книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

Найдем приращение функции F{xu ..., хп). С помощью фор­ мулы Тейлора разложим эту нелинейную функцию нескольких

окрестности значений переменных Х\ , x2j, ..., х„^. Ограничившись первыми членами разложения, получим

Аналогичное выражение имеем и для приращения Af:

Дf dt , R2 и г2, имеющие порядок малости выше первого. В ре-

зультате вместо уравнения (11.4) получим уравнение возмущен­ ного движения, в котором неизвестными являются приращения Дхь Ах2, ..., Ахп:

Проделав такие преобразования с каждым из уравнений (11.3), получим систему уравнений возмущенного движения:

А Х П ( І = \ , . . п). ( 11. 8)

472

Эта система является линейной, так как новые переменные (при­ ращения Л*і, Дх2, .... Дх„) входят в уравнения только в первой степени и отсутствуют произведения этих переменных.

В уравнениях (11.8) выражения в квадратных скобках, а так­ же все /і. являются известными функциями времени t, посколь­

ку невозмущенное движение предполагается известным. Система (11.8) называется обычно системой уравнений возмущенного движения.

Выражением (11.8) удобно пользоваться при линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений вида (11.3). Такой вид имеют, как нетрудно заметить, и уравнения движения лета­ тельного аппарата (11.1).

1.4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ВЫРАЖЕНИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ

Приступая к линеаризации уравнений движения летательно­ го аппарата, прежде всего необходимо выяснить, от каких пара­ метров зависят аэродинамические силы и моменты, влиянием каких параметров можно пренебречь.

На основании изложенного в гл. Ill—VI аэродинамические силы и моменты в пределах летных углов атаки а и скольжения ß можно представить следующим образом:

X —^ 0 + ^ а3а2 + Ѵа8ва8в + Ѵ Ч ' + ѴРф2 + ѴРЧ'8н +

+ V a"8*;

К=К0+Га+КЧ;

Z = Z pß + Z SH8H;

Мх = Мх0-р Ліхв-{-М.ххсох -f- АІ/шу M x ari -(-М х уа<оу-р

-\-Мх z\i<j)z-j- AI^H8H-ф-А1ХЭ?)Э-]- М х S;:8Bф~М х на8н;

Му = Муф-]-Мухшх -\- М уѵшу-\-Му ^-\-МунЬн-\-Му«Ь^;

Mz= M za+ M ta + M % z+ M i â + M S B+ M l4 B.

Здесь Хо — значение X при а = бв= ß= öH= 0;

То— значение Y при а = бв= 0;

Мхо — значение Мх при а = ß = бв= бн = бэ= со* = = coy = cDz=0;

' Mz0 — значение Mz при a = 6 B= coz = a = 6 B= 0;

Y a, . . . , z \ . . . . Му — частные производные от сил и моментов по параметрам a, ß, бв, бн, бэ, со*, ыѵ, coz,

о, ß, бв, бн;

473

X * , . .. , М х н, . . . — частные производные второго порядка от силы лобового сопротивления и момента крена по а2, ..., абн, ... Например,

дадЬн

Значения всех этих производных соответствуют нулевым зна­ чениям параметров а, ß, бв, бн. бэ, юж, соу, ©z, а, ß, бв, бн.

где с\ = сьу (Ѵ/а); а = а{Н) и р = р(Н).

Указанные производные не зависят от параметров а, ß, ..., (»у, ..., бн. Это замечание полностью относится и к членам Х0, Уо.

Мхо, Мго.

Найдем теперь приращения аэродинамических сил и момен­ тов по сравнению с их значениями в невозмущенном полете, па­ раметры которого равны У», Я», а*, ß*,...

Приращение лобового сопротивления. Так как Х=Х(Ѵ, Я, а, ß, бв, бн), то на основании (11.6) получим *

а*, ... Вычислим эти производные, воспользовавшись первым из выражений (11.9):

.2

в возмущенном движении не будем рассматривать, так как оно мало.

474

( ^ ) ^ 2 ( ^ U + ( * ß5H)A*;

(ii . ii)

В этих формулах все производные, стоящие в правых частях ра-

венств, например зависят

только от скорости V* и высоты Я* невозмущенного полета. Для примера найдем развернутое выражение для одной из

производных, а именно . Учитывая, что коэффициент ло-

бового сопротивления схо зависит от числа М=Ѵ/а, где а — ско­ рость звука, зависящая от высоты полета Я, можно записать

Обозначив

я=я.

получим

Коэффициент сХо и производную сХо можно вычислить по графику с Хо (М) для заданных значений а* и М*=К*/а*.

Аналогично вычисляются и другие производные.

Приращения подъемной и боковой сил получим, пользуясь выражением (11.9)

475

Здесь

Приращения аэродинамических моментов определяются та­ кими формулами:

дМх

Дм = ( дѴ /* 4К+(^),4а+(^г)/*.4р+№-д“'+

где, например,

476

®*.+

8»,. (11.21)

1.5. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

Проведем линеаризацию системы уравнений движения лета­ тельного аппарата (11.1).

Пусть невозмущенное движение — некоторый неустановившийся полет в пространстве.

