книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

ГЛАВА X

РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЕТА

§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения (2.111), а также упрощенные уравнения (2.125), описывающие движение центра масс летательного аппарата, представляют собой нелинейные системы обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений. Как известно, в общем случае не удает­ ся найти решения таких уравнений в элементарных функциях или квадратурах.

Поэтому для определения траектории летательного аппарата и изучения его летных качеств приходится упрощать исходные уравнения движения и применять различные приближенные ме­ тоды интегрирования дифференциальных уравнений.

При исследовании отдельных частных задач динамики поле­ та иногда оказывается возможным упрощать исходные уравне­ ния, что позволяет затем найти общее аналитическое решение полученных приближенных уравнений. Однако такие задачи встречаются довольно редко. Поэтому обычно для определения движения летательного аппарата приходится пользоваться при­ ближенными методами интегрирования уравнений.

Известно много методов приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, уравнений движения летательного аппарата (см., например [22]). Из них наибольшее применение в технике получили методы гра­ фо-аналитического и численного интегрирования. Это объясняет­ ся прежде всего тем, что различные функции, входящие в диф­ ференциальные уравнения, как правило, бывают заданы табли­ цами или графиками. Так, в уравнениях движения летательного аппарата зависимости сил и моментов от параметров движения определяются графиками или таблицами, полученными на осно­ вании эксперимента (например, зависимость коэффициента ло­ бового сопротивления сх от угла атаки и числа М). Кроме того, в большинстве случаев и не требуется общее аналитическое реше­ ние. Оказывается достаточным для ограниченного промежутка времени найти частное решение в форме таблицы или графика, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

422

Обычно графо-аналитические методы приспособлены для ре­ шения частных задач. Численное же интегрирование применимо для любых движений летательного аппарата в пространстве при произвольных зависимостях сил и моментов от параметров дви­ жения и времени. Численным интегрированием можно найти лю­ бое интересующее нас частное решение. Одним из достоинств численного интегрирования является наглядность получаемых ре­ зультатов: решение уравнений движения летательного аппарата дает картину последовательного изменения параметров движе­ ния. Недостаток всех методов численного интегрирования состо­ ит в их сравнительно большой трудоемкости при ручных вычис­ лениях.

Среди ряда известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений наиболее простым является метод Эйлера. Однако решение уравнений движения центра масс ле­ тательного аппарата методом Эйлера может привести к замет­ ному накоплению ошибок. Точность расчета можно повысить уменьшением шага интегрирования, но это приводит к значи­ тельному возрастанию трудоемкости вычислений.

Поэтому получили большое применение и другие методы чис­ ленного интегрирования, представляющие собой развитие мето­ да Эйлера. Эти методы позволяют при ручных вычислениях полу­ чить требуемую степень точности с меньшей затратой труда и времени. Например, точное вычисление траекторий артиллерий­ ских снарядов проще всего может быть выполнено методом Адамса — Штермера.

В последние годы при проведении больших по объему и слож­ ных вычислительных работ широко используются во всех облас­ тях науки и техники быстродействующие электронные вычисли­ тельные машины.

Как известно, вычислительные машины делятся на два ос­ новных типа (в зависимости от способа изображения величин):

а) моделирующие устройства (машины непрерывного дей­ ствия) ;

б) цифровые машины (машины дискретного действия).

В моделирующих устройствах переменные величины пред­ ставляются в виде непрерывных значений каких-либо физических величин, например напряжений электрического тока. При этом точность представления величин ограничена достижимой точ­ ностью изготовления вычислительных устройств. Кроме того, тип и сложность задач, которые могут быть решены, определяются составом имеющихся в модели вычислительных устройств. Поэ­ тому моделирующие устройства обычно являются более или ме­ нее специализированными.

Моделирующие устройства возникли в результате развития методов моделирования, основанных на теории подобия физиче­ ских явлений. Как известно, различные физические процессы мо­ гут описываться одними и теми же дифференциальными уравне-

423

ниями. Это позволяет исследуемые физические процессы заме­ нять их аналогами (моделями) из другой области явлений. Наи­ более удобными для воспроизведения, измерений и исследований являются электрические явления, поэтому наибольшее развитие получили электронные моделирующие устройства (электронные модели).

Значение электронных моделирующих устройств в решении задач динамики летательных аппаратов весьма велико. Электрон­ ные модели позволяют наиболее просто и эффективно исследо­ вать сложные системы обыкновенных дифференциальных уравне­ ний, описывающих полет аппарата и процессы в системе управ­ ления. При этом имеется широкая возможность изменять началь­ ные условия, параметры летательного аппарата и системы управ­ ления, условия полета, что очень важно для решения задач про­ ектирования.

Хотя точность электронных моделей сравнительно невысокая, она вполне достаточна для решения большого круга инженерных задач. Высокое быстродействие электронных моделей позволяет исследовать процессы в натуральном масштабе времени, благо­ даря чему возможно исследование реальной аппаратуры системы управления совместно с электрической моделью летательного ап­ парата, т. е. в условиях, близких к действительным.

