Используя передаточную функцию (12.111), запишем соответ ствующее ей дифференциальное уравнение
Т * х - \ - Ъ Т х - \ - х = КЪ. |
(12.112) |
Это уравнение неоднородное. Общее решение его состоит из об щего решения однородного уравнения
|
Тгх + (2ХГх-\-х = Ъ |
(12.113) |
и частного решения неоднородного уравнения |
(12.112). |
Так как |
возмущающая |
функция 6 = const, частное решение |
уравнения |
(12.112) будет |
|
|
|
|
JC= /C8. |
(12.114) |
Это решение соответствует |
установившемуся |
значению х = хуй^, |
которое наступает по прекращении переходного процесса, т, е. когда і = 0 и х = 0.
Вид общего решения однородного уравнения (12.113) и харак тер переходного процесса определяются корнями характеристи ческого уравнения
|
П а4 -2 5 П + 1 = 0 , |
(12.115) |
равными |
|
|
|
, |
- е ± К г2 - 1 |
(12.116) |
|
Л1,2 —'-------------------- |
|
|
т |
|
|
Пусть корни Хі и А-2 различны, т. е. |
Тогда общее реше |
ние однородного уравнения будет суммой |
двух составляющих |
С |
и Сгв*2', а общее |
решение уравнения |
(12.112) запишется |
в виде |
|
|
|
- ^ = С 1еМ + с аех>'+ АГ, |
(12.117) |
где Сі и Сг — произвольные постоянные, определяемые из на чальных условий (в нашем случае начальные ус ловия нулевые, т. е. при ^ = 0 х = 0 и і = 0).
Для определения постоянных С\ и Сг имеем систему .из двух алгебраических уравнений. Первое получаем из (12.117) под становкой х = 0 при ^ = 0:
0 = С і-(-С24-АГ. |
(12.118) |
Второе уравнение получим, продифференцировав (12.117) и по ложив х — 0 при /= 0:
0 = С 1Х 4-С2Х2. |
* |
(12.119) |
Из (12.118) и (12.119) найдем
СХ= К — ^ — ; C2= K - ~ h . |
(12.120) |
При анализе переходного процесса необходимо различать три случая: £<1, |= 1 и £>1 (см. табл. 12.3).
Колебательный переходный процесс
Колебательный переходный процесс является обычным для летательных аппаратов. Он имеет место, когда |< 1 , т. е. когда'
( « и + а п |
|
+ а 42)2 |
( 12. 121) |
^ ' п У > |
^ |
’ ^ 11^ 42' |
Как видно, колебательный переходный процесс наблюдается, когда статическая устойчивость летательного аппарата доста точно велика по сравнению с демпфированием.
Подставив выражение
в (12.117) и (12.120) и заменив с помощью формул Эйлера комп лексные величины вещественными, получимпереходную функцию
= 1 — е ^^cosurf-l— У- sin arfj |
(12.122) |
или
- |
|
(|2Л23) |
где |
|
|
1g?i = — = |
- |
(12.124) |
V i — & |
|
|
Вещественная часть пары сопряженных корней характеристи ческого уравнения при £<1 у любого летательного аппарата яв ляется отрицательной:
а \ \ + а 12 + а 42
т2
так как всегда йц, ап и ап положительны. Поэтому рассматри ваемый колебательный переходный процесс летательного аппара та оказывается всегда затухающим.
Коэффициент
аи + ÖJ2 + Й42
12.125)
называют коэффициентом демпфирования (или затухания) *. Чем больше этот коэффициент, тем быстрее затухают свободные колебания летательного аппарата.
