книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

и

являются общими решениями однородного уравнения и соответ­ ствуют свободному движению летательного аппарата.

Выражение

является частным решением уравнения (12.151) и соответствует вынужденным колебаниям летательного аппарата.

В начале процесса вынужденных колебаний при нулевых на­ чальных условиях, т. е. при t —0, слагаемые хс и хв равны по аб-

солютной величине, но противоположны по знаку х = хс + хв= 0. Далее свободное движение сравнительно быстро затухает, и по истечении определенного промежутка времени возмущенное дви­ жение летательного аппарата определяется вынужденным дви­ жением (рис. 12.14).

Общий анализ влияния конструктивных и аэродинамических параметров на свободное движение летательного аппарата весь­ ма сложен. Произвольные постоянные Си С2, С и фь входящие в аналитические выражения для свободного движения, являются сложными функциями величин Яі, Я2, I, Т и wB. Поэтому обычно, как это принято в теории автоматического управления, ограничи­

562

ваются анализом вынужденного движения летательного аппа­ рата.

Вынужденное движение летательного аппарата при отклоне­ нии органов управления по гармоническому закону характеризу­ ется частотными характеристиками летательного аппарата.

Амплитудно-частотная характеристика D(coB) дает отношение амплитуды вынужденных колебаний Döо к амплитуде колебаний органов управления 6о в зависимости от . частоты последних сов.

Рис. 12.16. Фазо-частотные характеристики колебательного звена

Примером амплитудно-частотной характеристики может служить выражение (12.153) и графики на рис. 12.15, построенные с по­ мощью этого выражения. Эти графики ничем не отличаются от известных в теории колебаний диаграмм, применяемых при ана­ лизе вынужденных колебаний.

Фазо-частотная характеристика ф(сов) представляет собой сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе коле­ баний органов управления в зависимости от частоты последних о)в [см., например, выражение (12.154)].

По формуле (12.154) на рис. 12.16 построены зависимости сдвига фаз ф от отношения частот сов/сос при различных значени­ ях относительного коэффициента демпфирования £. Рис. 12.16 представляет собой диаграмму, известную в теории регулирова­ ния.

Теперь рассмотрим кратко методику построения частотных характеристик. Из теории регулирования (см., например, [21], [24]) известно, что отношение амплитуды вынужденных гармони­ ческих колебаний на выходе разомкнутой системы к амплитуде

563

гармонических колебаний на. ее входе равно модулю передаточ­ ной функции W (р) этой системы при р = ісо: *

Аргумент этой передаточной функции при р = /'со равен сдвигу фазы вынужденных колебаний на выходе по отношению к гармо­ ническим колебаниям на входе:

Зная передаточные функции летательного аппарата, с помо­ щью соотношений (12.159) и (12.160), легко найти его частотные характеристики.

Представим передаточную функцию летательного аппарата в виде

При построении частотных характеристик летательного аппа­ рата удобно его передаточный коэффициент считать положитель­ ным, а знак «'минус», если К<0, учитывать при составлении структурной схемы системы управления.

При /О О ’угол ф(со) находится в первой четверти, если Ѵ>0 и U > 0; во второй, когда Ѵ>0, t / < 0; в третьей — при 1/<0, Н < 0; в четвертой, если F< 0, U > 0.

Частотные характеристики можно строить в декартовых или полярных координатах. Построение частотных характеристик сис­ темы управления по характеристикам ее элементов значительно упрощается, если воспользоваться логарифмическим масштабом.

При построении логарифмических частотных характеристик обычно пользуются терминологией, заимствованной из акустики.

* В дальнейшем будем опускать индекс «в» при со, обозначающий вынуж­ денные колебания.

564

Если две частоты отличаются друг от друга в 10™ раз, т. е.

то D2 отличается от D\ на п децибел (дБ). Пусть £>і = 1, тогда

20 lg 1Э2= п ц Б.

Зависимость 201gJ5 от lg® называется логарифмической амп­ литудно-частотной характеристикой (л.а.х.) функции W(iu)), а зависимость ф от и — логарифмической фазо-частотной характе­ ристикой этой функции.

Так как ниже будем рассматривать частотные характеристи­ ки летательного аппарата для различных выходных и входных

Х вх (Р )

Величина А дБ, как следует из изложенного выше, является безразмерной, тогда как D имеет вполне определенную размер­ ность. Например, величина передаточного коэффициента лета­ тельного аппарата К= 100 1/с в децибелах равна

Л дБ = 2 0 l g = 4 0 дБ.

При построении графиков логарифмических амплитудной и фазовой характеристик по оси абсцисс откладывается логарифм частоты, однако разметка оси производится обычно не по значе­ ниям lg®, а по соответствующим им значениям самой частоты ®. В результате шкала получается неравномерной в отношении ® (рис. 12.17).

Отрезок логарифмической шкалы, соответствующий увеличе­ нию частоты ® в 10 раз, изображает декаду, а отрезок, соответст­ вующий увеличению в 2 раза — октаву.

При построении логарифмической амплитудной характеристи­ ки по оси ординат откладывается в линейном масштабе значение А дБ, а при построении логарифмической фазовой характеристи­

565

ки — значение ф в градусах. Так как логарифмическая шкала на оси абсцисс не имеет точки, соответствующей со = 0, то ось орди­ нат на графиках логарифмических характеристик может пересе­ кать ось абсцисс в любой точке.

Рис. 12.17. Шкалы на осях координат логарифмических частотных характе­ ристик

Частотные характеристики летательного аппарата с закрепленными крыльями

Реакция угла атаки, перегрузки и угловой скорости касательной к траектории

Как видно из выражений (12.101) — (12.102), динамические свойства летательного аппарата по отношению к выходным вели­

чинам Ѳ, пу и а описываются передаточной функцией колебатель­ ного звена. Частотные характеристики колебательного звена были приведены на рис. 12.15 и 12.16.

