Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

27.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

зубцов на окружности радиуса гх. Из построений следует:

ІГХ=2%-(invа*-

i n v a J >

{ 8

А 7 )

где

ал

= arccos —

ах

= arccos

Следовательно,

— 2 (inv а* — inv а д )

(8.48)

Для

определения толщины

зубцов

по начальной

окружности

формуле

(8.48)

нужно

п о л о ж и т ь ^ ' ^ г н

, ах =

а (а — угол

зацепления

колес).

Если

ищется

толщина зубцов

на

основной окружности,

в фор

муле

(8.48)

нужно

принять

= rQ.

Учитывая,

что —

г д

cos а д ,

получим

(sa

+ mz inv ад)

cos а д .

(8.49)

Иногда

задача

ставится

так: требуется найти окруж

ность радиуса гх, на которой

пересекаются профили зубца.

Для

этого

нужно

положить

Рис.

8.22

(8.48)

= 0,

после чего

найдем

inv а, =

-5й_ + inva„

(8.50)

2гд

Из

таблицы

эвольвентных

функций

по

inv ах

находим

ах,

затем

находим

гх

из зависимости

rx =

- ^

= ^-SS^L.

(8.50а)

cos Од.

cos a*

Д л я

внутреннего зацепления

(рис. 8.23) формула (8.47) примет

следующий вид:

2гх

-^f- +

invaA .—

і т г а д .

Соответственно должны быть изменены знаки в формулах

(8.48), (8.49) и (8.50).

Определение

толщины

зубцов по общей

нормали. Одним

из

распространенных способов косвенного измерения толщины зуб цов является их измерение по общей нормали, которое может быть выполнено обычным штангенциркулем или предельной скобой (рис. 8.24). Замер производится по нормали, проведенной к про-

тивоположно направленным профилям. Число п впадин, заклю

чаемых при этом между ножками	штангенциркуля или скобы
при Ид = 20°, определяется из табл.	8.1


Определим			размер по	общей нормали, считая заданной тол
щину	зубцов		по делительной		окружности.	размер L —
Из	свойств		эвольвентного зацепления (рис. 8.24)
= М0М0 =		nt0	+ М0Мо,	где t0	— шаг по основной	окружности,
п — число		охватываемых		впадин (на рис. 8.24 п = 1), М0М0 =

							Рис. 8.23
=	s0	— толщина		зубца		по основной		окружности. Так как / 0 =
=	тл	cos а д ,	s0	=	(sR	+	tnz і п у а д )	cos а д (см.	8.49),	получим
		L	— п(тл		cos а д ) + (sa +			mz inv а д )	cos а д .	(8.51)
	Определение толщины						зубцов с помощью роликов. В приборо

строении толщина зубцов колес малого модуля определяется кос венным образом, измерением размера между крайними точками двух роликов, вложенных в противоположные впадины зубча

того	колеса.
Пусть задана толщина зубцов sA		на делительной окружно
сти г д	колеса; требуется определить	расстояние между осями

ролика и колеса. В точках касания ролика с эвольвентным про филем у них имеется общая нормаль, касательная к основной окружности и проходящая через центр О ролика (рис. 8.25). Проведем через О эквидистантный профиль, отстоящий от правого

профиля на		величину ON = г р о л ;	очевидно, что	ON ~	CL =
=	г р о л . Угол,	образуемый между	осями симметрии	зубца	и впа-
•-•	1 Табличные	данные указаны для некорригированных колес.

286

							Т а б л и ц а	8.1
Число впадин п, охватываемых			при измерении толщины зубцов
	по общей нормали при а д =				20°
Число впадин	1	2	3	4	5	6	7	8
Число зубцов	12—18 19—27 28—36 37—45 46—54 55—63 64—72 73—81

дин,

равен

На основании

построений имеем

inv

' рол

0CR

где

— толщина

зубцов по основной окружности; ан — угол

давления

эвольвентного

профиля ОС в точке О.

На

основании

(8.49)

после

преобразований

получим

2г

\n\aR

= тгJ&.

тг cos'рола д

inv

а д -

(8.52)

Определив из таблицы эволь-

ВеНТНЫХ ФУНКЦИЙ ПО inv Gifl

значение

aR,

находим

радиус

определяющий

положение

ролика,

из

зависимости

R =

г0

тг

cos а д .

(8.53)

Рис.

8.24

cos а% ~~

cos a.R

Диаметр ролика должен подбираться в зависимости от модуля

зубцов

и величины

коэффициента смещения | при корригирова

нии так, чтобы поверхность ролика выступала из впадины

колеса.

Ориентировочное

значение

^рол

= K U - 1 . 8 )

- П

s i n a j т.

