книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия
.pdfГЕОМЕТРИЯ
э.э.моиз
Ф.Л. ДАУНС
ЭДВИН э. моиз,
ФЛОЙД Л. ДАУНС, мл.
ГЕОМЕТРИЯ
Перевод с английского И. А. ВАЙНШ ТЕЙНА
Под редакцией И. М. Я Г ЛОМА
МОСКВА «П РОСВЕЩ ЕН И Е» 1972
513 М 74
Гос. |
п;'5. к'-'-ія |
4 |
' ѵ |
научно-. .. ч |
|
|
|
С иблисѵо•* - SP |
|
|
|
' |
э |
|
|
ЧИТА П |
ОГО ЗАЛА |
/ £ |
№ |
W - |
S / S V |
|
|
Моиз Э. Э. и Даунс Ф. Л., мл.
М 74 Геометрия. Перевод с англ. И. А. Вайнштейна.
Под ред. И. М. Яглома. М., «Просвещение», 1972.
622 с. с илл.
6−6 |
513 |
БЗ № 26—72
ОГЛАВЛЕНИЕ
От |
издательства |
. ................................................................................................... |
8 |
|||||||
Из |
предисловияавторов |
.................................................................................................. |
|
|
9 |
|||||
Г Л А В А |
1. |
ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖ ДЕНИЕ |
|
|||||||
§ 1. |
Д ва |
типа з а д а ч ......................................................................................................... |
|
|
|
13 |
||||
§ 2. |
Логически |
последовательное изложение ге о м е т р и и .......................... |
19 |
|||||||
|
Евклид |
........................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
22 |
||
Г Л А В А |
2. МНОЖЕСТВА, Д ЕЙ СТВИ ТЕЛЬН Ы Е ЧИСЛА И П РЯМ Ы Е |
|
||||||||
§ 1. |
|
Множества |
................................................................................................................. |
|
|
|
27 |
|||
§ 2. |
|
Порядок |
на |
числовой |
прямой ........................................................................ |
|
32 |
|||
§ 3. |
|
Абсолютная |
вел и ч и н а ............................................................................................ |
|
37 |
|||||
§ 4. |
|
Масштабные |
линейки |
и единицыд л и н ы .................................................... |
|
39 |
||||
|
Аксиома |
1 |
(аксиома |
р ассто ян и я).................................................................... |
|
42 |
||||
§ 5. |
|
Бесконечная |
линейка |
............................................................................................. |
|
43 |
||||
|
Аксиома |
2 |
(аксиома |
масштабной л и ней ки )...................................... |
.... . |
45 |
||||
§ 6. Аксиома |
прикладывания линейки. Понятие |
«между». Отрезки и |
|
|||||||
|
л у ч и ................................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
48 |
||
|
Аксиома |
3(аксиома |
прикладывания линейки) .................................... |
48 |
||||||
|
Аксиома |
4 |
(аксиома |
п р ям о й )............................................................................ |
|
51 |
||||
§ 7. |
|
Замена единицы д л и н ы ........................................................................................ |
|
56 |
||||||
Г Л А В А |
3. |
П РЯ М Ы Е, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ |
|
|||||||
§ 1. |
|
Введение |
|
...................................................................................................................... |
|
|
|
|
63 |
|
§ 2. |
|
Прямые |
и |
плоскости; |
ч е р т е ж и ....................................................................... |
|
64 |
|||
|
Аксиома |
5 |
...................................................................................................................... |
|
|
|
|
65 |
||
§ 3. |
|
Прямые |
и плоскости; |
чертежи (о к о н ч а н и е ).......................................... |
67 |
|||||
|
Аксиома |
6 |
.......................................... |
|
|
' ......................................................................... |
|
67 |
||
|
Аксиома |
7 |
(аксиома |
плоскости) .............................................................. |
|
68 |
||||
|
Аксиома |
8 (аксиома |
пересеченияп л о ск о стей )......................................... |
68 |
||||||
§ 4. |
|
Выпуклые |
м н ож ества............................................................................................. |
|
71 |
|||||
|
|
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости) |
.......................................... |
72 |
||||||
|
|
Аксиома |
10 |
(аксиома |
разбиенияп р о ст р а н ст ва )..................................... |
74 |
||||
§ 5. |
|
Семь |
кёнигсбергских |
мостов ........................................................................... |
|
76 |
||||
|
|
Леонард |
Эйлер . ..................................................................................................... |
