книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

Используя уравнения (13.10), можно найти выражения для передаточных функций динамически осесимметричных летатель­ ных аппаратов. В силу совпадения уравнений (12.50) и (13.10) передаточные функции, характеризующие движение рыскания, ничем не будут отличаться от упрощенных передаточных функ­ ций (12.80), (12.81) и (12.82), описывающих первый этап про­ дольного возмущенного движения.

Некоторым исключением являются передаточные функции пу{р)/6в(р) и nz(p)/èH(p), отличающиеся знаком. Так, например,.

различаются знаками

= - ^ н — •

что обусловлено принятыми правилами знаков (при Чг> 0 пг< 0, тогда как при Ѳ > 0п у> 0).

2.2.ДВИЖЕНИЕ КРЕНА

Уравнение движения и передаточная функция

Если использовать наклонную систему земных осей коорди­ нат, то уравнение, описывающее движение крена, можно пред­ ставить в виде

dt* + ^11 at — С13^э “Ьс15^л

где Мявозм^—-возмущающий момент крена, учитывающий, в част­ ности, влияние движения рыскания на движение крена:

М ,возн= МЖв + М ІР+М >8н + М > у.

Составляющие возмущающего момента крена рассмотрены в гл. VII.

При исследовании процессов стабилизации крена удобно возмущающий момент выразить через эквивалентное отклонение

592

Рассмотренные выше упрощения уравнений бокового возму­ щенного движения обычно используют при изучении процессов управления снарядами.

Напомним еще раз, что возможность того или иного упроще­ ния уравнений летательного аппарата может быть выявлена только в результате анализа конкретных числовых характеристик летательного аппарата и системы стабилизации и поэтому к об­ щим рекомендациям относительно упрощения уравнений движе­ ния всегда следует подходить осторожно, сообразуясь с конкрет­ ными данными задачи.

Поскольку процессы стабилизации угла крена или угловой скорости крена протекают достаточно быстро, обычно при иссле­ довании этих процессов используют прием замораживания коэф­ фициентов. Передаточная функция, соответствующая уравнению

Здесь Кэ — передаточный коэффициент летательного аппарата в движении крена, определяемый формулой

В соответствии с правилами знаков, принятыми в аэродинами­ ке, коэффициент Кэ отрицателен, поскольку положительные от­

клонения бэ вызывают отрицательную угловую скорость у. Можно сказать, что передаточный коэффициент Кэ представ­

ляет собой скорость установившегося вращения летательного ап­ парата при отклонении органов управления креном на единицу угла.

Постоянная времени летательного аппарата Тд, характери­ зующая быстроту протекания переходного процесса, равна

С11

ивсегда положительна у любого летательного аппарата, так как Л Г * < 0.

593

Таким образом, связь между отклонением бэ органов управ­

ления креном и угловой скоростью крена у характеризуется пе­ редаточной функцией апериодического звена с постоянной вре­ мени Тэ и передаточным коэффициентом Кэ-

Переходный процесс при отклонении органов управления креном

Рассмотрим вращение летательного аппарата относительно продольной оси при ступенчатом отклонении органов управления креном на угол бэ. На основании (13.13) соответствующее диффе­ ренциальное уравнение движения запишем в виде

Решение такого уравнения при нулевых начальных условиях (рис. 13.3) имеет вид

Из (13.15) и (13.16) видно, что в движении крена переходный процесс характеризуется только двумя параметрами: передаточ­ ным коэффициентом Кэ и постоянной времени Та. При этом ди­

намические свойства аппарата по отношению к у совпадают со

Рис. 13.3. Характер переход­ ного процесса при отклонении органов управления креном

свойствами апериодического звена. При f-»-oо угловая скорость крена у апериодически (по экспоненте) стремится к установив­

шемуся значению ууст.

Постоянная времени Тэ характеризует скорость протекания этого апериодического переходного порцесса, т. е. степень инер­ ционности летательного аппарата в движении крена (рис. 13.3).

594

Так как постоянная времени Тэ у любого летательного аппа­ рата положительна [см. (13.14)], то свободное движение в рас­ сматриваемом переходном процессе всегда является затухаю­ щим.

