книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

точная или упрощенная. При этом в области низких частот рассматриваемые

цессы в системе, рассмотрим вещественные частотные характеристики замкну­ той системы стабилизации, построенные для точной и упрощенной передаточ­ ной функции летательного аппарата. На рис. 12.32 приведен примерный вид

Я (0 )-Р 0 (0)

2і.

поэтому

Расхождение переходных функций можно отнести к установившемуся значению. Тогда для оценки относительной погрешности получим формулу

Qitp 1z3 (0) — Po (0) 1

I Еотн ißp) I

я Я„(0)

582

ГЛАВА XIII

БОКОВОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 1. ХАРАКТЕР СВОБОДНОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Выясним характер свободного возмущенного движения. Для этого, положив в уравнениях (11.48) бн= б э= 0 и Z'&— MXB = MV&= = 0, рассмотрим полученную систему однородных линейных диф­ ференциальных уравнений.

При изучении свободного бокового движения систему (11.48) можно упростить, понизив порядок системы до четырех.

Сначала исключим неизвестную гТ с помощью соотношения

cos 0-'F = cos Ѳ-ф — ß-j-ay.

Следовательно, третье уравнение системы (11.48) можно перепи­ сать так:

где

cos Ѳ

cos &

При изучении свободного движения уравнение

584

можно отбросить, так как в остальные уравнения приращение ф не входит *. После решения основных уравнений легко найти приращение ф:

Таким образом, будем исследовать следующую систему урав­ нений:

+ с\і®*+ сп°Ѵ + сі2?= 0 ;

Пусть невозмущенное движение представляет собой прямо­ линейный установившийся полет. Тогда коэффициенты уравнений (13.3) будут постоянными.

Как и в случае продольного возмущенного движения, частные решения однородной системы (13.3) ищем в виде

Тде А, В, С, D — постоянные.

Подставляя эти частные решения в однородную систему (13.3) и производя сокращение на множитель еХг, получаем систему че­ тырех линейных однородных уравнений относительно неизвест­ ных А, В, С и D. Эта система имеет ненулевое решение, если

* Это уравнение используется при исследовании системы стабилизации угла рыскания ф.

Коэффициенты ри Р2, Рз, Рі этого уравнения зависят от коэффи­

Ѳ*, Ф», а*).

Корни характеристического уравнения определяют характер свободного возмущенного движения летательного аппарата. Если корень К будет вещественным, то соответствующее ему частное решение будет определять апериодическое движение, затухаю­ щее или возрастающее в зависимости от знака К. В случае комп­ лексного корня Хі = х + іѵ характеристическое уравнение будет иметь и сопряженный ему корень Кг== >с—іѵ. Паре комплексных сопряженных корней соответствует колебательное движение с пе­ риодом Г= 2я/ѵ и коэффициентом затухания х. В зависимости от знака х амплитуды колебаний с течением времени возрастают или убывают.

При исследовании бокового возмущенного движения лета­ тельного аппарата наиболее часто встречается случай, когда ха­ рактеристическое уравнение (13.6) имеет одну пару комплексных сопряженных корней х±іѵ и два вещественных корня. При этом общее решение уравнений (13.3) имеет вид

трех частных движений: двух апериодических и одного колеба­ тельного. Все три частных движения существуют одновременно и, накладываясь друг на друга, дают боковое возмущенное дви­ жение.

Обычно из двух вещественных корней один по абсолютной

586

Коэффициент pi получился отрицательным. Следовательно, рас­ сматриваемый самолет неустойчив в боковом движении. Значе­ ния корней характеристического уравнения такие:

\ = — 1,695; Х2 = 0,001105; Я3і4 = -0 ,1 0 7 ± 1,525/.

Как видно, свободное боковое движение самолета характеризует­ ся двумя вещественными корнями (Яі — большой корень харак­ теристического уравнения, Яг — малый корень) и парой комплекс­ ных корней Я3 и Я4.

