Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

10*. Какие		из изображенных		на рисунке	плоских фигур могут быть на
ложены одна на			другую? Для каждой совместимой пары скажите, нужно ли,
для	того	чтобы	совместить	фигуры, повернуть их в пространстве, или до
статочно		поворачивать их в		плоскости,	или можно даже передвигать фи
гуры	в плоскости не поворачивая их?

а)

в)

11*. Какие из изображенных на рисунке тел конгруэнтны?

12*+. Допустим, что изображенный внизу орнаментальный фриз, как и прямая, бесконечно простирается в обе стороны, Рассмотрим горизонтальный сдвиг фриза, переводящий каждое острие в следующее острие на той же стороне прямой. Хочется сказать, что этот сдвиг порождает некоторую конгруэнт ность, совмещающую (бесконечный) фриз сам с собой.

■ѴчѴчѴчѴ -

а) Опишите сдвиги различного типа, которые будут порождать конгруэнт ности, совмещающие фриз с самим собой. Сколько таких конгруэнтно стей существует?

123

b) Опишите два типа сдвигов, порождающих конгруэнтности, совмещающие изображенный ниже фриз с самим собой.

§2. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Впредыдущем параграфе мы не формально объяснили идею конгруэнтности. Дадим теперь несколько точных определений, ко торые позволят нам математически обработать эту идею.

Для	углов и отрезков	легко	точно сказать, что мы имеем
в виду:
Определения
Углы	к о н г р у э н т н ы ,	если	они имеют одну и ту же меру.
Отрезки	к о н г р у э н т н ы ,	если они имеют одну и ту же длину.

Конечно, первое из этих определений является повторением определения из § 4 гл. 4. Очевидно, что имеет место

Теорема 5. 1

Каждый отрезок конгруэнтен самому себе.

Доказательство тривиально, .так как отрезок имеет ту же длину, что и он сам. В последующих доказательствах мы будем обозначать фигурирующую в этой теореме конгруэнтность терми

ном тождественная конгруэнтность.		/_ В,	чтобы указать, что
Точно так же, как мы пишем	А =
конгруэнтны у г л ы /_ А и 1_В,	условимся писать
Ä B QÉCD,
чтобы указать, что конгруэнтны о т р е з к и AB			и CD. Таким обра
зом,
A B ^ C D означает, что		A B —CD,

L А ^ /. В означает, что т /_ А — т /_ В.

Каждое из равенств справа связывает два числа. Каждая из конгруэнтностей слева связывает две геометрические фигуры. Мы не связываем обозначения геометрических фигур знаком = , если не убеждены, что эти две фигуры в точности совпадают

(являются о д н о й фигурой) —а случаи такого рода чрезвычайно редки.

Один такой пример показан на рисунке. Здесь законно на писать

		/ ВА С = Z EAD,
потому	что /_ ВАС и /_ EAD не только конгруэнтны;				ВАС и
/_ EAD —это точно о д ин			и тот же угол, так что связывающая
/, ВАС и £ EAD конгруэнтность —тождественная. Аналогично,
AB и	ВА —всегда	точно	о д и н и тот же	отрезок и	потому
законно	не только	писать	А В ^ В А , но даже	и AB — ВА.

Рассмотрим теперь соответствие

АВС <-* DEF

между вершинами двух треугольников: Д АВС и Д DEF. Оно автоматически устанавливает и соответствие сторон этих треу гольников:

AB~~DË,

J C ^ W ,

BC*-*ËF,

и, кроме того, соответствие их углов:

/ А ++ Z D,

L B ~ Z.E,

Z C - z F .

Теперь мы можем сформулировать определение конгруэнтности, связывающей два треугольника.

125

Определение

Пусть дано соответствие

ABC++DEF

между вершинами двух треугольников. Если конгруэнтна каждая пара соответствующих сторон и каждая пара соответствующих углов, то соответствие АВС ** DEF называется к о н г р у э н т н о с т ь ю , связывающей два данных треугольника.

Когда мы	пишем Д A B C ^ Д / Ж Р ,		мы подразумеваем, что
соответствие	АВС ** DEF является конгруэнтностью. Это очень
хорошее сокращение: короткая		запись	Д АВС ^ Д DEF инфор
мирует нас сразу о шести фактах, а именно о том, что
	ABg^DE,	или	AB = DE,
	A C ^ D F ,	или	АС = DF,
	BC9ÉËF,	или	ВС = EF,
		или	т Z, А = т Z D,
	A B ^ A E ,	или	т /, В —т Z. Е,
	L C ^ L F ,	или	т / _ С ~ т /_F.