78 |
||||||
Г Л А В А |
4. У Г Л Ы |
И ТРЕУГО ЛЬН И К И |
|
|
||||||
§ 1. |
|
Основные |
понятия |
................................................................................................. |
|
|
83 |
|||
§ 2. |
|
Несколько |
замечаний |
об углах ............................ |
|
88 |
||||
§ 3. |
|
Угловая |
м е р а .............................................................................................................. |
|
|
|
89 |
|||
|
|
Аксиома |
11 |
(аксиома |
измерения углов) .................................. |
. . . . |
90 |
|||
1* |
3 |
|
Аксиома |
|
12 (аксиома |
построения у г л о в ) ................................................... |
|
|
91 |
||||
|
Аксиома 13 (аксиома сложения углов) ................................................... |
|
|
91 |
|||||||
|
Аксиома |
|
14 (аксиома |
пополнения) ................................................................ |
|
|
92 |
||||
§ 4. |
Прямые |
углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы . . . . |
96 |
||||||||
|
Джордж |
Дэвид Б и р к г о ф ...................................................................................... |
|
|
|
193 |
|||||
§ 5. |
|
Запись |
теоремы |
в форме |
«предположение — заключение» |
. . . . 105 |
|||||
§ 6. |
|
Запись |
простых |
д о к а за те л ь ств .............................................................. |
|
|
106 |
||||
Г Л А В А |
5. |
КОНГРУЭНТНОСТЬ |
|
|
|
|
|||||
§ 1. |
Идея |
ко н гр уэн тн о сти ............................................................................................. |
|
|
|
117 |
|||||
§ 2. |
Конгруэнтность тр еуго л ьн и ко в........................................................................ |
|
|
124 |
|||||||
§ 3. |
Аксиомы |
конгруэнтности тр еуго л ьн и ко в................................................... |
|
|
131 |
||||||
|
|
Аксиома |
15 (С У С -ак си о м а)................................................................................ |
|
|
|
132 |
||||
|
|
Аксиома |
16 (У С У -акси ом а)................................................................................ |
|
|
|
132 |
||||
|
|
Аксиома |
17 (С С С -а к си о м а )'................................................................................ |
|
|
|
132 |
||||
§ 4. |
Доказательство постарайтесь |
придумать с а м и !...................................... |
|
134 |
|||||||
§ 5. |
|
Биссектрисы |
у г л о в |
................................................................................................. |
|
|
|
146 |
|||
§ 6, Равнобедренные и равносторонние треугольники .............................. |
|
148 |
|||||||||
§ 7. |
Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для |
пе |
|
||||||||
|
|
редачи |
информации................................................................................................. |
|
|
|
153 |
||||
§ 8. Четырехугольники, квадраты |
и п р ям о уго л ьн и ки .............................. |
|
159 |
||||||||
Г Л А В А |
6. ГЕОМ ЕТРИ ЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА |
|
|
||||||||
§ 1, |
|
Как |
строится |
дедуктивная система ........................................................... |
|
|
171 |
||||
§ 2. |
|
Доказательства от п р о т и вн о го ......................................................................... |
|
|
171 |
||||||
§ 3. |
|
Теоремы о прямых и плоскостях ............................................................... |
|
|
174 |
||||||
§ 4. |
|
Перпендикуляры ..................................................................................................... |
|
|
|
|
179 |
||||
§ 5. |
|
Введение |
в доказательствах |
вспомогательных точек и прямых. |
|
||||||
|
|
Употребление |
слова |
«пусть» |
............................................................................ |
|
|
187 |
|||
§ 6. Как обойтись |
без У С У -а к си о м ы ..................................... |
|
|
193 |
|||||||
§ 7. Как обойтись без ССС-аксиомы ................................................................... |
|
|
194 |
||||||||
§ 8. Отношение «между» и разбиение.................................................................... |
|
|
196 |
||||||||
Г Л А В А 7. |
ГЕОМ ЕТРИ ЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА |
|
|
||||||||
§ 1. |
|
Разумные ги п о т е зы ................................................................................................. |
|
|
|
203 |
|||||
§ 2. |
|
Неравенства |
между |
числами, |
отрезками |
