книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

м о ж н о п р и м е н я т ь м е т о д « з а м о р а ж и в а н и я » к о э ф ф и ц и е н т о д о п у с к а я п р и э т о м з а м е т н о й п о г р е ш н о с т и .

Н а п р о т и в , м е д л е н н о е д в и ж е н и е у ж е с у щ е с т в е н н о з а в и с и х а р а к т е р а и з м е н е н и я к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в нений, т а к к а к в з а т у х а н и я с о с т а в л я ю щ е й д в и ж е н и я в е л й к о и и з м е р я е т с я д

п о л ь з о в а н и и М е т о д а « з а м о р а ж и в а н и я » к о э ф ф и ц и е н т о в д л я л и з а м е д л е н н о г о д в и ж е н и я м о ж н о п о л у ч и т ь о ш и б о ч н ы й р е тат.

§ 2. ОБЩИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

2.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Р а с с м а т р и в а я к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и й (11.35) к а к в е л и ч

с н и м и , к а к с а л г е б р а и ч е с к и м и у р а в н е н и я м и . П о с л е в ы п о л н е

512

где

к а ж д о й п а р ы в х о д н ы х и в ы х о д н ы х в е л и ч и н м о ж н о з а п и с а т ь с п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю .

н ы м в е л и ч и н а м (в о б о з н а ч е н и я х п е р е д а т о ч н ы х ф у н к ц и й н и ж и н д е к с отвечает в х о д н о й величине, в е р х н и й — в ы х о д н о й ) .

где

В\ — — « і з ;

В2 = — «13(«004~«42— «44І "Г«43«!2 — «із!

Аналогично можно определить и другие передаточные функ­ ции летательного аппарата, принимая за выходные величины ДѴ, А#, ДѲ и Да, а за входные Дбв, Хв, YBи М2В.

Для построения частотных характеристик летательного аппа­ рата и исследования его динамических свойств требуется разло­ жить на элементарные множители числители и знаменатели пе­ редаточных функций аппарата. С этой целью необходимо пред­ варительно определить корни числителя и знаменателя. Методы определения корней полиномов, получившие наибольшее распро­ странение в практике вычислений, подробно изложены в литерату­ ре по теории автоматического управления [12], [19] и др.

2.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Разложение на множители

Как известно, корни знаменателя передаточной функции (12.14), т. е. характеристического полинома

очень сильно отличаются друг от друга по модулю: они разде­ ляются на два малых и два больших. Это явление типично для продольного возмущенного движения любого летательного ап­ парата. Поэтому при анализе характеристического полинома (12.16) целесообразно представлять его в виде произведения двух квадратичных трехчленов

Первый из этих трехчленов соответствует паре больших кор­ ней, т. е. быстрому движению, второй (с индексами «0») — паре малых корней и медленному движению. Дальнейшее разложе­

514

ние на множители квадратичных трехчленов зависит от распре­ деления их корней на комплексной плоскости, что зависит уже от динамических свойств данного летательного аппарата. Разло­ жение на множители квадратичного трехчлена вида ap2 + bp+l приведено в табл. 12.2.

частью

1

—> 0

здесь постоянные времени рассматриваются как алгебраические величины и положитель­ ному корню отвечает множитель Т'р-И , где Т ' <0.

В дальнейшем для сокращения записи трехчлен, характери­

соответствующий малым корням характеристического уравнения, условимся также записывать в общем виде т2р2 + 2 |т т р + 1, не за­ нимаясь детально его структурой. Таким образом, характерис­

Приближенный способ определения корней

Благодаря тому, что две пары корней характеристического по­ линома (12.17) сильно отличаются друг от друга по модулю, для их определения могут быть использованы различные приближен­

ные способы. Простейший из них состоит в решении дйух квад­ ратных уравнений:

Первое из них определяет большие корни, второе — малые. Полученные такие путем значения корней можно при желании

уточнить [19].

Рассмотрим приближенное определение больших корней с по­ мощью уравнения (12.19). Это уравнение, как видно, получено из характеристического уравнения

путем отбрасывания членов А 3р и Л4. Поскольку, положив Л3 = = Л 4 = 0, мы пошли на весьма существенное упрощение задачи, то чтобы быть последовательными, целесообразно соответствен­ но упростить и выражения для коэффициентов Лі и А%. Нетруд­

т. е. если пренебречь вариациями скорости АР и влиянием силы тяжести на возмущенное движение. Приняв это допущение, по­ лучим, что большие корни характеристического уравнения (12.21) могут быть приближенно найдены, как корни квадратного урав­ нения

516

равны

р х 2 — — 0,650 ± 1,690/, а корни уравнения (12.23)

р2 + 1,287/7 + 3,263 = 0

равны

р12 = -0,6435 ;г 1,688/,

т.е. практически не отличаются от «точных» значений корней. Корни уравнения (12.20)

3,278/72+ 0,0455/? + 0,0201 = 0

равны

. />3)4= —0,0069. ± 0,0780/.

Как видно, большие корни характеристического уравнения (12.21) с достаточной для практики точностью могут быть найде­ ны как корни характеристического уравнения (12.23) упрощен­ ной системы уравнений, полученной в результате пренебрежения вариациями скорости и влиянием силы тяжести на возмущенное движение *.

