книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

а следовательно, и а*+і. Поэтому расчет целесообразно вести пу­ тем последовательных приближений.

Наведение методом совмещения. Для расчета траектории в этом случае удобно уравнения (10.55) переписать в таком виде:

ным, возникает то же затруднение, как и в случае параллельного сближения. Производную Ѳ вычисляем по формуле (9.7)

Расчет удобно вести, определяя ан+i и Ѳй+і путем последова­ тельных приближений.

5.2. НАВЕДЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Схему расчета траекторий наведения в горизонтальной плос­ кости легко получить на основании разд. 5.1 и разд. 3.2 данной главы.

Часть уравнений, описывающих движение летательного аппа­ рата, остается одинаковой для любого метода наведения. Это следующие уравнения:

461

ГЛАВА XI

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Впредыдущих главах, рассматривая полет летательного ап­ парата, мы пренебрегали его колебаниями вокруг центра масс. Поскольку уравнение полетом обычно сводится к управлению вращательными движениями аппарата, так поступать нельзя, если необходимо исследовать полет с учетом процессов в систе­ ме управления. В этом случае приходится применять другие способы упрощения уравнений управляемого движения летатель­ ного аппарата.

Втеории автоматического управления летательными аппара­ тами весьма широкое распространение получил метод линеари­ зации уравнений. Этот метод совместно с другими способами упрощения исследуемых уравнений является весьма эффектив­ ным. Он используется как при аналитических расчетах, так и при вычислениях с помощью моделирующих устройств и цифровых электронных машин.

Как известно, система дифференциальных уравнений назы­ вается линейной, если в эти уравнения неизвестные функции и их производные входят линейно. Другими словами, в состав ли­ нейных уравнений не должны входить отличающиеся от единицы степени -неизвестных функций и их производных, а также сме­ шанные произведения неизвестных функций и их производных.

Впротивном случае система дифференциальных уравнений яв­ ляется нелинейной. Соответственно и физическая система, опи­ сываемая линейной (или нелинейной) системой дифференциаль­ ных уравнений, называется линейной (или нелинейной). Как

правило, любая физическая система является нелинейной. Гово­ ря о линейной системе, обычно подразумевают такую систему, которую можно с достаточной точностью описать линейными уравнениями.

Аппроксимацию считают достаточно точной, если в рассмат­ риваемой задаче влияние нелинейных свойств системы не являет­ ся существенным. Поэтому для отнесения данной системы к классу линейных или нелинейных систем необходимо исходить из конкретных условий рассматриваемой задачи.

465

Рассмотрим, например, систему «летательный аппарат — ав­ топилот». Эта физическая система является нелинейной, так как и уравнения движения летательного аппарата, и уравнения ав­ топилота нелинейны. Оказывается, что для исследования устой­ чивости уравнения движения летательного аппарата и уравнения автопилота можно принять линейными. Если же ставится задача исследования автоколебаний в системе «летательный аппарат — автопилот», то нелинейностью уравнений автопилота пренебре­ гать нельзя. Это объясняется тем, что автоколебания возникают лишь вследствие нелинейных свойств автопилота.

Благодаря тому, что линейные системы являются более лег­ кими для исследования и очень большое число реальных систем, встречающихся в технике, можно представить в виде линейных, наибольшее развитие получили те области теории автоматиче­ ского управления, которые посвящены линейным задачам.

Обычно полет летательного аппарата рассматривают как дви­ жение в пространстве абсолютно жесткого тела, имеющего шесть степеней свободы. Такое предположение при решении большин­ ства задач не приводит к большим погрешностям, однако до­ вольно часто встречаются случаи, когда нежесткость конструк­ ции летательного аппарата существенно влияет на работу сис­ темы управления. В таких случаях летательный аппарат уже нельзя рассматривать как абсолютно жесткое тело и приходится учитывать деформации элементов конструкции аппарата. Бла­ годаря нежесткости конструкции летательный аппарат имеет дополнительные степени свободы. В соответствии с этим система уравнений, описывающая движение аппарата, становится еще более сложной.

Дальше будем рассматривать летательный аппарат как аб­ солютно жесткое те'ло и только в конце раздела ознакомимся с методами учета влияния, нежесткости конструкции аппарата на его динамические свойства.

§ 1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

1.1. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ

Рассмотрим линеаризацию уравнений движения летательного аппарата (2.111). Эти уравнения составляют систему уравнений движения летательного аппарата, рассматриваемого как абсо­ лютно жесткое тело *.

* В уравнениях (2.111) не учитывается также влияние ветра и суточное вращение Земли.

466

сложными нелинейными функциями кинематических параметров движения и углов отклонения органов управления. В основном эти силы и моменты зависят от следующих параметров:

Р ( Ѵ ,Н , 8дР);

X (а, р, 8В>8Н, I/, Н);

где бв, бн, бэ и бдр — углы отклонения органов управления (на­ пример, рулей высоты и направления, элеронов и дроссельной заслонки, служащей для регулирования тяги двигателя), Я — высота полета.