иуглами .......................... |
|
205 |
|||
§ 3. |
|
Теорема |
о внешнем |
у г л е .................................................................................... |
|
|
|
207 |
|||
§ 4. |
|
Теоремы |
о конгруэнтности, |
основанные |
на теореме о внешнем |
|
|||||
|
|
у г л е .................................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
212 |
|
§ 5. |
|
Неравенства, |
связывающие элементы тр еу го л ьн и ка .......................... |
|
216 |
||||||
§ 6. |
|
Взаимно |
обратные теорем ы ................................................................................ |
|
|
|
219 |
||||
§ 7. |
|
Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника |
221 |
||||||||
§ 8. |
|
Теорема |
о шарнире и обратная те о р ем а ................................................... |
|
|
224 |
|||||
§ 9. |
|
Высоты |
|
тр еу го л ьн и к о в ........................................................................................ |
|
|
|
227 |
|||
4
Г Л А В А |
8. |
П Е РП ЕН Д И К У Л Я Р Н Ы Е |
П РЯМ Ы Е |
И |
ПЛОСКОСТИ |
|
||||||||
|
|
|
|
В |
ПРОСТРАНСТВЕ |
|
|
|
|
|
|
|
||
§ |
1. Определение перпендикулярности |
прямых и плоскостей ; . . . |
235 |
|||||||||||
§ |
2. |
Л е м м а .............................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237 |
||
§ 3. |
Основная |
теорема о п ер п енди куляр ах....................................................... |
|
|
238 |
|||||||||
§ 4. Существование и еди нственность |
................................................................... |
|
|
|
241 |
|||||||||
§ 5. |
|
Перпендикулярные прямые и плоскости (сводка |
результатов) . |
245 |
||||||||||
Г Л А В А |
9. П А РА Л Л ЕЛ ЬН Ы Е |
П РЯМ Ы Е НА ПЛОСКОСТИ |
|
|||||||||||
§ |
1. |
|
Условия, |
гарантирующие |
п ар ал лел ..............................................ьн ость |
|
|
253 |
||||||
§ |
2. |
Соответственные углы ......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
260 |
|||||
§ |
3. |
|
Аксиома |
п ар аллельн ости .................................................................................... |
|
|
|
|
|
262 |
||||
|
|
Аксиома 18 (аксиома |
п ар ал лел ьн ..................... .............................ости ) |
|
г |
— |
||||||||
§ |
4. |
Т р еу го л ьн и к и ............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
266 |
||||
§ |
5. |
Плоские четы рехугольни ки ................................................................................ |
|
|
|
|
|
269 |
||||||
§ |
6. |
Ромб, |
прямоугольник и к в а д р а т ................................................................... |
|
|
|
|
275 |
||||||
§ 7. |
|
Несколько теорем о |
прямоугольных .........................тр еуго л ьн и ках |
278 |
||||||||||
§ |
8. Секущие ко |
многим параллельным ..........................................п р я м ы м |
|
|
281 |
|||||||||
§ |
9. |
Как Эратосфен измерил З ем л ю ........................................................................ |
|
|
|
|
285 |
|||||||
|
|
Э р ато сф ен ...................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
287 |
|||
Г Л А В А |
10. П А РА Л Л ЕЛ ЬН Ы Е |
П РЯ М Ы Е |
И ПЛОСКОСТИ |
|
||||||||||
§ |
1. |
Основные факты о параллельных |
прямых иплоскостях . . . . |
295 |
||||||||||
§ |
2. |
Двугранные |
углы. Перпендикулярные .............................. |
п л о ск о ст и |
301 |
|||||||||
§ |
3. |
Проекции |
................................................................. |
|
|
|
. ................................................ |
|
- |
|
|
308 |
||
|
|
|
Николай |
Иванович Л о б ачевски й ............................................. . .................. |
|
|
|
' |
316 |
|||||
Г Л А В А |
11. М Н О ГО УГО ЛЬН Ы Е ОБЛАСТИ |
И ИХ |
ПЛОЩАДИ |
|
||||||||||
§ |
1. |
Многоугольные о б л а с т и ....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
319 |
|||||
|
|
Аксиома |
19 (аксиома |
площ ади)........................................................................ |
|
|
|
|
321 |
|||||
|
|
Аксиома |
20 |
(аксиома |
конгруэнтности) ............................................. ... |
|
|
. |
— |
|||||
|
|
Аксиома |
21 |
(аксиома |
сложения |
площ .............................................адей) |
|
|
322 |
|||||
|
|
Аксиома 22 |
(аксиома |
единицы |
п л .................................................о щ ад и ) |
|
|
— |
||||||
§ 2. |
Площади треугольников и четы рехугольников...................................... |
|
326 |
|||||||||||
§ 3. |
|
Теорема Пифагора ................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