Основные , сведения о принципах построения и устройстве электронных моделей и о'методике моделирования можно найти

влитературе.

Вцифровых машинах переменные величины представляются

ввиде ряда отдельных чисел, изображаемых цифрами; решение задачи состоит из отдельных последовательно выполняемых арифметических операций. Поэтому цифровые машины иногда называют машинами дискретного действия.

Вотличие от моделирующих устройств в цифровых машинах принципиально может быть достигнута любая точность вычис­ лений за счет увеличения количества разрядов в изображении чисел. Для этого следует лишь увеличить количество элементов, изображающих числа. При этом требования к точности изготов­ ления элементов и к точности их работы не повышаются.

Помимо высокой точности вычислений, цифровые машины имеют еще одно важное преимущество перед моделирующими устройствами — универсальность. Так как численное решение

всякой задачи можно свести к выполнению четырех арифметиче­ ских действий, то с помощью цифровых машин можно решать в принципе любые математические задачи.

Благодаря использованию быстродействующих электронных устройств и высокой степени автоматизации управления работой машины современные цифровые машины способны выполнять де­ сятки и сотни тысяч арифметических действий в секунду.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения летательного аппарата с помощью электронных циф­

424

ровых машин является весьма эффективным методом исследова­ ния полета летательного аппарата. Такие машины в короткие сроки (от нескольких часов до нескольких минут) достаточно точ­ но решают численно весьма сложные дифференциальные уравне­ ния, на что при ручных вычислениях потребовались бы годы ра­ боты. Это позволяет во многих случаях заменять эксперименталь­ ные исследования и летные испытания различных летательных аппаратов вычислениями на машинах, что приводит к значитель­ ной экономии материальных средств и времени. Цифровые ма­ шины можно использовать не только для вычислений, но и для анализа результатов расчетов.

Численное интегрирование методом Эйлера

Метод Эйлера является наиболее простым и потому наименее трудоем­ ким. Он часто используется для определения траекторий летательного аппа­

Пусть искомое частное решение x(t) определяется следующим начальным условием: при t = t 0 должно быть х = х 0. Построим сначала приближенное ча­ стное решение на небольшом промежутке времени + Если вели­ чина At достаточно мала, можно принять, что на этом промежутке времени dx/dt = f (t0, Хо) =const. Тогда для этого промежутка

Х ! = х 0 + f ( t 0, x 0)At.

425

П ол агая, что при t]^.t^.ti + At

d x

f i t I , * 1),

dt

получим для момента времени h=t\ +At приближенное значение x(t2), равное

Промежуток времени Аtu обычно называют «шагом» численного интегри­ рования. Шаг интегрирования может быть выбран как постоянным, так и пе­ ременным. От величины шага, очевидно, зависят точность и трудоемкость вычислений. Относительно точности изложенного метода Эйлер говорит, что чем меньше промежутки между последовательными значениями і, тем точнее определяются все остальные величины; тем не менее, вследствие большого числа -накопление и этих малых погрешностей может достигнуть значительной величины. Погрешность при этом вычислении происходит от того, что на про­ тяжении каждого отдельного промежутка значение функции f(t, х) остается постоянным, поэтому, чем быстрее значение этой функций изменяется при пе­ реходе от одного промежутка к следующему, тем большую можно ожидать погрешность. Это невыгодное обстоятельство имеет место обыкновенно там, где значение f(t, х) или уничтожается, или же становится бесконечным.

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Эйлера ее следует привести к системе уравнений первого порядка и записать в нормаль­ ной форме:

функций лгі<л>, .... xn(Ä). Для определения значений этих функций в следующий момент времени Д+і = Д +Д Д вычисляют значения их первых производных в момент времени Д:

п >

426

Затем по значениям производных вычисляют приращения искомых функций

Имея приращения искомых функций, значения самих функций в момент вре­ мени <fc+i определяют по формулам типа

Из многочисленных методов численного интегрирования, представляющих собой развитие метода Эйлера, остановимся на наиболее простом.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение (10.1):

dx

- — = f { t , x ) . .

Исходные данные для решения уравнений движения

При расчете траектории летательного аппарата путем чис­ ленного интегрирования уравнений движения центра масс ис­ пользуются следующие исходные данные:

1) зависимость параметров стандартной атмосферы (плотно­ сти воздуха р, скорости звука а и т. д.) от высоты над уровнем моря. (Таблица параметров атмосферы для высот до 200 км при­ ведена в приложении 1);

2) зависимость коэффициентов лобового сопротивления, подъемной и боковой сил летательного аппарата (сх, су, сг) от углов атаки а и скольжения ß и от чисел М и Re. Эти коэффици­ енты определяются для балансировочных значений углов откло­ нения органов управления бв и бн. Как правило, влиянием числа Re на коэффициенты подъемной силы и индуктивного сопротив­ ления пренебергают и учитывают лишь влияние числа Re на ко-

427

эффициент лобового сопротивления при нулевой подъемной сиЛ6 СхОі

3)зависимость силы тяги Р и секундного расхода топлива гпсек от скорости V, высоты полета Н и режима работы двига­ теля х;

4)некоторые конструктивные параметры летательного аппа­ рата: начальный вес, характерные площадь и линейный размер,

ккоторым отнесены аэродинамические коэффициенты;

5)ускорение силы тяжести.