(8.54)

При четном числе зубцов колеса размер М, замеренный поверх роликов, определится так:

М = 2R + dрол1

(8.55)

При нечетном числе зубцов (рис. 8.26), учитывая, что А я В — оси роликов, вложенных во впадины, С принадлежит оси симме трии зубца, получим

M = 2 « c o s ( ^ ) + r f p M .

(8.56)

Рис. 8.25

Рис. 8.26

Формулы (8.52), (8.53), (8.55) и (8.56) позволяют определить номинальные значения М при заданной толщине зубцов sR по делительной окружности. Предельные значения М должны быть определены на основании допусков на толщину зубцов. Д л я упро щения вычислений целесообразно найти связь между изменением положения AR и допуском на толщину зубцов. Продифференци руем для этого формулы (8.52) и (8.53); получим

	( _ \|	i W	= A	; гіК	=	у м а Д 8 і		п а * Л а д .
	\cos2 ctft	/		ffiz		2	cos2	K
Следовательно,
,	cos a
где k = 2 sin a#
Продифференцировав после этого выражения (8.55) и (8.56),
соответственно		получим
		dM =	2dR;	dM = 2cos			dR.		(8.58)
Удобство приведенных выражений						в том, что предельное			зна
чение	М п р находится		как сумма		Мпр	= М + AM. Здесь			М —

номинальное значение, определенное при теоретическом значе


нии толщины	зубцов sA; AM	вычисляется		через	допуск	на тол
щину зубцов;	коэффициент	k, входящий		в выражение		(8.57)-,
от допуска на толщину зубцов			не зависит.
	8.10. ОШИБКИ		ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ЭКСЦЕНТРИЧНЫХ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ					КОЛЕС

Геометрический и кинематический эксцентриситеты. Геометри ческий эксцентриситет появляется: а) при смещении центра базо вой поверхности нарезаемого колеса по отношению к центру вра щения на зуборезном станке; б) при смещении центра базовой поверхности по отношению к центру вращения колеса в механизме;

в) вследствие биения	подшипников.
Н. А. Калашников	[32] впервые показал, что так называемый

кинематический эксцентриситет появляется при нарезании колеса на зубофрезерном станке, погрешность цепи обкатки которого является гармонической функцией с периодом, равным периоду оборота нарезаемого колеса.

Известно, что при отсутствии погрешностей цепи обкатки станка зависимость между перемещениями sp инструментальной рейки и углом поворота Ф нарезаемого колеса является линейной; это записывается так:

sp = а^р.	(8.59)
При соблюдении зависимости (8.59) да станке нарезается	колесо

с эвольвентными профилями зубцов, не имеющее эксцентриситета.

19 Ф. л . Литвин

289

Эволютой профилей зубцов левого и правого направлений яв ляется одна и та же основная окружность, радиус которой опре деляется уравнением

r0 — ах cos а и ,

(8.60)

где а и — угол профиля зубцов инструментальной рейки. Погрешности цепи обкатки зубофрезерного станка приводят

к появлению в функции sp (ф) гармонических составляющих раз личного периода. Ограни-

\| Полярная ось	чиваясь учетом только пер
2ссд	вой	гармоники, зависи
2ссд	мость sp (ф) запишем в виде
	мость sp (ф) запишем в виде
		а2 [sin	(ф +
	+	« и ) sir. а и ] .	(8.61)

Оснодные

окружности

Рис. 8.27

	При	таком			характере
зависимости s„ (ф) на стан-
ке	будет			'р		колесо,
		нарезано
у которого				эволюты			про
филей правого					и	левого
направлений				представляют
две	несовпадающие						друг
с	другом		окружности с
радиусом			ах	cos-aH, экс
центричные				относительно
центра		вращения				колеса
на	станке		(рис. 8.27). Ве
личина			эксцентриситета
окажется			при этом			равной
а 2 cos а и			и	угол		между
векторами			эксцентрисите
тов	обеих			окружностей
составит		2а и .

Доказательства высказанных утверждений изложены в работах Н. А. Калашникова [32], автора [67] и др. Доказано, что при веденные особенности кинематического эксцентриситета спра ведливы как при малых, так и при больших значениях — [67].

a i

Описанный вид эксцентриситета был назван кинематическим Н. А. Калашниковым. В последующем под эксцентриситетом колеса будем понимать суммарный эксцентриситет, вектор кото рого представляет геометрическую сумму геометрического, мон тажного и кинематического эксцентриситетов.