Частотные характеристики

Заменив в выражении (13.13) оператор р числом ісо, по фор­ мулам (12.163), (12.164) и (12.166) найдем частотные характе­

Рис. 13.4. Логарифмические частотные характеристики передаточной функции у(р)/бэ(р) (|Яэ| =3; 1/ТЭ=1,2)

При определении фазовой характеристики условно считаем Кэ положительным. Графическое изображение характеристик (13.17) и (13.18) приведено на рис. 13.4.

Передаточную функцию (13.12) можно представить в виде произведения передаточной функции (13.13) на множитель 1 fp.

595

ГЛАВА XIV

ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

§ 1. ДИАПАЗОН ЧАСТОТ, В КОТОРОМ СПРАВЕДЛИВА ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Как известно, передаточные функции характеризуют динами­ ческие свойства соответствующего элемента или динамической системы в частотной области. При выводе передаточных функций какоголлибо элемента системы управления, в том числе, и лета­ тельного аппарата, обычно принимают ряд упрощающих пред­ положений. Поэтому передаточные функции элементов систем управления определяют с достаточной точностью динамические свойства этих элементов только в ограниченной области частот.

Рассмотренные выше уравнения движения и передаточные функции летательного аппарата были выведены на основе пред­ положения, что аппарат является абсолютно жестким, другими

Так, например, колебания рулей с высокой частотой, близкой к частоте свободных изгибных колебаний корпуса летательного ап­ парата, могут вызвать явление резонанса. Как видно, частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям «аб­ солютно жесткого» летательного аппарата, в области высоких частот не соответствуют действительности. Поэтому и обычные передаточные функции летательного аппарата справедливы лишь в некоторой ограниченной области частот (О1, Q).

Рассмотрим теперь передаточные функции летательного аппа­ рата, приведенные в табл. 12.4. Как только что было отмечено, они перестают быть справедливыми в области высоких частот вслед­ ствие упругости летательного аппарата. С другой стороны, ус­ ловия, для которых были получены эти выражения (допущения, что вариации скорости пренебрежимо малы и что влиянием силы тяжести на возмущенное движение можно пренебречь), не соот­ ветствуют медленным (содержащим очень низкие частоты) дви­ жениям аппарата. Следовательно, передаточные функции из табл. 12.4 справедливы только в некоторой полосе частот (Qi, Q). В примере, данном на рис. 12.30, эта полоса частот начинается с Qi « 0 ,2 1/с.

597

Учитывая влияние силы тяжести на возмущенное движение, как это делается в § 5 гл. XII, можно несколько расширить диа­ пазон применения передаточных функций летательного аппарата в сторону меньших частот. Полные передаточные функции лета­ тельного аппарата, учитывающие влияние силы тяжести и вариа­ ции скорости, имеют диапазон применения, начинающийся с ну­ левой частоты, если коэффициенты исходных уравнений движе­ ния (11.35) постоянные.

Однако при переменных коэффициентах этих уравнений вслед­ ствие использования приема замораживания появляются ошибки в области низких частот и полные передаточные функции доста­ точно точно описывают динамические свойства аппарата лишь в некоторой области частот (П2, П).

Таким образом, любая передаточная функция летательного аппарата правильно описывает его динамические свойства толь­ ко в некоторой ограниченной полосе частот. В этой полосе мо­ дуль передаточной функции равен экспериментальному отноше­ нию амплитуд, а аргумент передаточной функции равен экспери­ ментальному фазовому сдвигу (с интересующей нас точностью, например, до 5%).

§2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

СУЧЕТОМ ЕГО УПРУГОСТИ

Внекоторых случаях предположение о том, что летательный аппарат является абсолютно жестким телом, приводит к замет­ ным погрешностям и тогда при исследовании системы стабили­ зации приходится учитывать упругие свойства летательного аппарата. Такие случаи чаще всего имеют место при изучении по­ лета баллистических ракет [10 и др.] При конструировании бал­ листических ракет всегда стремятся уменьшить отношение веса конструкции к весу топлива. Это приводит к уменьшению жест­ кости конструкции ракеты и, как следствие, к заметным упру­ гим изгибам корпуса ракеты при ее полете. Упругие деформации корпуса влияют на аэродинамические силы и моменты, что вы­ зывается изменением местных углов атаки. Кроме того, они влия­ ют на работу системы стабилизации, так как гироскопические измерительные приборы и датчики ускорений реагируют на изгибные деформации. В тех случаях, когда корпус летательного

аппарата имеет большое удлинение, а частота свободных изгибных колебаний корпуса низка и соизмерима с резонансной час­ тотой системы стабилизации, можно ожидать, что влияние упру­ гих колебаний на процессы стабилизации будет значительным.