Как видно кз графиков на рис. 12.15, при слабом демпфирова­ нии и при частотах отклонения органов управления со, близких к собственной частоте колебаний сос, наступает явление резонанса.

В случае резонанса амплитуда колебаний параметров движе­ ния летательного аппарата оказывается выше той амплитуды, которая имела бы место в «установившемся» режиме по оконча­ нии переходного процесса: D >K 6Q.

Максимальное значение амплитуды колебаний получается

566

При со/сое= 1 частота отклонений органов управления совпадает с собственной частотой, т. е. частотой свободных колебаний при

наличии демпфирования. Следовательно, максимум амплитуды соответствует частоте несколько меньшей, чем частота свободных колебаний при наличии демпфирования.

Поскольку явление резонанса наиболее сильно проявляется при малых значениях, обычно за резонансную частоту прини­ мают собственную частоту сос:

ле передаточного коэффициента К- Если отклонять рули с частотой <вс или частотой, близкой к

ней, то при слабом демпфировании можно раскачать летатель­ ный аппарат до весьма больших перегрузок и углов атаки. Во избежание резонанса система управления должна работать так, чтобы органы управления никогда не отклонялись с частотой, близкой к собственной частоте летательного аппарата.

Рассмотрим фазовук) частотную характеристику летательного

аппарата. (Очевидно, что колебания Ѳ, а и пу находятся в одной фазе).

При К > 0 фаза вынужденных колебаний Ѳ, пу и а отстает от фазы гармонических колебаний органов управления на угол

имеем <р = 0; при (о = а)с, т. е. при резонансе, сдзиг фаз ф= —90°; при со/сос = °° ф= —180°.

Как видно из рис. 12.16, колебания Ѳ, пу и а всегда, отстают по фазе от колебаний органов управления, за исключением слу­ чая, когда £= 0. При отсутствии демпфирования (| = 0) в диапа­ зоне частот 05 от нулевой до собственной со0 сдвиг фаз отсутству­ ет, а при частотах, превышающих собственную (CÖ> O)c), равен

-180°.

Вобоих случаях (как при ф= 0, так и при ф= —180°) абсолют­

ные величины параметров Ѳ, пу и а пропорциональны углу откло­ нения органов управления, т. е. летательный аппарат без всякого запаздывания следует за отклонением органов управления. Та­ ким образом, идеальное слежение летательного аппарата за ор-

567

ганами управления могло бы быть достигнуто только при отсут­ ствии демпфирования ( | = 0).

На рис. 12.18 приведены примеры логарифмических частот­ ных характеристик летательного аппарата. Аналитическое выра­ жение логарифмической амплитудно-частотной характеристики имеет вид

A ^ j = 2 0 1 g I К I — 20 lg ]^( 1— Г2ш2)2-j-4£2Г2і»2, (12.171

Рис. 12.18. Логарифмические частотные характери­

стики передаточных функций Ѳ(р)/6(р) и а(р)/6(р) (|/С| =1,4; Г =>0,1; £=>0,15; ^ = 0,42)

где X означает или Ѳ, или пу, или а, а К — соответствующий пе­ редаточный коэффициент. Отсюда следует, что наклон асимпто­ тической л. а. X . равен нулю до резонансной частоты 1 /Г, а затем становится равным —40 дБ/дек. Положив <м=1/Г, найдем, что

Найдем логарифм отношения амплитуд Ѳ и а:

568

Реакция угла наклона траектории и угла тангажа

Передаточную функцию (12.101) можно представить в виде произведения двух множителей:

Логарифмические частотные характеристики множителя 1 /р оп­ ределяются выражениями

и показайы на рис. 12.19.

Складывая соответственно логарифмические характеристики (12.172) и (12.171), (12.173) и (12.170), получим (рис. 12.20)

Очевидно, что передаточную функцию (12.100) можно рас­ сматривать, как произведение 'передаточных функций трех эле­

569

ментарных звеньев: колебательного, интегрирующего и диффе­ ренцирующего. Частотные характеристики первых двух звеньев

приведенные на рис. 12.21. Асимптоты на рис. 12.21 имеют накло­ ны 0 и 20 дБ/дек с сопрягающей частотой 1/7V

Рис. 12.21. Логарифмические частот­ ные характеристики множителя

Г ,р + 1 (Гі = 0,42)

Складывая соответственно (12.171) и (12.176), (12.170) и (12.177), получим

Д ( - j j = 201g|/f | / 1 + T W — 20 lg ]/" (1 - Г 2ш2)2 + 4^Яш2;

(12.178)

На рис. 12.22 даны соответствующие частотные характеристи­ ки, полученные как комбинация графиков рис. 12.18 и 12.21.

Используя (12.172) и (12.178), (12.173) и (12.179), получим (рис. 12.23)

Очевидно, что логарифмические амплитудно-частотные ха­ рактеристики, изображенные на рис. 12.18—12.23, определяются четырьмя параметрами: Т, Ти |/С| и

57П

Частота 1 /Т определяет положение точки излома асимптотиче­

жение точки излома асимптотической л. а. х. множителя Т\р+ \. Расстояние между этими двумя точками зависит от отношения частот, соответствующих точкам излома, т. е. от величины Т/Т\.

Частота © = /С определяет точку пересечения л. а. х. множите­ ля К/p с осью абсцисс.

Зная Т, Ті и К, можно без всякого расчета строить асимпто­ тические л. а. X . летательного аппарата. Действительные л. а. х. можно получить добавлением поправок к асимптотической л. а.х.

571