§2. ПОЛЕТ ПО ПРОГРАММЕ

ВВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим неустановившийся полет по программе и особен­ ности его расчета *. Случаи полета по программе встречаются довольно часто. Полет дальней баллистической ракеты на актив­ ном участке происходит всегда по программе. Траектории многих управляемых снарядов, помимо участка наведения на цель, име­ ют участки полета по программе. В ряде задач с целью их упро­ щения целесообразно вместо наведения рассматривать полет по программе. Так, например, скорость и дальность полета зенит­ ного управляемого снаряда удобно определять для полета по прямой, хотя в действительности его траектория криволинейна.

В большинстве случаев полет пилотируемого самолета можно также рассматривать как полет по программе, задаваемой лет­ чиком в виде определенной зависимости показаний пилотажных приборов. Летчик, управляя самолетом, так отклоняет сектор газа, ручку и педали управления, чтобы осуществить требуемые скорость, высоту полета и пр.

Пусть, например, требуется, чтобы истребитель-перехватчик, совершая полет в вертикальной плоскости, поднялся на задан­ ную высоту за наименьший отрезок времени. Уравнениями основ­ ных связей будут

*1 = Ѵ Л Н ) - Ѵ = 0; 4 = W , - W = 0.

Для наиболее быстрого набора высоты необходимо, чтобы скорость самолета менялась определенным образом в зависимо­ сти от высоты полета: Ѵ=Ѵ*(Н), и, кроме того, чтобы двигатель работал с максимальной интенсивностью, т. е. Р = РЯом. Поэтому

ц = Р т* ( У > Н ) - Р = 0 .

Другой дополнительной связью будет условие полета без крена: кз= ус = 0. Эти четыре связи определяют в конечном счете требуе­ мые положения сектора газа и органов управления. Например, - наблюдая за показаниями указателя скорости и высотомера,

* Методы расчета установившегося полета по программе подробно изло­ жены в книге [22].

428

пилот будет так изменять угол атаки самолета (т. е. так откло­ нять ручку управления), чтобы выполнить условие Ѵ—Ѵ*(Н).

Пусть полет летательного аппарата совершается по програм­ ме в некоторой вертикальной плоскости. Земную ось координат А х з направим таким образом, чтобы она лежала в плоскости по­ лета. Тогда координата 2 центра масс летательного аппарата и угол Чг будут тождественно равными нулю. Предположим, что при полете в вертикальной плоскости Ахзуз плоскость симметрии летательного аппарата Ох\у\ все время совпадает с плоскостью полета. Тогда будут равны нулю угол скольжения ß и угол кре­ на ус *. Схема сил, действующих на летательный аппарат в та­ ком полете, приведена на рис. 2.16. Для этого случая уравнения движения центра масс (2.125) принимают вид:

В этих уравнениях шесть неизвестных величин: V, Ѳ, Н, т, а, я. Криволинейный полет по программе в вертикальной плоскости обычно определяется заданием:

а) направления скорости полета

б) режима работы двигателя

Направление скоростиполетаобыч'но задается либо непосред­ ственно углом наклона траектории Ѳ*(0, либо косвенно посред­ ством задания угла атаки a*(t) или угла тангажа 0*(t), или нормальной перегрузки nyt(t).

Если требуется определить угол тангажа (или если этот угол задан программой), то к написанным выше уравнениям добав­ ляется еще одно:

’f Вообще говоря, возможен полет в вертикальной плоскости с креном и скольжением (см., например, [22]).

429

Так как правые части уравнений (10.3) не зависят от коорди­ наты X , то эти уравнения могут быть проинтегрированы без уравнения

Последнее уравнение можно интегрировать либо совместно с си­ стемой (10.3), либо отдельно после интегрирования этой сис­ темы.

Если на летательном аппарате установлен ракетный двига­ тель, то секундный расход топлива обычно известен. Поэтому массу летательного аппарата можно определить заранее:

о

В ряде случаев секундный расход топлива пгсек является постоянным, и масса летательного аппарата изменяется по ли­ нейному закону:

m {t) = m0 — tnceJ.

Тяга ракетного двигателя зависит только от высоты и опреде­

связь 64= 0, так как тСек— тСек(Ѵ, Н, к) и Р = Р(Ѵ, Н, к). В рас­ четах чаще всего встречается случай, когда двигатель развивает номинальную тягу, т. е.

е4 = х— 1= 0 .

Иногда при расчете траектории летательного аппарата с ВРД можно принять секундный расход постоянным и равным среднему значению расхода:

"*ceS~("*ceK)cp —const.

430