334 |
||||
|
|
П и ф а го р ........................................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
335 |
|||
§ 4. Треугольники специального вида ................................................................ |
|
|
|
|
339 |
|||||||||
Г Л А В А |
12. |
ПОДОБИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 1. Идея подобия. Пропорциональность............................................................. |
|
|
|
349 |
||||||||||
§ 2. |
|
Подобие треугольников .............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
354 |
|||||
§ 3. |
Основная |
теорема о |
пропорциональности иобратная теорема . . |
357 |
||||||||||
§ 4. Основные теоремы о подобии........................................................................... |
|
|
|
|
|
362 |
||||||||
§ 5. |
Подобие прямоугольных тр еугольни ....................................................ков |
|
|
373 |
||||||||||
§ 6. |
|
Площади |
подобных треугольников ................................................................ |
|
|
|
|
376 |
||||||
5
§ 7. |
Тригонометрические отнош ения........................................................................ |
|
|
|
|
379 |
||||||||
§ 8. |
Тригонометрические |
расчеты. Применение таб л и ц .............................. |
|
383 |
||||||||||
§ 9. |
Формулы, |
связывающие тригонометрические отнош ен и я............... |
|
387 |
||||||||||
Г Л А В А |
|
13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМ ЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ |
|
|
||||||||||
§ |
|
|
1. Введение |
.................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
395 |
|||
§ |
|
2. Система |
|
координат на п л о ск о ст и ...................................................... |
|
|
— |
|
||||||
|
|
|
|
Рене |
Д е к а р т ......................................... |
|
|
: ............................................................... |
|
|
|
400 |
||
§ |
|
3. Как |
изобразить систему |
координат набумаге |
вклетку . . . . |
401 |
||||||||
§ |
|
4. Подъем |
(невертикальной) |
прям ой ...................................................... |
|
|
406 |
|
||||||
§ |
|
5. Параллельные и перпендикулярные |
прямые |
.................................... |
|
412 |
||||||||
§ |
|
6. Формула |
расстояний ........................................................................................ |
|
|
|
|
|
415 |
|||||
§ |
|
7. Формула |
середины. Деление отрезка |
вданномотношении . . |
. |
419 |
||||||||
§ |
|
8. Применение метода координат для доказательстватеорем |
. . . |
424 |
||||||||||
§ |
|
9. Условие |
|
и его график .................................................................................... |
|
|
|
|
|
428 |
||||
§ |
|
10. Уравнение прямой |
............................................................................................ |
|
|
|
|
|
431 |
|||||
Г Л А В А |
|
14. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ |
|
|
|
|
|
|||||||
§ |
1. |
|
Основные определения.......................................................................................... |
|
|
|
|
|
441 |
|||||
§ 2. Касательные к о кр уж н о сти ............................................................................... |
|
|
|
|
445 |
|||||||||
§ 3. Касательные плоскости к сфере |
.................................................................... |
|
|
|
453 |
|||||||||
§ 4. |
Дуги |
о кр у ж н о стей .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
458 |
|||||
§ 5. Вписанные углы и высекаемые дуги |
......................................................... |
|
|
462 |
||||||||||
§ 6. Конгруэнтные д у г и .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
468 |
|||||||
§ 7. |
Секущие |
и касательные отрезки. Степень точки относительно |
|
|||||||||||
|
|
окр уж ности .................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
473 |
|||||
§ 8. Окружность на координатной плоскости...................................................... |
|
|
481 |
|||||||||||
Г Л А В А |
|
15. |
НЕОБХОДИМ ЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИ Я; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ПОСТРОЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
1. |
|
Необходимые и достаточные у с л о в и я |
........................................................ |
|
|
493 |
|||||||
§ 2. |
|
Роль необходимых и достаточных условий в аналитической гео |
|
|||||||||||
|
|
|