В каждой из этих шести строчек конгруэнтность слева озна чает то же, что и равенство справа. Поэтому мы можем пользо ваться любой из этих форм записи в зависимости от обстоя

тельств. Обычно мы будем писать AB = DE вместо AB ^ DE, так как первая запись проще. По той же причине мы будем чаще писать L A ^ £ D, а не т Z. А = т Z.D.

На рисунках конгруэнтность, связывающую отрезки или углы, удобно указывать пометками, как это сделано на рисунке. В этом случае шесть конгруэнтностей, указанных пометками, сообщают нам, что

AABCg^ADEF.

На следующем рисунке пометки сообщают	нам	меньше; и
в самом деле, довольно легко усмотреть, что эти	два	треуголь-

126

ника не конгруэнтны ни при каком соответствии их вершин.

В некоторых случаях нам может быть дана лишь часть ин формации, заключающейся в утверждении о конгруэнтности двух треугольников, и мы все равно сумеем установить, что какое-то определенное соответствие вершин треугольников является конгру энтностью. Так, рисунок внизу указывает, что при соответствии ABC^r^DEF все три пары соответствующих сторон треугольни

ков АВС и DEF и две из трех пар соответствующих углов		кон
груэнтны. Отсюда,	конечно, должно следовать, что и /_ С =	Z F,
так что /\А В С ^	E\DEF. А фактически мы должны уметь	при
ходить к тому же	заключению, обладая еще меньшими знаниями.
В последней группе задач к § 2 вы найдете условия, при		кото

рых можно утверждать, что некоторое соответствие между двумя треугольниками является конгруэнтностью. Как вы увидите, факты этого рода нетрудно изображать на рисунках.

Определения

Говорят, что сторона треугольника з а к л ю ч е н а между уг лами этого треугольника, верціины которых являются концами рассматриваемой стороны.

Говорят, что угол треугольника з а к л ю ч е н между сторо нами этого треугольника, принадлежащими сторонам данного угла.

Например, в изображенном выше ДАВС сторона АС заключена между /. А и /, С, a Z. А заключен между AB и АС.

127

Задачи к	§	2
1. Д ано, что		д	А В Е с д Л DCF.		Дополните сле
дующие утверждения, вписав пропущенные сим
волы.
Соответствие А ... <-*■				. . . C F	является конгру
энтностью.
А А ^			А D.	AB
А	B 9 É - . .
А	Е 9 9 - . . .			Е Ё

2. Дано, что Д MQP Д NQP. Перечислите шесть пар конгруэнтных друг другу элементов (сторон, углов) этих двух треугольников.

3. Для каждой из конгруэнтностей перечислите шесть пар конгруэнтных эле ментов треугольников.

a)	Д	RQF с д	Д А В Х .		(Если хотите, можете сделать набросок этих тре
угольников.)
B )	Д	E H W с д	Д	M R K -	(Не	пользуйтесь	рисунком.)
c)	Д	AZW	Д	B W Z .	(Не	пользуйтесь	рисунком.)

4. Выпишите связывающую два треугольника конгруэнтность, которая опре деляется следующими шестью парами конгруэнтностей, связывающих элементы треугольников:

TK ^ B W - A Ä 9 ÉAB .

К Т9^Ш \	A K ^ A W .
Ä f Д ER\	A T 9 É A R .

б. a) Какой угол в Д Л В С заключен между сторонами ВС и AB?

b) К акая сторона заключена между L А и А. В?

c)Между какими сторонами заключен L С?

d)Между какими углами заключена сторона

ВС?

128

6. Рассмотрим Д G H K . Не можете ли вы придумать простой метод, позволя

ющий, не делая чертежа, определить, какие стороны и углы заключены между какими углами и сторонами?

Заключен

ли L

между GH и Н К }

B )

Заключена

ли сторона

С К

между

С и L b С?

c) Какой угол заключен между GH и ШС?

d) К акая

сторона заключена между

L G и L Ю

( З а м е ч а н и е .

В задачах

7— 13 для

построения углов и отрезков нужно

пользоваться масштабной линейкой и транспортиром.)

Постройте

R S T ,

которого

R S =

см, R T =

3 см и т L R =

35.

