикулярны и пересекаются по прямой
A B . Точка С лежит в плоскости F и
CD 1 A B . Какова проекция на плоскость
£ отрезка Л С? отрезка В С ? Д Л ВС ?
2.Если одна диагональ ромба перпендику лярна некоторой плоскости в одном из своих концов, то какова проекция ромба на эту плоскость?
3.На этом рисунке плоскости Е и F пере
секаются по прямой PQ |
. Отрезок A B |
ле |
жит в плоскости |
F и |
его |
длина |
вдвое |
больше длины его |
проекции |
ВС. Прямая |
PQ перпендикулярна плоскости ЛВС . Найдите т £ А — PQ — C.4
4. Р , Q, R и S — проекции точек А , B , C n D
на |
плоскость Е . Почему если точки В, С |
делят |
отрезок AD |
на три равные части, |
то |
и |
точки |
Q, R должны делить отрезок |
P S |
на три |
равные |
части. |
5. Приготовьтесь обосновать свои ответы на следующие вопросы: a) Всегда ли проекция точки является точкой?
B ) Всегда ли проекция отрезка является отрезком?
c)Может ли проекция угла быть лучом? прямой? отрезком? углом?
d)Может ли проекция острого угла быть тупым углом?
e) Всегда ли проекция прямого угла является прямым углом?
f)Может ли проекция отрезка быть длиннее самого отрезка? короче самого отрезка?
6. Ответьте, как и в задаче 5, на следующие вопросы:
a)Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией двух пересе кающихся прямых?
B ) Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией двух скрещи вающихся прямых?
c)Могут ли две пересекающиеся прямые оказаться проекцией двух скре щивающихся прямых?
d)Всегда ли проекцией двух параллельных прямых являются две парал лельные прямые?
7.Одна грань острого двугранного угла содержит квадрат. Какого рода фи гурой будет проекция этого квадрата на другую грань?
8. Даны |
две |
параллельные |
плоскости |
Е и F . |
Д Л В С |
лежит в плоскости F. |
Докажите, |
что |
проекция |
As А В С на |
плоскость Е есть треугольник, конгру |
энтный |
Д .4 В С . |
|
|
9+ . На левом рисунке изображен тетраэдр, а на правом— проекция этого тетраэдра на плоскость BCD . Нарисуйте его проекции на плоскости Л ВС
и ACD.
!0 + . Дано, что диагональ |
куба перпендикулярна |
некоторой плоскости. Нари |
суйте проекцию на эту |
плоскость всех ребер |
куба. |
11*. Точка М является серединой отрезка |
г |
|
A B , |
лежащего |
в плоскости Е . Точ |
|
ка |
С |
не принадлежит плоскости Е , |
|
а |
ее |
проекция |
D принадлежит ме- |
|
диатрисе "отрезка A B в плоскости Е. Докажите, что Д А В С — равнобедрен ный треугольник.
12+. В технических чертежах вид сверху (или «план») какого-либо тела можно рассматривать как проекцию различных отрезков этого тела на горизон тальную плоскость, расположенную над телом (см. левый рисунок). Вид
сверху, как он был бы вычерчен фактически, |
показан |
справа. (Здесь не |
было сделано ни малейшей попытки сохранить |
истинный |
масштаб.) |
a) Начертите вид спереди этого тела, т. е. начертите проекцию отрезков этого тела на плоскость, параллельную передней грани.
B ) Начертите вид справа этого тела.
13*. Д а н о . Л уч R S |
лежит в плоско |
сти Е . |
|
L P R S — прямой |
угол. |
Q — проекция точки Р .
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . L Q R S —
— прямой.
( У к а з а н и е . Проведите луч R T , пер пендикулярный плоскости Е в точ ке R .)
14+. Д а н о . Л уч AQ является проекцией
луча ~ÄR на плоскость Е .
Л Л — некоторый другой |
луч из |
точки |
А в плоскости Е . |
|
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
|
т L Q.AR < т L P A R . |
__^ |
|
( У к а з а н и е . |
На |
луче А Р возьми |
те точку К , |
для |
которой A K = |
AR'. |
Проведите отрезки |
K R ' |
и K R -) |
|
Вопросы и задачи для повторения
С
1. Назовите все двугранные углы на этом рисунке, считая, что никакие два из изображенных на нем треугольника не компланарны.