метрии ............................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
' . ......................... |
|
497 |
||
§ |
3. |
Теоремы |
|
о конкуррентности........................................................................... |
|
|
|
|
499 |
|||||
§ |
4. |
|
Биссектрисы углов |
тр еу го л ьн и ка ................................................................ |
|
|
|
503 |
||||||
§ |
5. |
|
Теорема |
о конкуррентности м еди ан ............................................................ |
|
|
|
505 |
||||||
§ |
6. Построения с помощью циркуля |
и линейки ......................................... |
|
|
508 |
|||||||||
§ |
7. |
|
Простейшие построения...................................................................................... |
|
|
|
|
|
510 |
|||||
§ |
8. Простейшие построения (продолжение).................................................... |
|
|
513 |
||||||||||
§ |
9. |
|
Вписанные и описанныеокруж ности .......................................................... |
|
|
|
518 |
|||||||
§ |
10. |
|
Неразрешимость |
некоторых |
классических |
задач на |
по |
|
||||||
|
|
|
|
строение |
|
...................... |
|
|
|
|
|
|
520 |
|
Г Л А В А |
16. |
ПЛОЩАДЬ КРУГА |
И СЕКТОРА |
|
|
|
||||||||
§ |
1. М ногоугольники........................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
529 |
||||||
§ 2. |
Правильные м ногоугольники ........................................................................... |
|
|
|
|
534 |
||||||||
6
§ 3. Длина окружности. Число я ........................................................................... |
|
536 |
|||
§ 4. |
Площадь к р у г а .......................................................................................................... |
|
540 |
||
§ 5. Длина дуги и площадь сектора .................................................................... |
|
543 |
|||
Г Л А В А |
17. ТЕЛА И ИХ О БЪЕМ Ы |
|
|
||
§ 1. |
П ри зм ы ............................................................................................................................. |
|
|
551 |
|
§ 2. П и р а м и д ы ..................................................................................................................... |
|
558 |
|||
§ 3. Объемы призм и пирамид. Принцип |
Кавальери .................................. |
563 |
|||
|
Аксиома 23 (аксиома единицы объема) ..................................................... |
564 |
|||
|
Аксиома 24 |
(принцип Кавальери) ................................................................ |
|
565 |
|
|
Архимед ......................................................................................................................... |
|
|
57 j |
|
§ 4. |
Цилиндры |
и к о н у с ы ............................................................................................... |
|
572 |
|
§ 5. |
Объем шара и площадь его п о вер хн о сти ................................................. |
578 |
|||
Дополнения ............................................................................................................................ |
|
|
535 |
||
Список |
аксиом |
..................................................................................................................... |
|
593 |
|
И . М . Я глом . «Метрические» системы обоснования геометрии и книга |
|
||||
|
Моиза — Д а у н с а .......................................................................................................... |
|
595 |
||
Л и т е р а т у р а |
................................................................................................................. |
|
606 |
||
Указатель с и м в о л о в .......................................................................................................... |
|
614 |
|||
Предметный у к а за те л ь ...................................................................................................... |
|
616 |
|||
Именной у к а за те л ь ........................................................................ |
; ................................. |
622 |
|||
Настоящая книга представляет собой учебник геометрии, используемый в старших классах части американских средних школ. Содержащийся здесь материал покрывает полную программу курса: он содержит и разделы, относящиеся к планиметрии, и пер воначальные (впрочем, довольно скромные) сведения по стереометрии. В книге произ ведена удачная попытка частичного объеди нения планиметрического и стереометриче ского материала, излагаемого зачастую в рамках одной главы.
