В свою очередь, для определения углов aD> и aF> нужно воспользоваться следующими зависимостями:
|
aD> = |
arccos ( |
02D' ) |
; |
0 2 D ' |
= |
|
|
= V |
г2л + |
A2 - |
2rELA |
cos (02 0;5) ; |
(11.15) |
|
|
( 0 2 а д |
= arcsin ( - ^ - ) ; |
a r = arccos |
|
. J |
Легко удостовериться, |
что значение |
k = |
1, если соблюдается |
неравенство, |
аналогичное |
неравенству |
(11.5): |
|
|
|
1 < |
Р2 + {0ЛП |
|
< 2 |
|
(11.16) |
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для последующих выводов понадобятся параметры, определяю щие положения точек N2 и на профилях зубцов колес 2 и / ; через N-L обозначена точка касания профилей в начале зацепле ния (рис. 11.8, а). Основываясь на построениях рис. 11.8, б, получим
|
tg <%2 - а + |
- ~ - |
-у + arcsin ( - ^ ) + tg aD., |
(11.17) |
где a D ' |
определяется |
из |
зависимостей |
(11.15). |
|
При выводе выражения (11.17) использованы следующие вспо |
могательные зависимости: |
|
|
|
|
|
{O^^F') |
— ( i n v a F — inva D ') + aD> = |
|
|
= ( 0 1 O s S ) = | - - a r c s i n ( ^ f ) ; |
|
|
(FO?Ox) = |
ф8 - |
( О Д Г ) = |
I |
і - (Ox08 F); |
|
|
(FOjfij) |
+ |
inv a F — invajv2 |
+ a = a^,; |
|
|
|
|
i n v a F = inva/r'. |
|
Для |
определения |
|
параметров, |
определяющих |
положение |
точки Ni на профиле зубца колеса / , воспользуемся такой зави
симостью |
(рис. 11.8, а, б): |
|
|
|
|
|
|
|
г01 tg aN1 |
+ r 0 2 |
tgaNi |
= |
(r0 1 |
+ r 0 8 ) tg a. |
|
Отсюда |
следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg aN1 |
|
tg a |
— t 1 2 |
(tgajv2 |
— tg a). |
(11.18) |
Перейдем теперь |
к |
определению |
угла |
ц>г |
поворота |
колеса /, |
в течение |
которого |
профили |
бх—&х |
и r\1—Tjx |
колес / |
и 2 войдут |
и выйдут из зацепления. Из построений рис. 11.8, а следует:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф 1 = ( £ 0 > х ) + ( В Д 0 2 |
) + (OAS) = |
|
|
|
= i n v a £ |
— \nvaN1 |
-j-a — aN1 |
~\- arcsin |
|
|
После |
простых |
преобразований |
получим |
|
|
|
|
Фх= i n v a £ — t g a M |
+ a + |
arcsin |
( ~ f - ) • |
(H-19) |
Очевидно, |
что |
в случае |
za |
>> 1 |
|
|
|
|
Ф 1 |
= (SO>X) + (ВДО2) + |
|
і) |
+ (OAS) = |
|
|
= |
inv аЕ |
— tg а м + a -J- arcsin (-^f-) + |
(*« — 1) ~ • |
(11.20) |
Определим условия, при которых зацепление профилей |
при |
входе начнется как правильное зацепление |
эвольвентных |
про |
филей. Для этого необходимо соблюдение следующих требова
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний: |
а) начальная |
точка Nt |
касания |
профилей 6Х —6Х |
и г]1—У\1 |
(рис. |
11.8, а) должна оказаться между точками К и L или, $ край |
нем случае, |
совпасть |
с К', б) дуга СТ |
соседнего профиля должна |
оказаться вне дуги |
GF. Первое требование будет соблюдено, |
если |
aNi |
^ aF. Второе |
требование вытекает из условия отсутствия |
заклинивания |
зубцов |
в начале |
зацепления |
(см. рис. |
11.10, а) |
и |
оно записывается |
в |
виде |
уравнения |
(11.34). |
|
|
|
|
|
Пример 11.2. Рассматривается |
зубчатый механизм |
прерывистого |
движения |
счетчика оборотов. Исходные данные: z± |
= 20; z2 |
= |
8; zu = 2; зацепление |
кор |
ригированное, |
коэффициент |
коррекции |
|
%i= — 1 г = |
—0,362; модуль от = |
0,5. |
При указанных |
данных |
А = 7 мм; а = 20°; ге1 |
— 5,319 мм; |
ге2 |
= |
2,681 мм; |
6 2 = 41° 59'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того |
чтобы удостовериться, |
что k= |
1, |
воспользуемся |
неравенством |
(11.16). Из выражения |
(11.14) найдем, |
|
что (OxOgf) = |
43° 48' |
и |
неравенство |
(11.16) |
действительно |
соблюдается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При k = |
1 и zM = |
2 угол поворота |
колеса 2 за один полный |
оборот колеса / |
на |
основании |
уравнения |
(11.4) составит |
( р а = 90°. |
|
и выходу из |
зацепления |
|
Угол поворота колеса /, соответствующий входу |
колеса |
2, на |
основании выражений |
(11.20), (11.18) и (11.17) окажется равным |
Фі = 40° 25'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол aN2 |
= |
30° 4Г, угол ар — 45° 30', неравенство aN2 |
ар соблюдается, |
и точка N-i находится между точками К и L. Этим подтверждается, |
что в началь |
ной фазе нет кромочного зацепления. Заклинивание профилей в начале зацепле ния исключено, что подтверждено соблюдением уравнения (11.34).