Коэффициент демпфирования выражается формулой
£1 М' я + К
которую можно переписать в виде
|
|
■57,3с;- |
|
pVS |
|
|
42.127) |
|
Т |
'Л |
4m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и |
прочие |
динамические коэффициенты, |
коэффициент |
|
|
|
|
демпфирования |
|
зави |
|
|
|
|
сит от высоты и скоро |
|
|
|
|
сти полета. На рис. 12.9 |
|
|
|
|
приведен |
пример |
изме |
|
|
|
|
нения |
коэффициента |
|
|
|
|
демпфирования |
снаря |
|
|
|
|
да «Эрликон». |
|
сте |
|
|
|
|
Заметим, |
что |
|
|
|
|
пень статической устой |
|
|
|
|
чивости |
не |
влияет на |
|
|
|
|
затухание |
свободных |
|
|
|
|
колебаний летательно |
|
|
|
|
го аппарата. |
|
|
|
|
|
|
|
Углов'ая |
|
частота |
Рис. 12.9. |
Изменение |
собственной |
частоты |
свободных |
колебаний |
и коэффициента демпфирования |
снаряда |
(при наличии |
демпфи |
«Эрликон» в течение полета |
|
рования) |
будет |
|
|
Ѵ і - р |
^ 1 2 + яп«42— |
(яи + |
аіа + а:«)2 рад/с. |
(12.128) |
|
На частоту свободных колебаний летательного аппарата вли яет главным образом коэффициент статической устойчивости а12. С увеличением этого коэффициента частота колебаний возрас тает.
* Относительный коэффициент демпфирования | представляет собой коэффициент демпфирования |/Г, отнесенный к частоте колебаний 1 /Т.
При отсутствии демпфирования (ап + а'и + а 42 = 0) |
угловая |
частота колебаний в переходном процессе равнялась бы |
|
wc = V |
(12. 129) |
Частоту сое свободных колебаний при отсутствии демпфирования будем называть собственной угловой частотой колебаний.
Частота собственных колебаний в Гц определится формулой
Период собственных колебаний будет соответственно равен
Тсоб = - ^ — = 2яТ. |
(12.131) |
“ с |
|
Собственная частота является важной динамической харак теристикой летательного аппарата. Влияние конструктивных па раметров аппарата, а также параметров движения на собствен ную частоту легко проследить с помощью формулы (12.93). Оче видно, что собственная частота
|
Ѵ а 12 _ |
1 |
л [ |
- 5 7 ,3 mazqSbA |
(12.132) |
|
'2л |
_ |
2л У |
І г |
|
|
Как и постоянная времени Г, собственная частота летательного аппарата зависит главным образом от момента инерции, степени статической устойчивости и скоростного напора.
С изменением скорости и высоты полета, а также центровки
летательного аппарата собственная частота может изменяться |
в несколько раз. Так, например, у снаряда |
«Эрликон» собствен |
ная частота 1 /Г меняется более чем в 7 раз |
(см. рис. 12.9). |
Апериодический переходный процесс |
Когда относительный коэффициент |
демпфирования |= 1 , |
корни характеристического уравнения являются равными и отри цательными Хі = %2 ——1 IT. Общее решение однородного уравне ния (12.113) при этом имеет вид
|
|
= |
С2ех^ + |
|
(12.133) |
|
Определив произвольные постоянные из начальных условий, |
|
общее решение уравнения |
(12.112) |
получим в следующем виде: |
|
X |
1 - |
Ле |
(12.134) |
|
К8 |
|
|
|
|
|
В рассматриваемом случае переходный процесс служит границей колебательных переходных процессов. Свободное движение с те чением времени затухает.
Когда относительный коэффициент демпфирования £>1, оба корня характеристического уравнения являются вещественными.
Решение уравнения (12.112) в этом случае принимает вид
л: _j Х2еХі< — Х1еХа<
(12.135)
Свободное движение летательного аппарата состоит из двух апериодически затухающих движений, накладывающихся одно на другое. В этом случае изменение коэффициента статической устойчивости уже влияет на затухание собственного движения. При уменьшении статической устойчивости затухание одной из составляющих собственного движения увеличивается, а другой уменьшается.
Время переходного процесса
Нетрудно заметить, что в решенцях (12.123), (12.134) и (12.135) уравнения (12.112) собственная частота сос= 1/Г стоит множителем при независимой переменной t.
Рис. |
12.10. |
Характер переходного процесса Ѳ(/), |
nv (t) |
и a(t) |
в зависимости от относительного коэф |
|
|
фициента демпфирования |
Поэтому можно изменить масштаб, времени и ввести безраз мерное время i = t/T. Тогда уравнение (12.112) запишется в виде
Из этого уравнения следует, что характер переходного процесса определяется только относительным коэффициентом демпфиро вания I, а собственная частота юс определяет масштаб процесса по оси времени. На рис. 12.10 даны графики переходных процес сов для различных значений |, построенные по этому уравнению.