Учебник Моиза и Даунса является также и задачником —он содержит полное количество задач, необходимое для целей преподавания. Для удобства преподавателя задачи, которые авторы считают возмож ным опустить, отмечены крестиками (+); бо лее трудные задачи отмечены звездочками
(*). Особо выделены так называемые «кон курсные задачи» (honors problems), адре сованные лишь к наиболее успевающим учащимся.
Основной текст книги сопровождается Дополнениями, заимствованными из «учи тельского издания» учебника, и послесло вием редактора перевода, поясняющим ос новные установки этой книги, а также содержащим некоторые сведения о ее ав торах и о том, как используется этот учеб ник в американских средних школах. В кон це книги имеется полный список всех ак сиом, позволяющий более полно представить себе избранную авторами дедуктивную си стему, а также список всех употребляемых в книге символов и предметный указатель. Немногочисленные подстрочные примеча ния в тексте книги принадлежат перевод чику и редактору. ж
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В последние годы происходила оживленная дискуссия о содержа нии курса геометрии, который проходится в старших классах средней
школы. Просмотрев |
оглавление этой книги, легко заметить, |
что |
|||||
мы |
близко следуем рекомендациям Комиссии по математике Совета |
||||||
по |
вступительным |
экзаменам |
в колледжи (Commission |
on Mathe |
|||
matics of the College Entrance |
Examination Board) и находимся под |
||||||
сильным |
влиянием |
опубликованной исследовательской |
Группой |
||||
по школьной математике (School Mathematics Study |
Group, |
со |
|||||
кращенно |
SMSG) книги под |
названием «Геометрия». |
При отборе |
||||
материала для нашей книги мы руководствовались идеями, ко торые были приняты как этими коллективами, так и некоторыми другими.
Самый простой способ объяснить дух и метод этой книги состоит
втом, чтобы сразу выразить глубочайшую признательность нашим коллегам по SMSG. Нам посчастливилось участвовать в проводимой
врамках SMSG коллективной работе, и мы были воодушевлены длительными и серьезными обсуждениями стиля и метода преподава ния математики. Естественно, что мы писали свою книгу, осно вываясь на собственных убеждениях, сложившихся после нескольких
лет труда и размышлений под влиянием нашего опыта преподавания
в средней |
школе; отступления от выработанной коллективно линии |
|||||||
изложения |
здесь столь многочисленны, |
что |
мы не можем претен |
|||||
довать |
ни на какую поддержку нашей книги |
авторитетом SMSG. |
||||||
Однако |
наши |
взгляды со времени летних месяцев 1958, 1959 и |
||||||
1960 гг. существенно не изменились; основные установки составлен |
||||||||
ной под эгидой SMSG книги и теперь |
кажутся |
нам такими же |
||||||
обоснованными, |
как |
и раньше, так что своей задачей мы считаем |
||||||
лишь усовершенствование воплощения этих установок. |
||||||||
Перечислим |
теперь основные особенности нашей книги. |
|||||||
1. |
Основные |
понятия стереометрии |
вводятся у нас рано, в гл. 3, |
|||||
и с этого |
момента |
систематически |
используются. |
Они возникают |
||||
не только в более поздних главах, специально посвященных изучению |
||||||||
стереометрии, |
но и в задачах к главам, посвященным планиметрии. |
|||||||
Таким образом, к тому времени, |
когда |
мы обратимся к система |
||||||
тическому изучению стереометрии в гл. 8, учащийся будет уже |
||||||||
иметь |
большой |
и разнообразный (хотя и интуитивный) опыт в этом |
||||||
направлении. |
|
|
|
|
|
— |
||