Функции перемещения, скорости и ускорения. График функции перемещения <р2 = <р2 (фх ) при зацеплении во всех трех фазах для общего случая представлена на рис. 11.9, а. Для аналити ческого определения функции ф 2 = ф 2 (ц>х) воспользуемся построе ниями рис. 11.9, б. Предварительно нужно, используя урав нения (11.10) и (11.11)—(11.12), найти значения ф 2 и Ф і , опреде ляющие начальные положения профилей т]г —пх и 6Х —8Х . После
этого для определения текущего значения функции ф 2 = ф 2 (фх ) нужно решить косоугольный треугольник 0ХМ02 (рис. 11.9, б). В результате получим
|
|
|
|
|
|
|
|
ОхМ = |
]/"ГЙ + |
Л2 — 2ге 2 Л cos (гра — <р2); |
|
|
ам |
= arccos |
Л>1 |
} (П-21) |
|
,Л1 |
|
|
|
|
|
sin (г})! — Ф! — inv а л + |
inv а м ) = sin (г|)2 — ф2 ) |
. |
|
Для определения угла аА |
нужно воспользоваться выражением |
|
|
аА = arccos ( - ^ - ) • |
(11.22) |
|
Значение Ох Л определяется |
из формулы (11.11). |
|
|
Определение текущего значения |
ф 2 (ф2 ) с помощью |
уравнений |
|
(11.21) требует применения |
метода |
последовательных |
приближе |
ний. |
Вычисления заметно упрощаются при определении |
функции |
Фі = |
Фі (фг)> если задаваться |
при вычислениях значениями ф 2 . |
Для определения |
граничного |
значения ф п |
соответствую |
щего |
точке |
К линии |
зацепления, |
воспользуемся |
построениями |
рис. 11.9, в, |
согласно |
которым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г|з* = arccos (-—-) — «; |
|
|
|
(11.23) |
|
|
|
OiK2 |
= |
r2 2 + |
Л 2 — 2гс 2 Л cos г|/2; |
|
|
(11.24) |
|
|
|
|
|
а к . |
Г01 |
|
|
|
|
(11.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (фі — ф! — і п у а л |
-\- i n v a ^ ) |
0,К |
Sin 1(52, |
(11.26) |
где а — угол |
зацепления. |
|
|
|
|
|
|
Граничное |
значение |
угла |
ф 2 для первой |
фазы зацепления |
определяется |
из выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф2 = |
і|>2 — Ь- |
|
|
|
(11.27) |
Во второй фазе зацепления |
при ФЇ <С Фі <С Фп функция ф 2 = |
= ф 2 |
(фх) является линейной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф2 |
= Фі іа і = |
ФіЦ- • |
|
|
|
(11.28) |
г2
В третьей фазе зацепления функция ф 2 = ф 2 (фх ) снова ста новится нелинейной. Дл я аналитического определения этой функ ции нужно воспользоваться способом, аналогичным тому, кото рый был применен для определения ф 2 = ф 2 (фі) в первой фазе зацепления.
Функцию передаточного отношения г'2і - = h i (фі) можно найти дифференцированием функции ср2 = ф 2 (фх ) либо используя то положение (рис. 11.9, б ) , что
|
|
|
h l ~ |
щ ~ 'Oj- |
|
|
(]!-29) |
Мгновенный полюс зацепления находится как точка пересече |
ния с линией межцентрового расстояния 0x0.2 |
нормали MP к про |
филю зубца |
колеса 1. Нормаль MP образует с линией 0 Х 0 2 угол |
(ОгРМ) |
= -j — [ам - f |
— фх) — (inv осл |
— i n v а Л ) ] , |
(11.30) |
где <хм определяется |
из выражения |
(11.21). |
|
|
Функция |
углового |
ускорения е 2 = е 2 (фх) колеса 2 при ©х = |
= const определяется |
|
уравнением |
|
|
|
|
|
|
Є |
2 - - 3 ? - - ^ 2 - |
( 0 1 - |
|
|
( П - 3 1 ) |
Графоаналитический |
способ определения функции є 2 |
= є 2 (фх) |
основывается |
на дифференцировании функции |
со2 == ю 2 |
(фх). Ана |
литический способ определения функции є 2 |
= s2 (фх) ввиду его |
громоздкости |
не приводится. |
|
|
|
|
|
|
11.3. П Е Р Е Д А Ч А СИЛ |
|
|
Наиболее неблагоприятны условия |
передачи сил в первой фазе |
зацепления. |
В начальном положении |
может |
возникнуть |
закли |
нивание механизма вследствие |
того, что вершина профиля |
зубца |
ведущего колеса упирается в головку зубца ведомого колеса.