Постройте

АВС,

которого

AB =

4 см, т L

А =

45 и т L

В =

60.

Если

построить

несколько треугольников А В С с теми

же данными,

то как

будут

соотноситься

эти. треугольники?

Постройте

A M N P ,

которого MN =

6 см, N P — 4

см и РМ = 7 см. Для

того чтобы закончить

построение, вам

может потребоваться циркуль.

10.

Пользуясь одной лищь линейкой, постройте треугольник, никакие две сто

роны которого не конгруэнтны.

Затем

постройте

второй

треугольник,

кон

груэнтный

первому, и опишите

шаги, которые вы сделали. Существует лишь

один способ

построения

второго

треугольника по первому или несколько?

Сколькими

из

шести элементов

первого треугольника

вы

воспользовались

при построении второго? Каково наименьшее число попарно конгруэнтных

элементов, необходимое, чтобы гарантировать конгруэнтность самих треуголь

ников?

11.

Постройте

А ВС , у которого

т L А = 4 0 ,

ЛС =

6 см

С В = 4 см. За

тем

постройте

A DBB,

которого т L D = 40,

D F = 6 CM

и РЕ= 4

см.

Обязательно

ли

Д А В С

и д

D E F конгруэнтны?

12.

задаче 8

вы

должны

были

прийти к заключению,

что

все

треугольники

А В С , меры

некоторых элементов (сторон, углов)

которых

известны,

конг

руэнтны между собой, т. е. в с е

соответствующие их элементы конгруэнтны.

В случае, когда это верно, мы

будем говорить, что три данных элемента

определяют треугольник. В

задаче 11

вы должны

были

найти два

некон

груэнтных

треугольника,

три

элемента которых имеют заданные меры.

А задача 7 — допускает

ли

она

один

треугольник в качестве

решения

или

больше?1) А задача 9? Можно ли указать такие меры углов и отрезков, ко

торые не задавали бы

ни

о д н о г о

треугольника?

13*.

Постройте треугольник, определяемый каждой системой заданных ниже

мер; если заданные числа допускают

два

треугольника,

то

постройте их

оба. Если можно построить больше двух треугольников

или

нельзя

пост

роить ни одного, то объясните почему:

1)Тут авторы допускают некоторую непоследовательность, считая в с е (бес


конечно много различных!) конгруэнтные треугольники			о д н и м	решением за
дачи, что противоречит подчеркнутому отказу от использования				знака = для
обозначения	конгруэнтности. Более согласовалась бы		с установками книги
следующая	(к сожалению,	громоздкая) формулировка: допускает		ли задача 7
в качестве решения о д и н		к л а с с конгруэнтных треугольников или больше?

5 Геометрия

129

a) т £ М =

30,

МО — 2,

т £ 0

— 90;

т £

В =

55,

AB =

ВС =

т £

G =

35,

GH — 6,

ЯУ =

A B =

ВС =

АС =

т £ М =

80,

МО =

т £ О — 120;

Я Я =

£•/=• =

D F =

D £ == 4,

D F =

m Z

D =

60;

m £

А =

70,

m 2 fi =

60, m £ C =

50.

14*. а) Д

Л ВС

и Д

D £ F

не

пересекаются,

и точка Л4 лежит между В

и С.

Каким из двух символов — =

или ~

— нужно заполнить пропуски,

чтобы

каждое из

следующих

предложений превратилось в осмысленное и по

возможности

верное утверждение?

А В С

... Д

DEF\

II)

... т

Е;

I II)

ВС ...

E F ;

IV) A B ... DË;

V)£ Е ... £ F-,

VI) £ А В М ... £ ABC-,

V I I )

А В М

... т £

D E F ;

V I I I )

A B

... DE.

В какой

из

строчек I) — VI I I )

имели бы

смысл

оба символа: =

^ ?

Если

бы AB был тем же

самым

отрезком, что

и DE, а точки

и F

были

бы различны, то в какой строчке символ

заменился

бы

симво

лом

= ?

15*.

Д ан

АВС . Если

А В С 9 ^ Д

ВА С и Д А В С

АСВ,

то

какое

заключение можно

сделать

относительно

Д АВС? Как

вы

дока

жете, что ваше заключение справедливо?

16*.

Дано,

что

P C J_ КМ, причем К — Р — М. Точки А и В лежат по ту же сто

рону от КМ,

что

и С, но точки А

и В лежат

по противоположные стороны

^ '■>

< >

ВСР.