Решение уравнений возмущенного движения для начальных

условий (при / —0) cö;c = ft)2/ = ß = Y = 0 и бн=5,73° имеет следую­ щий вид:

со^ = — 0,0085с-1•695< -f 0,0881 е°-001105< -f

Ц-0,1026е-°'1075< cos (87,5/ + 140,8°);

ші/= 3,502-0,00015е-1’695і-3 ,5 1 0 е0'00110«4-

+ 0,0364e-°-107« cos (87,5/ ■+ 92,5°);

ß = —0,3261+ 0,2923е0’00110^ + 0,0353е-°-1075<cos (8 7 ,5 /- 3,1°);

y = — 79,95 + 0,0050e-1'695< + 79,85e°-0011051 +

+ 0,0668e-°’10751 cos (87,5/+ 47,5°).

На рис. 13.1 приведены графики результатов расчета. Расче­ ты показывают, что свободное боковое движение летательного аппарата самолетной схемы (с плоскими крыльями и обычной

Рис. 13.1. Пример бокового возмущенного движения Само­ лета

20*

587

схемой расположения оперения) складывается из трех частных движений. Каждое из этих частных движений затухает в различ­ ное время. В связи с этим свободное боковое движение летатель­ ного аппарата можно разбить во времени на три этапа.

Частное движение, соответствующее большому вещественно­ му корню, называют движением крена. Это движение апериоди­ ческое, оно продолжается обычно не больше секунды (в рассмат­ риваемом примере время его затухания вдвое составляет 0,41 с). Обычно в выражениях (13.7) произвольные постоянные В і и Сі во много раз меньше, чем другие постоянные. Это говорит о том, что рассматриваемое апериодическое движение в основном за­ ключается в изменении угла крена и угловой скорости со*.

Можно показать, что большой корень к\ определяется в ос­ новном величиной динамического коэффициента сц. Следова­ тельно, быстрое затухание движения крена объясняется сравни­ тельно большим демпфированием крена, присущим крылатым летательным аппаратам при летных углах атаки.

На первом этапе свободного бокового возмущенного движе­ ния наблюдаются все три частных движения. На втором и треть­ ем этапах остаются апериодическое, соответствующее малому корню, и колебательное.

Движение, отвечающее малому вещественному корню к2, на­ зывают спиральным. Это название объясняется тем, что при по­ ложительном значении корня кг самолет с закрепленными руля­ ми движется по спирали с медленным нарастанием всех боковых параметров Т , ф, ß, у, сож, ыу. Такого рода неустойчивость, обус­ ловленную положительным значением малого вещественного корня кг, называют спиральной неустойчивостью.

Движение, соответствующее паре комплексных корней, назы­ вают колебательным. При этом движении самолет кренится и рыскает то в одну, то в другую сторону. В случае колебательной неустойчивости, обусловленной положительным значением веще­ ственной части пары комплексных корней, амплитуда этого дви­ жения со временем возрастает.

Характер свободного бокового движения на втором и третьем этапах определяется соотношением между коэффициентами Ь\г

и Си-

Если коэффициент Ьи достаточно велик по сравнению с си, колебательное движение быстро затухает (по истечении несколь­ ких секунд) и на третьем этапе остается только спиральное дви­ жение с параметрами со*, (оѵ, ß, у либо медленно затухающими, либо медленно возрастающими (в случае спиральной неустойчи­ вости) .

Если же коэффициент ЬІ2 имеет сравнительно малые значе­ ния или отрицательные, то на втором этапе затухает спиральное движение, а колебательное движение продолжается на третьем этапе.

588

§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ БОКОВОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО

ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Система уравнений бокового возмущенного движения лета­ тельного аппарата может быть записана в более или менее слож­ ной форме в зависимости от характера конкретной рассматрива­ емой задачи.

Для упрощения кинематических и геометрических соотноше­ ний в уравнениях возмущенного движения летательного аппара­ та удобно использовать наклонную земную систему осей коорди­ нат OxByaza, которая получается из обычной земной системы по­ воротом последней относительно оси Oz3 на некоторый угол Ѳн. Если при этом направление земной оси Охн будет близко к на­ правлению полета, то можно считать малыми не только углы Ч'1 и ф,но и углы Ѳ и -O'*.