2.3. РЕАКЦИЯ УГЛА ТАНГАЖА НА ОТКЛОНЕНИЕ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ

Определение реакции угла тангажа на отклонение органов управления необходимо при проектировании и исследовании сис­ темы стабилизации, в которой при помощи свободного гироскопа измеряется отклонение угла* тангажа от некоторого заданного значения. При помощи такой системы может быть реализован полет по программе (см. пример в гл. II, § 7).

Реакция угловой скорости тангажа на отклонение органов уп­ равления важна при проектировании системы стабилизации, в которой для формирования управляющего сигнала измеряется эта угловая скорость, например, посредством дифференцирующе­

в которой коэффициенты A lt ..., Л4 и В\, ..., ß 4 определяются фор­ мулами (12.11) и (12.15).

* Эта система уравнений приведена ниже, в § 3, см. (12.49).

517

Для приближенного разложения на множители числителя пе­ редаточной функции (12.25)

воспользуемся свойствами продольного возмущенного движения. Корни полинома В(р), соответствующие быстрому движению, найдем, положив в выражениях (12.15) коэффициенты аОІ, ам и Ö44 равными нулю. Это будут корни квадратичного трехчлена *

Вз — — 0 - 1 3 ^ 4 2 “ |~ ^ 1 2 ^ 4 3 -

Корни полинома (12.26) сильно отличаются друг от друга по модулю: он имеет два больших и один малый корень. Поэтому старшие члены этого полинома

определяют два больших корня, соответствующих быстрому дви­ жению, а младшие члены полинома (12.26) Взр + В^ определяют малый вещественный корень, соответствующий медленному дви­ жению. Этот корень приближенно равен

Рассматривая пример с тем же реактивным самолетом, най­ дем, что полином в числителе передаточной функции (12.25) име­ ет второй порядок, так как ßi= 0 :

-(2,32/-+1,370/7 + 0,01868),

причем его корни равны рі = —0,576 и р3= —0,0140. Приближенное значение малого корня

Приближенное значение большого корня находим из урав­ нения

2,32/7+ 1,370 = 0,

* Квадратичный трехчлен (12.27) совпадает с числителем передаточной функции (12.78), полученной в предположении, что ЛУ и а44 АѲ равны нулю. Разложение этого трехчлена на множители представлено в табл. 12.4.

518

т. е.

Учитывая сказанное выше, полином в числителе передаточ­ ной функции (12.25) можем разложить на множители следую­ щим образом:

где Ті и Т2—’Постоянные времени, соответствующие быстрому движению, а ті — постоянная времени, отвечающая медленному движению *.

Таким образом, передаточная функция летательного аппара­ та (12.25) может быть представлена в виде

та; Ті,т, |т — параметры, соответствующие медленному движению;

Ті, Тг, Т, § — параметры, отвечающие быстрому движению. Для рассматриваемого реактивного самолета:

К І = - 0,929; Т = 0,544 с и £=0,357; т = 12,73 с и $т = 0,0713;

7 ^ = 1 ,7 62 с ; 7'2= 0 ; т1= 71,43 с .

В качестве второго примера приведем результаты разложе­ ния на элементарные множители передаточной функции (12.25) для баллистической ракеты типа Ѵ-2 на 50-й секунде активного полета:

* Постоянные времени Тх и Т2 приближенно определяются выражениями (12.94а) и (12.97а), а т — формулой т = —Л/р3.

519

меряющимися долями и единицами секунд, тогда как постоян­ ные времени, определяющие медленное движение, измеряются десятками и сотнями секунд.

Характерной особенностью передаточных функций летатель­ ного аппарата при полете с достаточно большим положительным углом наклона траектории, например, передаточной функции (12.34), является наличие в выражении передаточной функции аппарата одного или двух неустойчивых апериодических звеньев с большой постоянной времени. Это обстоятельство говорит об апериодической неустойчивости медленного движения и объяс­

обусловленная действием силы тяжести, имеет одинаковый знак

сАѲ, когда Ѳ>0.

2.4.РЕАКЦИЯ УГЛА НАКЛОНА ТРАЕКТОРИИ

И УГЛА АТАКИ НА ОТКЛОНЕНИЕ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ

Определение реакции угла наклона траектории Ѳ на отклоне­ ние органов управления необходимо при проектировании и ис­ следовании такой системы стабилизации, в которой выходной ве­ личиной служит угол Ѳ или угловая скорость касательной к тра­

ектории Ѳ. Первый случай может иметь место при исследовании движения самонаводящихся летательных аппаратов, второй — при исследовании полета телеуправляемых аппаратов [14].

Реакция угла наклона траектории на отклонение органов уп­ равления описывается передаточной функцией

520

Реакция угловой скорости касательной к траектории, очевид­ но, определяется передаточной функцией

Передаточные функции (12.36) и (12.39) могут быть разложе­ ны на элементарные множители подобно тому, как это делалось в предыдущем разделе.

2.5.РЕАКЦИЯ УГЛА ТАНГАЖА НА ВОЗМУЩАЮЩИЙ МОМЕНТ

Влияние возмущающего момента на движение летательного аппарата обычно приходится учитывать при исследовании про­ цессов стабилизации. В общем случае для изучения влияния воз­ мущающего момента составляют передаточную функцию лета­ тельного аппарата, приняв за входную величину возмущающий момент. Если за выходную величину взять угол тангажа, то с помощью (12.12) получим передаточную функцию

При составлении расчетной структурной схемы системы ста­ билизации возмущающий момент может быть учтен в соответст­ вии со схемами, приведенными на рис. 12.3. Схемы а и б, очевид­ но, эквивалентны.

521