Рассматривая кривые |
обнаруживаем, что наи |
более короткий (в безразмерном |
времени) переходный процесс |
получается при |~ 0 ,8 (точнее при | = 0,75). В |
этом случае дли |
тельность переходного процесса равна г^ ^ З Г |
= ----- . |
^ (1>с При данном значении £, время переходного процесса обратно
пропорционально собственной частоте колебаний со0, или други ми словами, прямо пропорционально постоянной времени Т.
Максимальные отклонения и величина перерегулирования
Воспользуемся полученными выше выводами для определе ния максимальных значений параметров Ѳ, а, пу после ступенча
того отклонения органов уп |
|
|
|
равления (рис. 12.11). Как |
|
|
|
было показано выше, харак |
|
|
|
тер переходного |
процесса |
|
|
|
определяется только |
относи |
|
|
|
тельным |
коэффициентом |
|
|
|
демпфирования £. При | ^ 1 |
|
|
|
максимальное |
отклонение |
|
|
|
параметра |
движения х рав |
|
|
|
но установившемуся его зна |
|
|
|
чению: |
|
|
Рис. 12.11. Максимальное отклонение в |
■^mах==■Х'уст =г |
|
(12.137) |
переходном |
процессе |
|
|
|
|
|
Рассмотрим поэтому случай, когда |< 1 . Используя |
(12.122), |
запишем |
|
|
COS ud |
|
|
|
|
х-= Xуст |
S in |
w t |
(12* 138) |
Максимальное значение х в переходном процессе будет достигнутав момент времени, определяемый условием х = 0:
т. е. через половину периода после начала переходного процес са, и будет) равно
о 2-140)
Увеличение параметра движения (перегрузки, угла атаки и др.) по сравнению с его установившимся значением обычно на зывают забросом
хэа6 = хтах~ Луст- |
(12.141) |
Относительный заброс* равен отношению заброса к установив шемуся значению параметра:
-* *т а х |
- ^ у с т |
(12.142) |
о |
|
•^уСТ
Максимальное значение определится через о и хуст выражением
(12.143)
Очевидно, что при ступенчатом отклонении руля |
|
£ |
it |
|
а е Т |
со = е Ѵ\ — £2 |
(12.144) |
Как видно, относительный заброс о при ступенчатом отклоне нии органов управления зависит только от относительного коэф фициента демпфирования |. У беспилотных летательных аппара тов обычно I мало и относительный заброс о может оказаться весьма большим, особенно при полете на больших высотах, если не предусмотрена система автоматической стабилизации.
Вообще говоря, величина относительного заброса с зависит от динамических свойств системы стабилизации, включающей в себя аппаратуру управления и летательный аппарат.
При проектировании летательного аппарата и системы стаби лизации желательно как можно больше уменьшать величину заброса перегрузки, чтобы снизить величину перегрузки, на ко торую производится расчет летательного аппарата на прочность.
Изменение угла наклона траектории летательного аппарата с закрепленными крыльями
При ступенчатом отклонении руля высоты изменение угла на клона траектории при £<1 описывается соотношением, которое
* «Перерегулирование», по терминологии теории автоматического регу' лирования.
легко можно получить, интегрируя выражение (12.123)
|
ѳ |
Т |
|
■р |
|
|
|
|
■ 2 6- |
sin I Ѵ |
і - р t - |
ар, , (12.145) |
|
къ |
т |
|
|
V 1- |
е2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2срх= |
2£у 1— е2 |
(12.146) |
|
|
|
|
|
1— 2£2 |
|
|
Соответствующий переходный |
процесс |
изображен на |
рис. 12.12. Сравним амплитуды колебаний углов а и Ѳ. Колеба
ния угла атаки описываются |
Ѳ/К8 ,с |
|
|
|
|
формулой |
(12.123), |
в |
кото |
|
|
|
|
рую следует подставить пе |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редаточный |
коэффициент по |
W |
|
|
|
|
углу |
атаки,. . |
равный |
КТ\. |
|
|
|
|
Сравнивая |
|
(12.123) |
и |
0,75 |
|
|
|
|
(12.145), замечаем, |
что амп |
|
|
|
|
литуда |
колебаний |
угла на |
|
|
|
|
|
клона траектории в T\jT раз |
0,5 |
|
|
|
|
меньше амплитуды |
колеба |
|
|
|
|
|
ний угла атаки. У многих |
о,25 |
|
|
|
|
аппаратов с жестко |
закреп- |
|
|
|
|
|
ленными |
крыльями |
вели- |
|
0,25 0,5 |
0,75 |
1,0 |
t,C |
чина |
|
|
|
|
|
|
|
|
V 0^2 + 011042 |
|
Рис. 12.12. Изменение угла Ѳ в пере |
|
|
|
ходном |
процессе |
летательного |
аппа |
|
|
: |
«42 |
|
|
рата |
с закрепленными |
крыльями |
настолько велика, что колебания продольной оси по существу сводятся к колебаниям угла атаки.