2. Д а н о. Е J_ А С, F 1 А С |
, F 1 B D ^ |
_______ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
Е J_ BD и А С | BD . |
3. Дан рисунок (наверху справа) с пометками. А А В С лежит в плоскости F,
|
а Д PQR — в плоскости Е . □ |
А BQP — прямоугольник и A P _L Е, |
Какие из |
|
следующих |
утверждений |
верны? |
|
|
|
|
а) B Q 1 E ; |
|
b) AQ = B P ; |
_ с) F | Е ; |
|
|
|
d) PQ есть проекция отрезка |
A B |
на Е ; |
__ |
|
|
e) А |
А В С ^ А |
PQR-, |
f) |
P C = QC\ |
g )B C \ \ R Q ’i |
|
|
h) Д Р А С ^ Д R B C . |
|
|
|
|
|
4. |
Укажите буквами В, И |
к Н, |
будет ли каждое из следующих утверждений |
- |
верно |
во |
всех |
случаях |
(т. |
е. |
всегда, |
В), верно в некоторых случаях |
|
(т. е. |
иногда, И) или неверно |
ни |
в одном |
случае (т. е. никогда, |
Н). |
a)Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они пер пендикулярны.
B ) Если' какая-либо плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей являются скрещивающимися.
c)Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они парал лельны.
d)Пересечение какой угодно плоскости с гранями двугранного угла есть плоский угол этого двугранного угла.
e)Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
f)Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они парал лельны.
g)Если какая-либо прямая перпендикулярна плоскости, то и каждая пло скость, содержащая эту прямую, перпендикулярна этой плоскости.
h)Проекция угла может оказаться точкой.
i) Если каждая из двух прямых перпендикулярна одной и той же прямой, то эти две прямые параллельны.
j)Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то и линия их перечисления перпендикулярна третьей плоскости.5
5. Прямая Ä B |
служит ребром двугранного |
L S — А В — Т, точка |
Р принадлежит от |
резку A B . |
Является |
ли L S — A B — T |
прямым двугранным углом, если m i . S P T =
=90? Объясните.
6. |
Плоскости |
Е и |
F |
пересекаются по |
|
|
<і"■>■ |
|
|
---» |
__„ |
лежат |
|
|
прямой КМ. Лучи |
А В |
и PQ |
|
|
в плоскости Е , а |
лучи |
АС |
и |
Р $ — |
|
|
— в плоскости/7. Является ли Z ВАС |
|
|
плоским углом |
двугранного |
|
L В — |
|
|
- К М — С, |
если |
т z |
МА В —90 и |
|
|
m Z КАС — 90? |
Будет |
ли |
PQ || ÄB, |
|
|
если т z R P Q = 90? |
|
|
|
|
7. |
На этом рисунке PQ = ~ |
PC = |
- і- Р Л , |
Р |
|
АВ = ВС и PQ 1 |
Р . |
|
|
|
|
|
Какое из следующих соотношений спра |
|
|
ведливо? |
|
|
|
|
|
|
|
|
т L P — A C — Q < 30; |
|
|
|
|
т L Р — А С — Q = |
30; |
|
|
|
|
m Z Р — Л С — Q > |
30. |
|
|
|
8.Д а н о . Параллельные плоскости Е, F
иG, точка Q, которая принадлежит
плоскости G; А /СРЛ1, который при надлежит плоскости Р ; Д Л РС , кото рый принадлежит плоскости Е , при этом AK — KQ.
Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . Периметр
ДАВС вдвое больше периметра Д КМР.
9*. Параллелограмм А BCD на этом ри |
О |
сунке |
не параллелен |
плоскости Е. |
|
Точки |
К, L, М и N являются проек |
|
циями на плоскость Е его вершин Л, |
|
В, С и D. Докажите, что |
|
AK + C M =B L + DN. |
|
( У к а з а н и е . Пусть |
Q — проекция |
|
точки Р на плоскость Е. Проведите |
|
отрезок |
PQ.) |
|
|
10*+ . Сделайте рисунок, изображающий пересечение некоторой плоскости со всеми шестью гранями куба. Затем мысленно представьте себе проекцию этого пересечения на плоскость, параллельную первой плоскости, но не пересекающую куб, и нарисуйте то, что получится.