Уравнения (11.1) составляют систему уравнений движения летательного аппарата, рассматриваемого как абсолютно жест­ кое тело. Она содержит четыре лишних неизвестных. Чтобы сис­ тема уравнений движения летательного аппарата стала замкну­ той, необходимо или задать четыре функции параметров движе­ ния и времени, или задать отклонения органов управления в функции времени, или добавить уравнения, описывающие про­ цессы управления отклонениями этих органов.

Будем считать, что отклонения органов управления являются известными функциями времени.

468

Система уравнений (11.1), характеризующая движение лета­ тельного аппарата, является очень сложной системой нелиней­ ных дифференциальных уравнений. Сложные нелинейные зави­ симости имеют место, в частности, в правых частях уравнений (11.1) , записанных в общем виде и представляющих собой со­ ставляющие сил и моментов, действующих на летательный аппа­ рат.

Основные методы исследования нелинейных уравнений (11.1) связаны с предварительным их упрощением. Одним из таких уп­ рощений, как уже отмечалось, является линеаризация этих урав­ нений относительно малых отклонений параметров движения от их значений для некоторого теоретического (невозмущенного) движения.

1.2. НЕВОЗМУЩЕННАЯ И ВОЗМУЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Невозмущенной траекторией называется теоретическая траек­ тория, отвечающая конкретным уравнениям управляемого дви­ жения летательного аппарата с номинальными значениями па­ раметров аппарата и системы управления, заданным начальным условиям, определенному маневру цели, стандартным парамет­ рам атмосферы и т. д.

Действительные траектории всегда отличаются от теоретиче­ ской не только потому, что динамические свойства летательного аппарата и системы управления описываются принятыми уравне­ ниями лишь приближенно, но также в результате воздействия на летательный аппарат и систему управления ряда случайных фак­ торов. В действительности всегда начальные условия отличаются от заданных, параметры аппарата и системы управления откло­ няются от своих номинальных значений, параметры состояния атмосферы отличаются от стандартных, на систему управления воздействуют всякого рода случайные помехи, на летательный аппарат действуют случайные аэродинамические силы, вызван­ ные турбулентностью атмосферы, маневр цели может отличаться от заданного и т. п.

Все эти факторы, неизбежно существующие в действительно­ сти, возмущают движение летательного аппарата — на основное невозмущенное движение накладываются дополнительные дви­ жения. Движения, получающиеся из невозмущенного при воз­ действии различного рода возмущений, обычно называют воз­ мущенными.

Если возмущающие влияния малы, то возмущенные траекто­ рии проходят вблизи невозмущенной, мало от нее отличаясь. Близость возмущенных траекторий к теоретической невозмущен­

(11.1) все кинематические параметры движения представляют в

46У

виде суммы их значении в невозмущенном движении и отклоне­ ний этих параметров от невозмущенных значений:

V ( t ) = v .( t ) + W ( t y >

Ѳ (f) = Ѳ *(0 + ДѲ(/);

( 11. 2)

z{t) = z,{t) + Lz(t). .

Здесь и дальше индексом «*» будем обозначать значения кине­ матических параметров в невозмущенном движении.

Величины АV(t), АѲ(^), ..., Аz(t), представляющие собой разности между кинематическими параметрами в возмущенном и невозмущенном движениях, будем называть приращениями ки­ нематических параметров.

1.3. МЕТОДИКА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Рассмотрим методику линеаризации дифференциальных урав­ нений движения летательного аппарата на примере следующей системы уравнений:

dxi 1 /1 dt Л ;

dx2

/г dt -F2;

(11.3)

dXi

f, dt -F,

dx„

fn dt "Fn,

где fi и Fi — нелинейные функции n переменных X\, x2, ..., xn\

(г= 1, • ■ ti)

Fi ■—Fi (Xj, x2, • •., xn).

Невозмущенному движению соответствует одно из частных ре­ шений уравнений (11.3):

470

Если подставить это частное решение в уравнения (11.3), то по­ лучим равенства:

dx-.

/ і

dt

dX;

f -Fl* dt

Напомним, что индекс «*» означает, что значения величин, имеющих этот индекс, берутся для невозмущенного движения:

f l * f l (■ ^'1*’ *2 *, • • • 1Xnf)i

(/= 1 , . . ., п)

F i , = F t {xit, х 2„ . . x„J.

Рассмотрим линеаризацию одного из уравнений системы (11.3). Возьмем, например, t-е уравнение. Индекс «г» для упро­ щения записи отбросим:

Вычтем из этого уравнения г-е равенство, отвечающее невозму­ щенному движению. Тогда получим уравнение движения в при­ ращениях:

Здесь F—F*=A E— приращение функции F, т. е. разность между значениями этой функции на возмущенной и невозмущенной тра­

Здесь через А* и А/ обозначены приращения:

471