Изменение угла тангажа
Изменение во времени угловой скорости продольной оси ле тательного аппарата при ступенчатом отклонении органов управ ления тангажом определяется соотношением
= 1 — е- Р |
У |
1 - 2 6 - р - + |
X |
|
1 — б2 |
|
|
|
Xcos Ѵі — г2 |
|
(12.147) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
tg(?i + ?2) |
V 1 - |
£2 |
(12.148) |
|
|
|
|
|
|
Интегрируя (12.147), получим |
|
|
|
Къ |
|
— |
+ |
Т* X |
|
|
Г , |
7 |
7 |
|
|
|
1- 2* |
/ 7 , \2 |
|
У 1— г2 ,, |
|
|
X |
т - + [ - г |
sin 1 -- - - - -г'+ Тг |
(12.149) |
|
і - г 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
*g?2= |
У 1- г2 |
2е |
(12.150) |
|
1-282 + г |
|
|
|
|
Графическое изображение переходных процессов, описываемых соотношениями (12.147) и (12.149), дано на рис. 12.13.
Рис. 1:2.13. Изменение ft
и ■6' в переходном про цессе
4.4.ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Общие сведения
Частотные характеристики летательного аппарата дают пред ставление о способности аппарата следить за отклонением орга-
нов управления. Они служат также исходными материалами для проектирования и исследования системы управления.
Остановимся кратко на физическом смысле частотных харак теристик летательного аппарата. Предположим, что органы уп равления отклоняются по гармоническому закону:
8(£) = 80 sin о)в/,
где бо — амплитуда колебаний органов управления; (ов — угловая частота вынужденных колебаний в град/с.
Возмущенное движение аппарата будет складываться из сво бодного движения, которое может быть как апериодическим, так и колебательным, и вынужденных колебаний, имеющих ту же частоту (Ов, что и колебания органов управления.
Так, например, изменение кинематических параметров Ѳ, пу и а в случае гармонического отклонения органов управления опи сывается уравнением
Г 2— |
\ 2\ Т - ^ - + |
х = К Sosin |
%t, |
(12.151) |
d p 1 |
dt 1 |
u |
B |
|
общее решение которого может быть представлено в виде |
•X= C1ex'<+ C2eX2<-{-.ü80sin («/-(-ер). |
(12.152) |
Величины D и ф определяются известными формулами: |
Р К ) = |
Л_ |
* ..... . |
; |
(12.153) |
|
|
|/(1— о>2Г2)2+ 4520)272 |
|
|
<Р((0в ) = — arctg - 2--"Ѵ— |
• |
(12.154) |
|
|
|
1-<Т2 |
|
|
Как видно из |
(12.154), колебания параметров |
Ѳ, пу и а за |
паздывают по фазе относительно колебаний органов управления.
Например, максимальные по абсолютной |
величине значения Ѳ, |
% и а получаются позже максимальных значений б. |
Если £<1, то корни Яі и Х2 являются |
комплексными сопря |
женными и общее решение уравнения (12.151) может быть пред ставлено в виде
_ 1-1 ____
х = С — 6 - -— cos ( У^— J L t —<pj ) -(-D80 sin К!?+'Р)> (12.155)
Vl - £2 \ T >
• где С и фі — произвольные постоянные, определяемые начальны ми условиями.
В общих решениях (12.152) и (12.155) выражения |
|
л:с= С 1ех«<+ С 2ех*< |
(12.156) |