от PC . Точка А лежит по ту же сторону от PC, что и К , и Д А С Р 9 = Д

Докажите,

что

K P А ~

М Р В .

17*.

Если

•

A B C S Ë Д

D E F и Д

D E F ^ Д G H K,

то какое

заключение можно

сделать

относительно

А В С и Д GHK? Как

вы докажете,

что ваше

заключение

справедливо?

Сформулируйте теорему,

обобщающую эту ситуацию.

Конкурсная задача

Отношение эквивалентности определяется как отношение *, связывающее пары

элементов	некоторого		множества и обладающее следующими				свойствами:
Если	а, Ь и с — любые элементы					данного множества, то
	(ii ) а * а						(рефлективность),
	(it)	Если	а * b,	то	b * а		(симметричность).
	(iii)	Если	а * Ь	и	Ь * с ,	то а * с	(транзитивность).

Применяя это определение, нужно звездочку (*) заменять данным отноше-, нием. Рассмотрим, например, отношение: «имеет то же место рождения, что и», связывающее элементы множества всех людей и указывающее, что данные два человека родились в одном и том же родильном доме. Мы будем иметь:

(/) а имеет то же место рождения, что и а.

130

(ii)Если а имеет то же место рождения, что и Ь, то и b имеет то же место рождения, что и а.

(iii)Если а имеет то же место рождения, что и Ь, а b имеет то же место рождения, что и с, то а имеет то же место рождения, что и с.


Поскольку все эти утверждения						верны, мы говорим, что		наше отношение
является		отношением эквивалентности.
a) Показать,				что конгруэнтность треугольников является отношением экви
валентности.			Вам нужно		объяснить,	почему верно каждое из трех			указанных
утверждений.			В	своем доказательстве вы можете использовать				задачу		17.
B ) Для каждого из следующих отношений выберите подходящее множество,
пары	элементов			которого оно связывает, а затем определите,				какие		из этих
отношений являются отношениями эквивалентности:
«меньше,		чем»,		«равно»,	«обратно»,	«является	одноклассником»,		«проживает
в том	же	городе,		что и»,	«выше, чем», «ходит		быстрее, чем»,	«такой		же мок
рый,	как».

§ 3. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Как вы уже, несомненно, сами заметили, существует, по крайней мере, три ситуации, когда мы можем сделать заключе ние, что некоторое соответствие между двумя треугольниками является конгруэнтностью.

В первом случае соответствие АВС — DEF называется СУСсоответствием; под этим мы подразумеваем, что две стороны и заключенный между ними угол первого треугольника конгруэнтны соответствующим элементам второго. (Буквы «СУС» заменяют слова «сторона, угол, сторона».) Из этих условий следует, что Д АВС ^

Д DEF.

Во втором случае соответствие АВС DEF называется УСУ- соответствием; под этим мы подразумеваем, что два угла и зак люченная между ними сторона первого треугольника конгруэнтны соответствующим элементам второго. (Буквы «УСУ» заменяют

слова «угол, сторона,	угол».) И из этих условий следует, что
A A B C QÜAD E F .
в	Е

5 *

131

Наконец, в третьем случае соответствие АВС DEF назы вается ССС-соответствием; под этим мы подразумеваем, что все три стороны первого треугольника конгруэнтны соответствующим

сторонам второго. (Буквы	«ССС» заменяют слова «сторона, сто
рона, сторона».) И здесь	мы должны иметь /\A B C ~ l\D E F .
В	Е

ССС

Мы придадим этим наблюдениям формальный характер, зафик сировав их в следующих аксиомах?

Аксиома 15 (СУС-аксиома)

Каждое СУС-соответствие является конгруэнтностью.

Аксиома 16 (УСУ-аксиома)

Каждое УСУ-соответствие является конгруэнтностью.

Аксиома 17 (ССС-аксиома)

Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью.

Эти аксиомы мы чаще всего будем применять	к соответствиям
между двумя р а з л и ч н ы м и треугольниками.	Однако мы ви

дели, что в некоторых случаях можно установить также (нетож

дественное) соответствие между треугольником и		им самим;
наши три аксиомы применимы и в таких случаях.		Таким обра
зом, СУС-аксиому можно проиллюстрировать так;
В	Е

AABC^ADEF

но также и так?

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