В этом параграфе рассмотрим вывод передаточной функции летательного аппарата с учетом его упругих свойств.

598

2.1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ

Летательный аппарат можно рассматривать как прямую уп­ ругую балку (стержень) переменной жесткости с незакрепленны­ ми концами. При составлении дифференциального уравнения по­ перечных колебаний корпуса аппарата, вообще говоря, следует учитывать силы внутреннего неупругого сопротивления и про­ дольные усилия, вызванные тягой двигателя и силой тяжести. Однако для упрощения задачи часто принимают, что внутреннее сопротивление отсутствует, и не учитывают продольные усилия. Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний пря­ мой балки записывается в виде [5]:

J ( х ) — момент инерции поперечного сечения балки относи­ тельно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к

Существенное влияние на упругие колебания летательного ап­ парата при его полете в плотных слоях атмосферы оказывают аэродинамические силы. Для упрощения задачи часто предпо­ лагают, что эти силы не зависят от деформаций аппарата, т. е. определяются только движением соответствующего абсолютно жесткого летательного аппарата. Составляющими силы тяжести, перпендикулярными оси летательного аппарата, обычно пренеб­ регают.

Для примера составим упрощенное выражение F (х, t), соот­ ветствующее указанным допущениям. При этом будем считать угол атаки аппарата малым, что позволит принимать нормаль­

Здесь через Ry(x) обозначена производная от погонной подъем­ ной силы Ry(x) по углу атаки.

599

При вращении летательного аппарата каждый элемент его по­ верхности приобретает дополнительные углы атаки аДх).

Так как дополнительная скорость ѵ, вызванная вращением аппарата, равна

{х ~ х т) ~

инаправлена перпендикулярно продольной оси аппарата, то при­ ращение местного угла атаки определяется формулой

а'(х)

X — хг db

V dt

Соответствующая составляющая погонной подъемной силы

Пусть Ry(x, б) — нормальная к оси аппарата сила, вызванная отклонением органов управления. Так как эта сила сосредоточе­ на в точке с координатой XdP, можно записать

где Л(х —Xdp)— дельта-функция, определяемая соотношениями:

Суммируя (14.2), (14.3) и (14.4), найдем, что погонная на­ грузка приближенно определяется выражением

F ( x , J ) = R l ( x ) [ a + ^ ^ ^ + y * b A ( x - x dp). (14.5)

2.2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ

Для определения деформации продольной оси аппарата необ­ ходимо решить линейное дифференциальное уравнение в частных производных (14.1), описывающее упругие колебания балки.

При решении уравнения (14.1) необходимо учитывать как на­ чальные условия, определяющие форму деформированной оси балки в начальный момент времени, так и граничные условия, учитывающие способ закрепления балки. Начальные условия при ^ 0 имеют вид

600

В нашем случае, когда рассматривается балка со свободны­ ми концами, граничные условия имеют следующий вид:

где L — длина балки, т. е. корпуса летательного аппарата.

Эти граничные условия учитывают, что в концевых сечениях балки со свободными концами перерезывающие силы и изгибаю­ щие моменты равны нулю.

Так как уравнение (14.1) является линейным, то его решение находят как сумму решения соответствующего однородного урав­ нения

удовлетворяющего начальным и граничным условиям (14.6) и (14.7), и частного решения исходного неоднородного уравнения (14.1), удовлетворяющего тем же граничным условиям и нуле­ вым начальным условиям.

Решение задачи можно несколько упростить, если, восполь­ зовавшись преобразованием Лапласа, преобразовать по перемен­ ной t левую и правую части уравнения (14.1). Тогда получим уже обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором иско­ мая функция у(х, р) зависит от одной независимой переменной X, а переменная р рассматривается как параметр *.

Члены р\і(х)%(х) +р.(х)ф(х) в последнем выражении учиты­ вают начальные условия (14.6) в соответствии с известной фор­ мулой

L \ у { п ) ) = р п у ( р ) — р п ~ х у { Щ — • • • — /п/<''-'2)(0) — 0<я-і)(О).

Для преобразования по Лапласу функции у(х, t) введено обозначение

СО

~У = У (X, р) — L {у (X, t)} = j у {X, t) e~pid t.

601