Обратимся к построениям рис. 11.10, а. Профили б х — б х |
и т]х—т)х |
должны |
были |
бы вступить в зацепление |
в точке А, но это стало |
невозможным |
из-за |
того, что профиль б х — б х своей вершиной Е |
уперся в линию выступов зубца, соседнего по отношению К Т)х—Т)х. |
При этом давление |
от колеса / |
передается |
колесу |
2 по |
нормали |
к |
окружности |
выступов, проходящей через |
центр |
О 2 колеса 2. |
Описанная ситуация не возникнет, если |
дуга СТ линии |
выступа |
зубца колеса |
2 окажется вне промежутка AG, где А — вершина |
профиля |
т)х—rix, |
G — точка пересечения |
окружностей |
выступов |
rei |
и гл |
колес / и 2 (рис. 11.10, |
а). Для этого необходимо соблю |
дение неравенства |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
AT |
>А~Е, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А02Е) |
< ( Л О > ) = (А02С) |
- (С02Т). |
|
(11.32) |
|
Используя |
построения рис. 11.10, а, выражение (11.32) пред |
ставим |
в таком |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P « - 1 > . < Y , — ( П . З З ) |
где se2—дуговая |
толщина зубца колеса 2 на окружности радиуса ге%. |
Приняв во внимание формулу (11.10), получим, что для предо твращения заклинивания необходимо, чтобы
< ( £ + l ) Y 2 - 2 B 2 |
(11.34) |
Заклинивание механизма может произойти и по другой при чине: из-за неблагоприятного направления нормали п—п при зацеплении профилей в точке Л (рис. 11.10, б). Нормаль п—я каса-
|
|
|
Рис. 11.10 |
|
|
тельна к окружности |
радиуса г01. Реакция R12 |
отклоняется |
от |
п—п |
на угол трения |
р. При^неблагоприятном направлении нор |
мали |
п—п |
окажется, |
что из-за малой величины |
h значение |
R12 |
окажется |
недопустимо большой величины. Отметим, что |
|
|
|
|
R12 — |
(11.35) |
где Мс — момент сопротивления на валу ведомого колеса. Ис пользуя построения рис. 11.10, б, найдем, что
h = rP9 sin
= re2 cos ( а л + *ф! + г|)2 + р). |
(11.36) |
Здесь я|з2 = ky2 |
—'82 ; р = arctg (/), где / —коэффициент |
трения на |
зубцах. Для |
определения значения |
нужно воспользоваться |
выражением |
(11.12). Величина угла аА |
определяется |
из урав |
нения (11.22). |
|
|
|
Пример 11.3. Определить плечо h |
реакции Rl2, |
передаваемой |
от колеса 1 |
колесу 2 при зацеплении профилей в точке Л; исходные данные для расчета те же, |
что и в примере |
11.1, р = 9°. Используя выражение (11.36), получим —— = |
= 0,514. |
|
|
|
Г е г |
|
11.4. Р А С Ч Е Т |
П А Р А М Е Т Р О В |
|
З А П И Р А Ю Щ Е Г О У С Т Р О Й С Т В А |
|
Фиксирующее устройство (рис. 11.1, а) состоит из запираю щих дуг 4 и 3. Число запирающих дуг 3, которое нужно разместить на колесе 2, определяется значением угла ср2 поворота колеса 2, соответствующего одному циклу движения. Радиус гз1 запирающей дуги 4 обычно принимают равным радиусу делительной окружности или окружности выступов колеса / . Радиус запирающей дуги 3
Угловое положение запираю щих дисков в конце зацепления колес представлено на рис: 11.11; при этом точка Qj запирающего диска 4 должна находиться на линии центров 0]02. Длина запи рающей дуги 3 выбирается из кон структивных соображений. Угол
|
|
(Q 1 0 1 Q 2 ), |
определяющий |
длину |
|
|
запирающей дуги QxQ2, |
находится |
|
|
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
(Q1O1Q2) = |
2я - ф , . |
(11.37) |
|
|
Угол |
(QiOjQ2 ) |
должен |
отсчи- |
|
|
тываться |
от |
OxQ2 |
в направлении, |
|
|
противоположном |
направлению |
|
|
вращения колеса /. При пово |
|
|
роте колеса / на угол 2я — ф х |
коле |
|
|
со 2 находится в |
покое, |
запираю |
щие дуги 4 и 3 касаются друг друга и этим предотвращается |
слу |
чайный поворот колеса 2. После поворота колеса 1 на угол |
2п—фь |
когда профили 81 —6\ |