Параметры невозмущенного движения являются известными функциями времени. Будем отмечать их индексом «*»: а*, V*, #*,... Невозмущенное (теоретическое) движение описывается од­ ним из частных решений системы уравнений управляемого дви­ жения летательного аппарата. Параметры этого движения будут

Чтобы получить уравнения возмущенного движения в доста­ точно простом виде, наложим на невозмущенное движений сле­ дующие ограничения. Будем полагать, что в невозмущенном дви­ жении боковые кинематические параметры ЧЧ, ф», ß», ус*, у*, öx*, оіу*, отклонения органов управления боковыми движениями 6Н* и бэ*, а также производные по времени от продольных пара­

метров CÜZ* ^ '6'*, а*, бв, Ѳ* являются настолько малыми, что можно пренебречь их произведениями и произведениями этих па­ раметров на другие малые величины.

Предположение, что в невозмущенном движении боковые кинемэтические параметры ß*, ус*, у*, а также углы отклонения ор-

•ганов управления боковыми движениями 6Н* и 6Э» являются дос­ таточно малыми величинами, в большинстве случаев не является грубым, особенно для аппаратов, у которых применяется стаби­ лизация крена и траектория которых лежит в пределах сравни­ тельно небольшого пространственного угла. Кроме того, можно выбрать направление земной оси Охз таким, чтобы значения уг­ лов Ч*- и ф изменялись бы в небольших пределах около нулевого

значения.

С целью упрощения получаемых линеаризованных уравнений, учитывая, что в невозмущенном движении углы а*, ß», у* и дру­ гие обычно невелики, полагают, что sin a* » a* , sin ß*= ß*, cos a* « cos р*«1 и т. д.

В настоящей книге при изучении возмущенного движения нас будет интересовать главным образом реакция летательного ап­ парата на отклонения рулей. При такой постановке задачи влия­ ние на возмущенное движение отклонений конструктивных пара­ метров Ат, М х , А І у , АІ г и режима работы двигателя Ах можно

477

не рассматривать. Тогда значения параметров т, /*, Іѵ, Іг, к в возмущенном движении будут такими же, как и в невозмущен­ ном, т. е. будут известными функциями времени.

Обычно при линеаризации уравнений движения пренебрегают влиянием приращения высоты АН на аэродинамические силы и моменты, а также на силу тяги, так как это влияние весьма ма­ ло. Поэтому учитывать вариации высоты имеет смысл только в том случае, если высота является одной из координат, подлежа­ щих регулированию, и система управления для осуществления такого регулирования имеет соответствующий измерительный элемент.

Рассмотрим особенности линеаризации уравнений движения летательного аппарата на примере первого из уравнений

( 11. 1) :

отвечают невозмущенному движению. В дальнейшем будем ис­ пользовать сокращенные обозначения для частных производных, а также опускать индекс «*»:

При таких упрощениях уравнение (11.22) запишется в виде

478

Мы предположили, что боковые параметры являются малы­ ми величинами. Поэтому в выражении (11.23) имеется ряд чле­ нов второго порядка малости:

Р cos а sin ß • Aßгы Р cos а • (ßAß);

X'рAß= 2МР2 (рДр)+ Мр5н (8HAß);

А'8»Д 8 Н = Мр5н (ßД8Н)+ 2 Х Ѣ" (8 НД 8 Н).

Здесь в скобки заключены произведения малых величин. Отбро­ сим члены второго порядка малости, а синусы и косинусы углов

Кроме того, учтем, что на летательный аппарат в возмущен­ ном движении действуют силы, отсутствовавшие в невозмущен­ ном полете или не принимавшиеся во внимание при расчете невозмущенного полета. Обозначим эти силы через Ав и назовем их возмущающими.

-f-[P( — sin а sin Yc + cos а sin.ß cos Y c) — Y sin Yc— Z cos Y c] AYC +

+ [К8« cos Yc] Д8в■-f [ ■- ZJ» sin Y c] Д8Н+ YB.

Здесь следует отбросить член т ■dѲ ■ДІ/, так как он имеет dt

2-й порядок малости согласно сделанному выше допущению о ве­ личине производной d@/dt. Член Z cos ус• Дус также имеет 2-й

479

порядок малости, поскольку

Z AYc=ZP(ßA Yc) + Z 5*. (8„ДѴс)-

Кроме того, все члены, содержащие sinYc или sin ß, например sinYc-A6H, sin ß • AYC, имеют порядок малости выше первого.

Поэтому, полагая cosYc~ 1, окончательно получим

т Ѵ - ^ - = { Р ѵа-\-Уѵ)і>У + (Р + У ')Ы я + dt

Третье уравнение

— mV cos Ѳ =r P (sin а sin Yc — cos а sin ß cos Yc)-f- dt

-f-K sin Yc-}-Z cos Yc

после линеаризации принимает вид

При линеаризации четвертого уравнения

используем выражения (11.16) и (11.19) и отбрасываем члены 2-го порядка малости, например Дю^ю*, ßAcoz. Кроме того, счита­ ем, что производная (дМх0/дУ)* является малой. Тогда получаем

Пятое уравнение

Д д г = л '« - (/ ' - / ‘)", л

линеаризуем, используя выражения (11.17) и (11.20) и отбрасы­ вая член М^АК как содержащий произведения малых парамет­

ров ß*, Их*, юѵ*, ß*, бн*, бн, на малое отклонение АѴ.

480

Окончательно получаем

Шестое уравнение

йГш,

dt

после линеаризации с учетом (11.18) и (11.21) приобретает вид

В результате линеаризации кинематических уравнений 7—12 получим

■д«о„;

dA%

=Дшг;

dt

Линеаризация геометрических соотношений 14—16 приводит к следующим выражениям:

циальных уравнений (11.24) — (11.31), в которые в качестве неиз­

вестных Iфункций времени t входят приращения AF, АѲ, ....