Введение наклонной системы координат возможно потому, что движение ряда летательных аппаратов, например, движение ра­ кет классов «воздух — воздух» и «земля — воздух» на участке сближения, часто происходит с мало изменяющимся углом на­ клона траектории Ѳ.

Если измерять углы ф, #, у, Ч*, Ѳ, ус в наклонной системе ко­ ординат, когда траектория полета близка к оси Охп этой систе­ мы, то существенно упрощаются кинематические и геометриче­ ские соотношения в системе уравнений бокового движения за счет замены косинусов углов § и Ѳ единицами, синусов этих же углов — самими углами и отбрасывания членов с произведения­ ми малых величин, например ау и tg^-coy.

Тогда последние три уравнения системы (11.48) примут прос­ той вид:

на у и ф и отбросив в третьем уравнении произведение sin 0 -ß, получим

* Для наклонных земных осей мы сохраняем те же обозначения углов, что и для обычных земных осей.

589

c№

Дальнейшие упрощения обусловливаются конкретными усло­ виями рассматриваемой задачи — аэродинамической компонов­ кой аппарата и типом системы управления. Уравнения (13.9) ис­ пользуются обычно при исследовании стабилизации летательных аппаратов самолетной схемы. У таких аппаратов наблюдается сильное взаимное влияние движений рыскания (вращения отно­ сительно оси Оу\) и крена (вращения относительно Охі). Эти

движения взаимно связаны благодаря влиянию членов Сц'ір,

Ci2ß, сіз'бв, öioY, ^4бУ и, строго говоря, одно движение нельзя от­ делить от другого.

2.1. ДВИЖЕНИЕ РЫСКАНИЯ

Для аэродинамически осесимметричных летательных аппара­ тов эти уравнения можно записать более просто, чем для аппа­ ратов обычной самолетной схемы, имеющих только одну плос­ кость симметрии. У аппаратов самолетной схемы наблюдается сильное взаимодействие движений рыскания и крена, в то время как у осесимметричных аппаратов влияние движения крена на движение рыскания невелико и его часто можно не учитывать.

Угловая скорость крена приводит к появлению момента рыс­ кания М “*(ох, которым в уравнениях бокового возмущенного

движения осесимметричных аппаратов можно пренебречь *. Кро­ ме того, влияние крена на рыскание проявляется в том, что при накренении летательного аппарата возникает боковая сила, вы­ зывающая скольжение (рис. 13.2). Если система стабилизации достаточно быстро ликвидирует крен, то влияние указанной бо­

ковой силы на движение рыскания мало и в первом из уравнений р а |_ у

(11.33) можно опустить член -— усЕсли принять указанные

допущения, то из системы уравнений бокового движения можно

* Влияние отклонения элеронов на момент рыскания в большинстве слу­

чаев мало даже для аппаратов самолетной схемы, т. е. Л1^Э8Э« 0 .

590

выделить независимую группу уравнений, описывающую движе­ ние рыскания,

аГ/2 dt dt dt

+ bi s ^ . ;

(13.10)

dl”

b4$ —b43^H4 ” bv/-v'

d t

ф „ 1 г _ р = о

Часто опускают члены b[$ и бі38н, учитывающие запаздыва­ ние скоса потока (см. разд. 3.2 гл. XII). В результате получают более простую систему уравнений:

і - ьп ~ ~ -\-ьі $ ~ ~ ьпК-\-ьхъМув',

ний, но и числовые значения коэффициентов, так как для дина­ мически осесимметричных летательных аппаратов оц = 6ц; аі2=

— Ь і 2', ci\2 — b i 2 \ йіз = ^із; a l 3' = b i 3' ; 015 = 615; 042= 642; 043= 643;

0 4 5 = 6 4 5 .

591