книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

Тогда будет известна зависимость m(t) и поэтому четвертое и шестое уравнения системы (10.3) отпадут.

Общим методом расчета полета в вертикальной плоскости является метод численного интегрирования системы уравнений (10.3).

2.1. ПОЛЕТ С ЗАДАННЫМ УГЛОМ ТАНГАЖА ИЛИ УГЛОМ АТАКИ

Пусть заданы, помимо начальных условий полета, изменение во времени угла тангажа 8і = 'Ѳ'*(^)—0' = 0 и режима работы двигателя еі = х*(/) —%= 0. Тогда в уравнениях

а ==&— Ѳ

неизвестными будут являться пять величин: V, Ѳ, Н, т, а.

Решение уравнений методом Эйлера сводится к следующим операциям:

1. Зная в некоторый момент времени tx параметры Ѵь, Ѳь, Нх, гпх, ах (и предыдущих вычислений или из начальных условий), а также параметр %х (из программы), вычисляем для этого момента времени правые части первых че­

431

2. Находим приращения параметров V, Ѳ, Н, пѵ.

л7* = Ь г ) Л :

где Аtk — шаг интегрирования, выбранный в зависимости от требуемой точно­

Этот процесс вычислений повторяем шаг за шагом до получения искомо­ го решения.

Правые части уравнений (10.6) в момент времени tk вычисляем следую­ щим образом:*

gk = g(Hk)\

Уравнение

dx

(10. 11)

dt

интегрируем отдельно по аналогичной схеме. Зная из решения системы (10.6) значения Vk и Ѳ* в каждый момент времени tk, находим

* Здесь мы пренебрегаем влиянием числа Re на с*.

432

В некоторых случаях может оказаться более целесообразным в качестве шага интегрирования задавать не промежуток времени АЯ, а приращение какого-либо параметра движения. Пусть, например, задается приращение ско­ рости AFfc. Тогда на каждой ступени вычислений соответствующее прираще­ ние Ыь будет определяться по формуле

Если в качестве связей, накладываемых на движение лета­ тельного аппарата идеальной системой управления, задано изме­ нение во времени угла атаки еі = а*(^)—а = 0 и режима работы двигателя в,* = >с. ( 0 —х = 0, то траектория полета рассчитывается аналогичным способом.

По изложенной выше схеме интегрируются первые четыре уравнения си­

Рассмотрим еще решение системы уравнений (10.6) методом Эйлера в варианте, изложенном на стр. 427. Процесс интегрирования состоит из следу­ ющих операций.

1—4) Зная в некоторый момент времени th параметры Vk, &k, Hk, ти, ан, y.k, находим по формулам (10.7), (10.8), (10.9) и (10.10) значения V, Ѳ, Я, от, а в момент времени tk+\ = th+Ath. Поскольку эти значения не являются оконча­ тельными, обозначаем их штрихом:

V'k+l = Vk + AV'k-

ѲА+1 = Ѳй + ДѲЙ;

m'k+l = mk + Дm'k\

aft+i —frft+i

433

гд е

434

9)Угол атаки в момент tu+1 вычисляется по формуле

Далее процесс вычислений повторяется.

Для определения координаты х вычисляется среднее значение производной

2.2. ПОЛЕТ С ЗАДАННОЙ ПЕРЕГРУЗКОЙ

Пусть программа полета содержит следующие связи:

h = n y , { t ) — n a = Q\

e4=**W — х= °-

435

Второе уравнение системы (10.3) необходимо переписать так, чтобы перегрузка входила в него в явном виде, так как она пред­ ставляет собой заданную функцию времени. Проведя элементар­ ные преобразования в правой части этого уравнения, получим

Угол атаки найдем по формуле (8.51). Таким образом полу­ чим замкнутую систему уравнений с неизвестными V, Ѳ, Я, т, и:

dm = — m„ dt

Численное интегрирование этой системы проводится по схе­ ме, аналогичной изложенной в разд. 2.1.

Коэффициент пауШ в каждый момент времени tK вычисляем по формуле (8.39).

2.3. ПОЛЕТ С ЗАДАННЫМ УГЛОМ НАКЛОНА ТРАЕКТОРИИ

Пусть угол наклона траектории задан в виде

еі = ѳ * (*) —ѳ = о

или

£1= Ö* W — Ѳ= °>

а тяга, как и прежде, связью 84= >с*(^)—%= 0. Тогда в уравне­ ниях (10.3а) неизвестными будут являться четыре величины: V, а, Я, т.