Полезно отметить, что кинематический эксцентриситет не может быть обнаружен при контроле биения колеса мерительным наконечником в виде зубца рейки; такой наконечник будет нахо диться на постоянном расстоянии от центра вращения, хотя эволюты профилей (основные окружности) смещены относительно

центра вращения (рис. 8.27). Кинематический и результирующий эксцентриситеты могут быть обнаружены при однопрофильном контроле накопленной погрешности окружного шага.

Ошибка перемещения для пары эксцентричных колес. Пред ставим сначала, что центры Ох и 0 2 основных окружностей колес совпадают с центрами 0 ( 1 ) и 0 ( 2 ) вращения; профили зубцов ка саются друг друга в точке М (рис. 8.28, а). Переходя к рассмо трению зацепления эксцентричных колес, сместим каждое из колес поступательно так, чтобы геометрические центры колес


заняли положения Ох и 02,			смещенные относительно центров вра
щения 0 ( 1 )		и 0 ( 2 ) . Между профилями зубцов,				касавшимися	ранее
друг друга		в точке М, появится зазор			либо	они внедрятся	друг
в друга. Д л я того чтобы снова				ввести профили зубцов в касание,
повернем	колесо 2 вокруг		0 ( 2 )	на угол	Д 8 ( 2 ) . Этот угол явится
ошибкой	положения колеса		2.

Для определения ошибки положения колеса 2 нужно восполь зоваться уравнением (6.86), которое, переходя к новым обозначе

ниям,	запишем	так:
		(Ае2 — Д Є і	+ Д 6 ( 2 ) х 0 ( 2 ) М ) j =	0.		(8.62)
Здесь	j — орт нормали к эвольвентным профилям;				Де 2 =	0{Z)02
и Де х	= 0 ( 1 ) О х	— векторы	эксцентриситетов	колес;	через	i , j и

к обозначены орты неподвижной системы координат, жестко свя занной со стойкой.

Геометрический способ решения векторного уравнения (8.62) представлен на рис. 8.28, б. Как и в примере 3.2, при определении

Д6( 2 > вместо профилей, касающихся	в М,	можно	ввести в рас
смотрение эквидистантные профили,	касающиеся		друг	друга
в полюсе зацепления Р. Легко установить,		что на величине		Д0 ( 2 )

это не скажется. Это следует из того, что заштрихованные на

рис.	8.28 треугольники			подобны.
Основываясь на аналитическом или геометрическом способах
решения		уравнения	(8.62),		получим
		д 0 ( 2 ) _	Aet sin (Pi + а) + Ae2 s i n (Pa — " ) .					(8 63)
Через		и В2 обозначены углы, определяющие текущие поло
жения векторов эксцентриситетов по отношению							к вектору	0 ( 1 ) 0 ( 2 )
(углы р г		и р 2 отсчитываются				в направлении	вращений	колес).
В процессе движения геометрические центры Ог							и 0 2 колес пере
мещаются по окружностям радиусов Дех и Де2 . Векторы								Де х и
Де2	— вращающиеся векторы, изменяющие свои положения в про
цессе движения. С учетом					этого запишем
		Рі = Рю +		Фіі		Ра = Р 2 0 + Ч>«,		(8.64)
19*								291

где

Bj-Q — угол,

определяющий положение

вектора эксцентриси

тета

начальном

положении

при срг =

ц>і — угол

поворота

колеса

(і =

2).

Ошибка углового перемещения колеса 2 определится как раз

ность

ошибок

текущего и начального положений:

Д ф ( 2 ) =

Д 0 ( 2 ) _ Д О ( 2 )

Ле1

t S

i n

(Фі + ї ї ) — s

i n

Yl) + A e 2

[Sm (фз + Уг) — Sin Y 2 ]

gg-j

где

Ті = 6

1 0 +

а;

у2 =

P2o — a ' .

Фг =

Фі*2і — теоретический

угол

поворота

колеса 2;

/ 2 1

— теоретическое значение

передаточ-

а)

Рис. 8.28

ного отношения. При выводе уравнения (8.65) мы пренебрегли изменением уравнения зацепления в процессе движения.

Ошибка перемещения колеса 2 представляет периодическую функцию, которую можно представить как сумму двух гармоник, периоды которых равны периодам оборотов колес / и 2. Это можно записать так:

(2) _	AeL[sm (фі +	Y i ) —	sin y t ]	; і
A „ W;	i<>"» VYI ~г	in —	ш	; і

аф _		-щ	г2І -\-
А е 3	[sin ( ф 2	+ уг) — sin у 2 ]	(8.66)
		г(2)