и |
— ( р и с . 11.5, а) |
вступят в зацепление |
друг с другом, точка |
Q2 |
запирающей дуги |
4 |
окажется на |
ли- |
ний Ог02. |
В этот момент начинается вращение ведомого колеса 2 |
и этому |
запирающие |
дуги 4 и 3 не препятствуют. |
При |
определении |
числа запирающих дуг 3, размещаемых на |
колесе 2, нужно исходить из следующих соображений. В простей
шем случае угол ф 2 удовлетворяет |
соотношению такого вида: |
= с, |
(11.38) |
ф 2 |
|
где с — целое число. |
|
Рис. 11.12 Рис. 11.13
На |
колесе 2 нужно при этом разместить с запирающих дуг 3. |
В |
более общем случае угол |
сра |
удовлетворяет |
выражению |
|
^ |
= |
с, |
(11.39) |
|
Ф2 |
|
|
|
где а я с — целые числа, причем г 2 должно быть кратным а. Число запирающих дуг 3, которое нужно разместить на колесе 2, и в этом случае равно с. Запирающие дуги колеса 2 вступают в действие в определенной последовательности. На рис. 11.12 изображено размещение запирающих дуг при а = 2, с = 15 и ф 2 = 48°. Номера запирающих дуг определяют последовательность, с кото рой они вступают в действие. При большом числе запирающих дуг значение гз1 = г з а для увеличения длины запирающих дуг 3 нужно уменьшить,
Перейдем теперь к расчету параметров запирающего устрой ства, изображенного на рис. 11.1, б. При покое ведомого колеса 2 его фиксация достигается тем, что два запирающих зубца касаются окружности выступов колеса / . В этом случае запирающий диск совмещен с окружностью выступов колеса /. У ведомого колеса 2 все незапирающие зубцы должны быть укорочены по длине. Запирающий диск колеса / выполняется несплошным, в нем профрезерованы впадины тех зубцов, которыми снабжено колесо 1 (рис. 11.3). Касание запирающих зубцов ведомого колеса 2 с ок ружностью выступов колеса / достигается выбором определенного значения коэффициента коррекции колес / и 2. Обозначим через \І
угол (G1 02 G2 ), |
где |
Gi и G2 — начала |
эвольвентных |
профилей |
запирающих |
зубцов (рис. 11.13);— |
|
угловая толщина |
зубцов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
основной |
окружности; |
s02 |
— толщина |
зубцов |
на |
основной |
окружности |
r0 2 ; |
Y 0 2 |
— угловое |
расстояние |
между |
запирающими |
зубцами; zk2 |
— число |
укороченных |
зубцов |
колеса |
2, |
находяще |
гося |
между |
запирающими |
зубцами |
(обычно |
принимают |
zk2 |
— |
= |
k — 1 - f 2), Основываясь |
на |
построениях |
рис. 11.13, получим |
где |
|
|
|
|
|
^ |
= |
Ї 0 |
2 - - ? ? |
- . |
|
|
|
|
|
(П.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
л °2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yos |
= - 7 L ( Z f t 2 + |
! ) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Угловая толщина зубца на основной |
окружности |
колеса |
при |
наличии |
коррекции |
определяется |
выражением (см. |
8.7) |
|
|
|
|
|
s02 = |
_я_+ |
і к І £ З д _ + |
2 і п у а д . |
|
|
(11.41) |
|
В |
результате |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И = |
- Т - & з + |
0-5) - i k |
^ |
L - |
2 іпуа д . |
|
|
(11.42) |
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из построений рис. |
11.13 |
следует также, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos ( - т ) - е ] - |
|
' |
|
О 1 - 4 3 ) |
и |
Из свойств эвольвентного зацепления вытекает, что GXH |
= HF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й=®[_ |
/02 |
= |
Ш_ |
|
|
|
|
. |
|
|
(Ц.44) |
Здесь |
|
|
|
|
Г02 |
|
|
|
Г02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
т (гх |
+ z2 ) cos |
а д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inv а |
= inv а д - f 2 (Si + |
k> tg а д ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г 1 |
~Г ^2 |
|
|
|
|
|
|
' 02 |
- Ж р ц |
г й = т ( ^ + 1 + б 1 ) - А А . |