Зная в некоторый момент времени th значения параметров К*, Ий, Нк, tnk, из первого, третьего и четвертого уравнений най­ дем приращения параметров AVh, ДНк, Дmh, а затем определим скорость, высоту полета и массу аппарата в момент времени th+l=4k+At.

436

Следовательно, второе уравнение должно служить для опре­

ские характеристики можно считать линейными. Тогда угол ата­

В результате система уравнений движения центра масс лета­ тельного аппарата примет вид:

Численное интегрирование этой системы с четырьмя неизвест­ ными V, Н, т, а проводится по схеме, аналогичной изложенной в разд. 2.1 данной главы.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Прямолинейный полет (0* = const). Случай прямолинейного полета встречается очень часто: полет самолета или самолетаснаряда, полет зенитного управляемого снаряда на начальном участке траектории и пр. В некоторых задачах вместо криволи­

437

Вертикальный подъем (Ѳ* = 90°). Уравнения движения имеют вид:

dt

(п Уб а л )а = о

a —

‘у бал

Из выражения для угла атаки следует, что в вертикальном полете должна отсутствовать нормальная сила:

В частности, вертикальный полет аэродинамически осесим­ метричного летательного аппарата должен происходить при а = 0.

§3. ПОЛЕТ ПО ПРОГРАММЕ

ВГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Когда летательный аппарат движется по траектории, лежа­ щей в горизонтальной плоскости Н = Я* = const, то угол наклона траектории к горизонту Ѳ= 0. В этом случае уравнение, описы­ вающее изменение координаты Н, обращается в тождество, и уравнения-движения центра масс летательного аппарата (2.111) принимают вид:

Четвертое уравнение необходимо только в том случае, когда двигатель воздушно-реактивный. Если же двигатель ракетный, то это уравнение не понадобится, поскольку будет известна за­ висимость массы от времени m(t).

438

В рассматриваемом случае силы Р, X, Y, Z и секундный рас­ ход топлива от высоты полета не зависят: Р(V, х)\ Х(Ѵ, а, ß); У ( Ѵ , а); Z(V, ß); т Сек(Ѵ, х). Следовательно, в записанных че­ тырех уравнениях содержится семь неизвестных ( V, а, Ч*-, т, ß, ус, х), и при задании трех связей уравнения (10.36а) образуют замкнутую систему.

Криволинейный полет по программе в горизонтальной плос­ кости определяется обычно заданием:

а) направления скорости полета

5) е2= 0 ;

(10.366)

6) в3==0;

б) режима работы двигателя

Направление скорости полета может быть задано любым со­ четанием двух связей из трех следующих.

А. Чг(t) или Ч*-(і), или rtz, (t) , так как

Б. ty(t) или ß(/), так как

=ß.

в. yc (t) •

Основными случаями полета в горизонтальной плоскости яв­ ляются полет без скольжения (ß = 0) и полет без крена (ус= 0). Полет с креном и скольжением у автоматически управляемых ап­ паратов обычно не имеет места, так как это приводит к суще­ ственному усложнению системы управления.

Если требуется определить угол рыскания (или если этот угол задан программой), то добавляется еще одно уравнение:

8) ф = <Р + р. (ІО.Збг)

Кинематические уравнения

dx

9)= V cos *F;

d t

(Ю.Збд)

показывают изменения координат х и г в о времени, однако силы, стоящие в правых частях уравнений, от х и z не зависят. Поэто­ му кинематические уравнения можно отбросить (в случае надоб­ ности их можно интегрировать отдельно после решения основ­ ных уравнений).

439

Уравнениями (10.36) можно пользоваться и для исследования полета в плоскости, близкой к горизонтальной, когда можно по­ ложить соэѲлЧ и пренебречь составляющей силы тяжести mg sin Ѳ по сравнению с тягой Р.

3.1.УГОЛ АТАКИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПОЛЕТЕ

Вгоризонтальном полете сила тяжести летательного аппарата уравновешивается проекциями аэродинамических сил и силы тя­ ги на вертикаль. В системе уравнений движения (10.36) второе уравнение, характеризующее это равновесие, служит для опреде­ ления угла атаки. Перепишем это уравнение в виде

тальном полете без скольжения угол атаки больше, чем в полете без крена с тем же скоростным напором. Чтобы вертикальная

\57,3 /

димо увеличить угол атаки по сравнению с полетом без крена. Чем больше накреняется летательный аппарат при выполнении маневра, тем меньше cosyc и больше угол атаки. Отсюда выте­ кает, что угол крена не может достигать 90° при горизонтальном маневре без скольжения. Предел для угла ус определяется ве­ личинами предельно допустимого угла атаки и располагаемой перегрузки:

Іубал

440