	Введем обозначения
Л г	а	_	Agx[sin((pi + yi)—sin Vj] ш		_ Ае2 [sin (ф2		+ у3 ) — sin у2]
А ф х		—		,	А ф 2 —		-щ	.
	Тогда		ошибка перемещения	ведомого		колеса	2	определится
так:
			Дф ( 2 ) = Афії'зі -f- Аф г2			=
			2_	21	I "W2 2
			2_	(ф/	+ ус) — Sin Yi
			&Є{ [Sin	(ф/	+ ус) — Sin Yi			(8.67)
			Et = i	{()		- hi,		(8.67)
			Et = i
где	г 2 2 =		1.			следующим образом:
	Уравнение (8.67) можно истолковать					следующим образом:

ошибка перемещения Аф ( 2 ) ведомого колеса представляет собой

сумму	двух погрешностей. Первая из них А ф 2 г 2 1 представляет
ошибку	перемещения колеса 2, вызванную эксцентриситетом Аех
колеса	1; вторая А ф 2 / 2 2	= Дф 2 представляет	ошибку перемеще
ния колеса 2, вызванную		эксцентриситетом Д	е 2 этого же колеса.

Ошибка перемещения кинематической цепи. Рассматривается кинематическая цепь, в которой передается движение от веду щего колеса / к ведомому колесу п. Ошибка перемещения Ац>(п) колеса представит сумму погрешностей, определяемых эксцентри ситетами всех колес кинематической цепи, включая и колесо п. Это можно записать так:

-	Аф<"> = 2 ] АФі/»! =				АЦ[«МФ1 + У*)-.toy/1 i n h	{	8	Щ
где і п і	— передаточное отношение от ведомого колеса га кинемати
ческой цепи к		колесу	і	(Іпп	= 1 ) .
В	формуле	(8.68)	под		зависимостью
		А Ф /	=	А«іГ*МФ< + У<)-8іпу,і		(	8 > 6	9 )
					го

понимается погрешность, вызываемая эксцентриситетом Де, t-ro колеса и измеренная на валу r'-го колеса; Аф£г'„, — представляет ошибку в угле поворота ведомого колеса га, вызванную эксцентри ситетом Де, колеса /.

При использовании формулы (8.68) следует учесть, что yt =

=РУО + если г'-е колесо ведущее.по отношению к тому, с ко

торым оно находится в зацеплении; у{ = р \ 0 — а, если колесо является ведомым. Передачу с паразитным колесом (рис. 8.29) нужно при этом заменять двумя передачами, в одной из которых паразитное (промежуточное) колесо является ведомым, а в дру гой — ведущим. В первой передаче, составленной из колес 1 и 2,

начальные положения векторов эксцентриситетов Aex	и Ле 2
определяются углами р \ 0 и Р 2 0 , отсчитываемыми от вектора	0 ( 1 ) 0 ( 2 )

в направлении вращения колес 1 и 2. В передаче, составленной из колес 2 я 3, начальные положения векторов Де 2 и Ле 3 опреде ляются углами р2о и Р 3 0 , отсчитываемыми от вектора 0 ( 2 ) 0 ( 3 ) в направлении вращения колес 2 и 3. Из построений рис. 8.29

		Следует,			ЧТО УГОЛ			§20 =
		— б +		Р 2 0	,	где б — угол
		между		векторами				0 ( 1 ) 0 < 2 )
		и	O	V .
			Передачи			с	промежу
		точным			колесом			вносят
		погрешности,				эквивалент
		ные		погрешностям				двух
		передач.			Если		это пред
		ставляется возможным по
		конструктивным					сообра
		жениям,			такие		передачи
		следует заменять						переда
		чами с внутренним						зацеп
		лением.
			В кинематической цепи
		с	замедлением				(со„ С со2)
		наибольший				удельный вес
		имеют		погрешности				ведо
		мого колеса п и ближай
		ших по отношению						к нему
колес. Это нужно учитывать при проектировании					кинематической
цепи,	задавая	наиболее высокую степень	точности			для	ведомого
колеса	п, а	в отдельных случаях — колес		с	номерами			п—1,
п—2 и т. д.

Погрешность Дф^ (фі), определяемая выражением (8.69), яв ляется главной составляющей так называемой кинематической погрешности зубчатого колеса — нормы точности, регламенти рованной государственным стандартом. Кинематическая погреш ность зубчатого колеса может быть определена экспериментально как ошибка перемещения контролируемого колеса при однопро фильном зацеплении его с образцовой рейкой или образцовым колесом. Полученную измерением кинематическую погрешность Аф/ (ф») можно представить в виде тригонометрического ряда, используя методы гармонического анализа. Первая гармоника Полученного таким образом ряда и представит функцию (8.69). К аналогичным результатам придем, если определить экспери ментально накопленную погрешность окружного шага и выделить затем первую гармонику. Размах кинематической погрешности

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